Условная вероятность. Теорема умножения. Независимость событий

Определение. Условной вероятностью события А по отношению к событию В называется вероятность события А при условии, что событие В произошло. Обозначается P(A/B).

Определение. События А и В независимы, если P(A/B)=P(A).

Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е. P(AB)=P(A)·P(B).

Теорема 4. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго: P(AB)=P(A)·P(B/A) =P(В)·P(A/B).

Примеры:

1. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в цель. Известно, что вероятность попадания р₁ первого стрелка равна 0,9, а вероятность попадания р₂ второго – 0,8. Найти вероятность того, оба стрелка попадут в цель.

Решение.

Рассмотрим событие: А=«попадание первого стрелка в цель», В=«попадание второго стрелка в цель». Тогда событие АВ=«оба стрелка попали в цель». Так как события А и В независимы по условию, то

Р(АВ)=Р(А)Р(В)=р₁р₂ = 0,72.

Ответ: 0,72.

2. В урне имеется 3 красных и 7 белых шаров. Вынимают сначала один шар и, не возвращая его в урну, второй. Какова вероятность того, что оба шара белые?

Решение.

Пусть событие А=«первый шар белый», В=«второй шар белый». Тогда событие АВ=«оба шара белые».

Р(АВ)=Р(А) Р(В/А).

. Условная вероятность P(В/А) того, что второй шар белый, вычисляется при условии, что уже вынут один белый шар, следовательно, . Итак, .

Ответ. .

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Теорема. Пусть события Н₁, Н₂, ... ,Н_n образуют полную группу попарно несовместных событий. И пусть событие А может произойти с каждым из этих событий, тогда

Р(А)=Р(Н₁)Р(А/H₁)+P(H₂)P(A/H₂)+ ... + P(H_n)P(A/H_n). (1)

Замечание. События Н₁, Н₂, ... ,Н_n называются гипотезами. Формула (1) – формулой полной вероятности.

Пример:

Имеется 2 одинаковых ящика с деталями. В первом ящике имеется 10 деталей, из них 2 нестандартных, во втором ящике тоже 10 деталей, из них 1 нестандартная. Из одного наугад выбранного ящика вынимается 1 деталь. Какова вероятность, что эта деталь стандартная?

Решение.

Пусть событие А=«взятая деталь стандартная».

Введем события (гипотезы): Н₁=«выбран первый ящик», Н₂=«выбран второй ящик».

Тогда событие А можно представить в виде А=Н₁А + Н₂А, отсюда Р(А)=Р(Н₁)Р(А/H₁)+P(H₂)P(A/H₂).

Ящиков два, следовательно, Р(Н₁)=Р(Н₂)= . Так как в первом ящике всего 10 деталей, из них 8 стандартных, то P(A/H₁) = = 0,8; аналогично

P(A/H₂) = = 0,9.

Итак, по формуле полной вероятности получаем:

Р (А)= 0,5× 0,8 + 0,5 × 0,9 = 0,85.

Ответ. 0,85.

Допустим, что испытание проведено, и в результате этого испытания событие А произошло. Вероятности каждой гипотезы при условии, что событие А произошло, вычисляются по формулам:

, .

Эти формулы позволяет переоценить вероятность каждой гипотезы после того, как становится известным, что в результате испытания произошло событие А. Следовательно, в общем виде получаем

. (2)

Формула (2) называется формулой Байеса.

Пример:

Пусть выполнены условия предыдущего примера и пусть испытание произведено и оказалось, что вынутая деталь стандартная. Найти вероятность того, что она извлечена из первого ящика.

Решение.

Введем те же обозначения для событий, что и при решении предыдущего примера. Требуется найти Р(A/H₁). Так как Р(Н₁) = 0,5, Р(А/Н₁) = 0,8, Р(А) = 0,85, то по формуле (2) имеем

.

Ответ. 0,47.

Как видно, до испытания Р(Н₁) = 0,5, а после того как стал известен результат испытания (вынута стандартная деталь), вероятность гипотезы Н₁ изменилась, что вполне согласуется со здравым смыслом, так как в первом ящике стандартных деталей было меньше.

Повторение независимых испытаний

Формула Бернулли

Пусть эксперимент состоит в проведении некоторого опыта, о котором можно предположить, что или добились успеха или нет. Т.е. эксперимент с двумя исходами: А и , которые называются «успехом» и «неуспехом» соответственно.

Пусть , .

Проведем п идентичных испытаний (независимых друг от друга). Построенная схема испытаний называется схемой Бернулли.

Ставится вопрос: Какова вероятность того, что раз добьемся успеха? Обозначим искомую вероятность .

Пример:

Найдем вероятность «успеха» в 3-х испытаниях.

Проведем n независимых испытаний.

,

где .

Определение. Схемой Бернулли называется последовательность независимых (идентичных) испытаний с двумя исходами, имеющими неизменные вероятности (в каждом из испытаний).

Вероятность в схеме Бернулли вычисляется по формуле

. (3)

Формула (3) называется формулой Бернулли.

Отметим, что вероятность равна коэффициенту при в разложении бинома по степеням х. В силу этого свойства совокупность вероятностей называется биномиальным законом распределения вероятностей.

Пример:

В помещении 6 электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года, равна 0,7. Найти вероятность того, что в течение года придется заменить 2 лампочки.

Решение:

А = «лампочка неисправна»

n = 6, m = 2, р =1 – 0,7 = 0,3; q = 0,7; p + q = 1,

.

Ответ. 0,3241.

Если требуется найти вероятность того, что число появления события А окажется в пределах от т₁ до т₂ (интервальная вероятность), обозначается или , то тогда в силу несовместимости событий

.

«Не менее m раз» .

«Хотя бы 1 раз» .

Т.к. все возможные несовместимые между собой исходы испытаний состоят в появлении события А 0 раз, 1 раз, …, n раз, то

.