Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Елементи комбінаторики в теорії ймовірностей: переставлення, розміщення та комбінації

Прості та складені випадкові події. Простір елементарних подій

 

Теорія ймовірностей як один із розділів математики досліджує певний вид математичних моделей — моделі випадкових подій, а не самі такі події.

Математичні моделі, як відомо, відбивають найістотніші властивості досліджуваних об’єктів, абстрагуючись від неістотних.

Для математичного опису випадкових подій — наслідків експерименту — застосовують такі точні поняття: прості (елементарні) та складені випадкові події, простір елементарних подій.

Подія, що може відбутися внаслідок проведення однієї і лише однієї спроби (експерименту), називається простою (елементарною) випадковою подією.

Елементарні події позначаються wі (і = 1, 2, 3,…) і в теорії ймовір­ностей, так само як, скажімо, точка в геометрії, не поділяються на простіші складові.

Випадкова подія називається складеною, якщо її можна розкласти на прості (елементарні) події. Складені випадкові події позначаються латинськими великими літерами: A, B, C, D, … .

Елементарні випадкові події wі Î A, wj Î B, wk Î C, які належать відповідно складеним випадковим подіям А, В, С, тобто є елементами цих множин, називають елементарними подіями, які сприяють появі кожної із зазначених подій унаслідок проведення експерименту (wі сприяють появі події А, wj — події В, wk — події С).

Кожному експерименту (спробі) з випадковими результатами (наслідками) відповідає певна множина W елементарних подій wi, кожна з яких може відбутися (настати) внаслідок його проведення: wі Î W. Множину називають простором елементарних подій.

Простір елементарних подій може бути як дискретним, так і неперервним. Якщо множина є зчисленною (зліченною), тобто всі її елементи можна перелічити або принаймні пронумерувати (кожній елементарній події поставити у відповідність один і тільки один елемент нескінченної послідовності натуральних чисел 1, 2, 3, …), то простір елементарних подій називають дискретним. Він може бути обмеженим і необмеженим.



У противному разі (тобто коли кожній елементарній події не мож­на поставити у взаємно однозначну відповідність певне натуральне число) простір елементарних подій називають неперервним.

У розглянутих раніше прикладах простори елементарних подій були дискретними.

Приклади неперервних (недискретних) просторів елементарних подій дістанемо, розглянувши:

1) розміри однотипних деталей (діаметр, довжина), що їх виготов­ляє робітник або верстат-автомат;

2) покази приладів, що вимірюють масу, силу струму, напругу, опір і т. ін.

Отже, поняття елементарної події, простору елементарних подій є основними в теорії ймовірностей, як точка та пряма в аксіоматично побудованій евклідовій геометрії. Сама природа елементарних подій у теорії ймовірностей при цьому неістотна.

Простір елементарних подій є математичною моделлю певного ідеалізованого експерименту в тому розумінні, що будь-який можливий його наслідок описується однією і лише однією елементарною подією — наслідком експерименту.

Мовою теорії множин випадкова подія А означується як довільна непорожня підмножина множини W (А Ì W).

Операції над подіями

 

üДодавання. Сумою двох подій А і В називається така подія С = А В (С = А + В), яка внаслідок експерименту настає з настанням принаймні однієї з подій А або В. Подію А В схематично зображено на рис. 1 заштрихованою областю.

Рис. 1

Операція А В називається об’єднанням цих подій.

üМноження. Добутком двох подій А і В називається така подія С = А В (С = АВ), яка внаслідок експерименту настає з одночасним настанням подій А і В.

Операція А В називається перерізом цих подій (рис. 2).

Рис. 2

üВіднімання. Різницею двох подій А і В називається така подія
С = А \ В (С = АВ), яка внаслідок експерименту настає з настанням події А і одночасним ненастанням події В (рис. 3).

Рис. 3

Якщо АВ ¹ Æ, то випадкові події А і В називають сумісними.

Якщо АВ = Æ, то такі випадкові події А і В називають несумісними.

Повна група подій. Протилежні події. Якщо А1 A2 A3
An = = W, то такі випадкові події утворюють повну групу, а саме: внаслідок експерименту якась із подій Аі обов’язково настане.

Дві несумісні випадкові події, що утворюють повну групу, називають протилежними.

Подія, яка протилежна А, позначається . Протилежні події у просторі елементарних подій ілюструє рис. 4. Він унаочнює також співвідношення: А = Ω, А = Æ.

Рис. 4

Випадкові події А, В, С (А Ì Ω, В Ω, С Ω), для яких визначено операції додавання, множення та віднімання, підлягають таким законам:

1. А А = А, А А = А.  
2. А В = В А. 3. А В = В А. Комутативний закон для операцій додавання та множення.
4. (А В) С = А (В С). 5. (А В) С = А (В С). Асоціативний закон для операцій додавання та множення.
6. (А В) С = (А С) (В С). Перший дистрибутивний закон.
7. (А В) С = (А С) (В С). Другий дистрибутивний закон.
           

8. А Ω = Ω.

9. А Ω = А.

10. А Æ = А.

11. А Æ = Æ.

12. = Ω \ А.

13. = Æ.

14. = Ω.

15. А (А ) = А; В = В (В ).

16. .

17. .

Елементарні випадкові події задовольняють такі твердження: 1) між собою несумісні; 2) утворюють повну групу; 3) є рівноможливими, а саме: усі елементарні події мають однакові можливості відбутися внаслідок проведення одного експерименту.

Для дискретного простору Ω перші два твердження можна записати так: 1) ωі ωj = Æ, і ј; 2) = Ω.

Для кількісного вимірювання появи випадкових подій і їх комбінацій уводиться поняття ймовірності події, що є числом такої ж природи, як і відстань у геометрії або маса в теоретичній механіці.

3. Класичне означення ймовірності

Імовірністю випадкової події А називається невід’ємне число Р(А), що дорівнює відношенню числа елементарних подій m (0 m n), які сприяють появі А, до кількості всіх елементарних подій n простору Ω:

Р (А) = . (1)

 

Для неможливої події Р (Æ) = 0 (m = 0);

Для вірогідної події Р (Ω) = 1 (m = n).

Отже, для довільної випадкової події

 

. (2)

Елементи комбінаторики в теорії ймовірностей: переставлення, розміщення та комбінації

 

При розв’язуванні задач з теорії ймовірностей побудувати простір елементарних подій (множину W) можна не завжди.

Для більшості прикладних задач така побудова пов’язана з виконанням великого обсягу робіт, а нерідко й взагалі неможлива. Щоб обчислити ймовірність тієї чи іншої випадкової події для певного класу задач із дискретним і обмеженим простором елементарних подій, необхідно вміти обчислити кількість n усіх елементарних подій (елементів множини W) і число m елементарних подій, які сприяють появі випадкової події.

Існує клас задач, в яких для обчислення n і m використовуються елементи комбінаторики: переставлення, розміщення та комбінації. У комбінаториці оперують множинами однотипних елементів.

Загалом множини бувають упорядковані та невпорядковані.

Множину називають упорядкованою, якщо при її побудові істотним є порядок розміщення елементів.

У противному разі множину називають невпорядкованою.

Переставлення. Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення.

Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою

 

, (3)

 

де n набуває лише цілих невід’ємних значень.

Оскільки , то при n = 1 маємо

1! = 0!

Отже, 0! = 1.

Розміщення. Розміщенням із n елементів по m (0 ) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом.

Кількість таких множин обчислюється за формулою

 

. (4)

Комбінації. Комбінаціями з n елементів по називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом.

Кількість таких множин

 

. (5)






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2024 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.