Виробництво і вартість; мінімізація вартості

Для визначення зв'язку між обсягом виробництва продукції та вартістю її виробництва проаналізуємо попередньо зв'язок між обсягами затрат факторів (L,К) і вартістю виробництва. Такий зв'язок у довгостроковому періоді показуєфункція сукупної вартості виробництва, яка відображає сумарну вартість усіх використаних факторів виробництва і у випадку двох факторів має вигляд:

ТС=с(L,К)= Р_L×L+Р_K×K. (6.8)

тут ТС — сукупна вартість виробництва,

Р_L — ціна одиниці праці,

Р_K — ціна одиниці капіталу.

Через те що ціни факторів виробництва розглядаються як незмінні, незалежно від обсягів використання факторів, ця функція є лінійною. Якщо зафіксувати ТС на певному рівні ТС₀, тоді в системі координат "праця-капітал" можна зобразити пряму лінію, всі точки якої відповідають різним варіантам сполучень факторів виробництва однакової вартості ТС₀. Така лінія має назвуізокоста, або лінія незмінної вартості. На рис. 6.6.а зображена ізокоста при TС₀ =100, P_L =2, P_K =5.

Рис. 6.6. (а) Ізокоста з нахилом — P_L/ P_K; (б) паралельний зсув ізокости при зменшенні вартості ТС; (в) зміна нахилу ізокости при зменшенні ціни Р_K.

Нахил ізокости дорівнює (-P_L/ P_K) і визначає норму заміщення капіталу однією додатковою одиницею праці за умов незмінної сукупної вартості.

Якщо зафіксувати рівень ТС=ТС₁=50, тоді отримаємо іншу ізокосту, якій на мал. 6.6.б відповідає пряма, що паралельна першій ізокості. Сукупність ізокост при різних рівнях сукупної вартості утворюєкарту ізокост.При зміні цін факторів нахил ізокости змінюється: на рис. 6.6.в показана зміна нахилу ізокости при зменшенні Р_K з 5 до 4.

Через те що однакові обсяги випуску продукції можуть забезпечуватись використанням різних комбінацій обсягів виробничих факторів з різною вартістю, виникає питання вибору сполучення факторів мінімальної вартості.

Мінімізація вартості — процес досягнення фірмою таких обсягів використання ресурсів, коливартість набору ресурсів, необхідних для забезпечення певного обсягу випуску продукції, буде найменшою у порівнянні з вартістю всіх інших наборів ресурсів, які забезпечують той самий обсяг випуску.

Геометричнo така задача розв'язується, якщо на одному малюнку сумістити ізокванту, що відповідає бажаному обсягу випуску Q (на рис. 6.7 це Q =1О), з картою ізокост; мінімальній вартості виробництва буде відповідати точка Е — точка дотику ізокванти та однієї з ізокост. Відповідна комбінація факторів в обсягах (L_E, K_E) буде мати найменшу вартість серед усіх інших, які дають змогу забезпечити бажаний випуск.

Рис. 6.7. Мінімізація сукупної вартості (ТС) виробництва фіксованого

обсягу продукції Q=10.

Аналітичної проблема мінімізації вартості приводить до математичної задачі умовної мінімізації: мінімізувати значення функції (Р_L×L+Р_K×K) з урахуванням обмеження Q₀ =F(L,К) і умови невід'ємності змінних L, К.

Ця задача розв'язується за допомогою методу множників Лаґранжа.

Аналітичний і геометричний розв'язок наведеної задачі даєумову мінімізації вартості і має вигляд:

(6.9)

або

(6.9’)

Ця умова відома під назвоюеквімарґінальний принцип, абопринцип рівності граничних величин.

Як видно з рис. 6.7 та з формули (6.9), у точці Е, де мінімізується вартість, збігаються нахили ізокванти й ізокости, тобто збігаються норми заміщення факторів за вартістю і за технологією. Іншими словами, для мінімізації вартості при заданому рівні виробництва фірмі треба використовувати таку комбінацію ресурсів, за якої граничні продуктивності ресурсів пропорційні їхнім цінам.

Так само як і вище, для кожного іншого бажаного обсягу випуску можна знайти точку мінімальної вартості в системі координат "праця—капітал". Поєднання таких точок для різних обсягів випуску утворює криву, яка зображена на рис. 6.8 і відома під назвоюшлях (крива)експансії (або розвитку) фірми у довгостроковому періоді.

Рис. 6.8. Шлях експансії у довгостроковому періоді

За допомогою кривої експансії можна побудуватифункцію вартості виробництва:

ТС = c(Q), (6.10)

яка встановлює зв'язок між обсягом випуску Q і мінімально можливою вартістю виробництва цього обсягу.