Тема 8. Приложения производной Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма и ее геометрический смысл. Теорема Ролля и ее геометрический смысл. Теорема Лагранжа ее механический и геометрический смысл. Правило Лопиталя и его применение к вычислению пределов функций. Достаточное и необходимое условия возрастания функции. Достаточное условие убывания функции.
Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума Стационарные точки. Достаточные условия экстремума функции. Схема исследования функции на экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, схема их отыскания. Выпуклость функции. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условия перегиба графика функции. Схема исследования на выпуклость в точке перегиба. Асимптоты графика функции. Вертикальная, горизонтальные и наклонная асимптоты графика функции. Общая схема исследования функций и построения их графиков.
Приложение производной в экономической теории. Закон убывающей доходности. Закон убывающей полезности.
Контрольные вопросы:
1.Указать роль правила Лопиталя в вычислении пределов функций.
2.Привести необходимое и достаточное условия экстремума функции.
3.Привести схему исследования функции на экстремум.
4. Указать виды асимптот графика функций.
5.В чем отличие глобальных и локальных экстремумов функции?
Рекомендуемая литература:
1. Высшая математика для экономистов. /Под ред. Кремера Н.Ш. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. – 479 с.
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов./Под ред. Ермакова В.И. – М.: ИНФРА-М, 2001.- 576 с.
3. Щипачев В.С. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа, 2000.- 304 с.
Тема 9. Функции нескольких переменных
Линия уровня функции двух переменных. Предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные и дифференциал функции двух переменных. Производная по направлению и градиент.
Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума функции двух переменных. Схема исследования функции двух переменных на экстремум. Глобальные экстремумы. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.
Контрольные вопросы:
1.Что такое градиент функции?
2.Указать частные производные функции двух переменных.
3.Привести схему исследования функции двух переменных на экстремум.
4. В чем суть метода наименьших квадратов.
Рекомендуемая литература:
1. Высшая математика для экономистов. /Под ред. Кремера Н.Ш. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. – 479 с.
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов./Под ред. Ермакова В.И. – М.: ИНФРА-М, 2001.- 576 с.
3. Щипачев В.С. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа, 2000.- 304 с.
Раздел 4. Интегральное исчисление, дифференциальные уравнения и ряды
Тема 10. Неопределенный интеграл
Первообразная функции и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Методы нахождения неопределенных интегралов. Метод разложения. Метод замены переменной. Метод интегрирования по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций. Функции, не интегрируемые в конечном виде.
Контрольные вопросы:
1.Указать основные свойства неопределенного интеграла.
2.В чем суть метода интегрирования по частям?
3.Указать основные методы нахождения неопределенных интегралов.
4. В чем суть метода замены переменной?
Рекомендуемая литература:
1. Высшая математика для экономистов. /Под ред. Кремера Н.Ш. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. – 479 с.
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов./Под ред. Ермакова В.И. – М.: ИНФРА-М, 2001.- 576 с.
3. Щипачев В.С. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа, 2000.- 304 с.
Тема 11. Определенный интеграл
Определенный интеграл, его геометрический и экономический смысл. Достаточное условие интегрируемости функций. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоской фигуры. Вычисление объемов тел вращения.
Двойной интеграл. Геометрический смысл двойного интеграла. Двумерный вариант формулы Ньютона-Лейбница.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула трапеций.
Использование понятия определенного интеграла в экономике. Расчет объема выпускаемой продукции за исследуемый временной период. Вычисление коэффициента Джини. Расчет дисконтированного дохода при оценке эффективностей капиталовложений.
Контрольные вопросы:
1. Указать геометрический смысл определенного интеграла.
2. Привести классификацию несобственных интегралов.
3.Укаазать основные свойства определенного интеграла.
4. Указать геометрический смысл двойного интеграла.
5. В чем суть формулы трапеций?
Рекомендуемая литература:
1. Высшая математика для экономистов. /Под ред. Кремера Н.Ш. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. – 479 с.
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов./Под ред. Ермакова В.И. – М.: ИНФРА-М, 2001.- 576 с.
3. Щипачев В.С. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа, 2000.- 304 с.
Тема 12. Дифференциальные уравнения
Определение дифференциального уравнения натурального порядка. Общее и частное решения дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности его решения. Автономные дифференциальные уравнения. Неполные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные. Схема нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциальные уравнения второго порядка.
Использование дифференциальные уравнения в экономической динамике. Модель естественного роста. Модель роста в условиях конкурентного рынка.
Контрольные вопросы:
1.Что такое интегральная кривая?
2.Привести схему решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
3.Указать метод решения однородных дифференциальных уравнений.
Рекомендуемая литература:
1. Высшая математика для экономистов. /Под ред. Кремера Н.Ш. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. – 479 с.
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов./Под ред. Ермакова В.И. – М.: ИНФРА-М, 2001.- 576 с.
3. Щипачев В.С. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа, 2000.- 304 с.
4. Агафонов С.А., Муратова Е.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Академия, 2008. – 238 с.
Тема 13. Ряды
Числовые ряды. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Сумма ряда. Свойства сходящихся числовых рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд. Ряды с положительными членами. Признак сравнения. Предельный признак сравнения. Интегральный признак сходимости числового ряда. Признак Даламбера сходимости знакочередующегося ряда. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Абсолютно сходящийся и условно сходящийся числовой ряд.
Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов. Ряд Маклорена. Разложение функций в ряд Маклорена. Ряд Тейлора. Применение рядов в приближенных вычислениях.
Контрольные вопросы:
1.Указать свойства сходящихся числовых рядов.
2.В чем суть признака Даламбера?
3.Привести необходимый признак сходимости числового ряда.
4. Привести схему нахождения промежутка сходимости степенного ряда.
5.Что такое ряд Маклорена?
Рекомендуемая литература:
1. Высшая математика для экономистов. /Под ред. Кремера Н.Ш. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. – 479 с.
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов./Под ред. Ермакова В.И. – М.: ИНФРА-М, 2001.- 576 с.
3. Щипачев В.С. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа, 2000.- 304 с.
|