РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Предложить единую схему решения задач невозможно, однако можно рекомендовать определенную последовательность действий. Приступая к решению задач по какому-либо разделу, необходимо ознакомиться с конкретными физическими понятиями и соотношениями этого раздела, разобрать приведенные примеры решения задач. При самостоятельном решении задач целесообразно придерживаться следующей схемы:

1) по условию задачи представьте себе физическое явление, о котором идет речь, сделайте краткую запись условия, выразив исходные данные в единицах СИ;

2) сделайте, если это необходимо, рисунок, поясняющий описываемый в задаче процесс;

3) напишите уравнение или систему уравнений, отображающих физический процесс;

4) преобразуйте уравнения так, чтобы в них входили лишь исходные данные и табличные величины;

5) решите задачу в общем виде;

6) произведите вычисления и оцените реальность числового ответа.

Примеры решения задач

Пример 1. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид x=A+Bt+Ct³, где A=4 м, B=2 м/с, С=-0,5 м/с². Для момента времени t₁=2 с определить: 1) координату x₁ точки, 2) мгновенную скорость v₁, 3) мгновенное ускорение a₁.

Решение. 1. Координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения вместо t заданное значение времени t₁:

x=A+Bt+Ct³.

Подставим в это выражение значения A, В, С, t₁ и произведем вычисления:

x=(4+4- 0,5 2³) м=4 м.

2. Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем, продифференцировав координату х по времени:

.

Тогда в заданный момент времени t₁ мгновенная скорость v₁=B+3Ct₁². Подставим сюда значения В, С, t₁ и произведем вычисления: v₁=-4 м/с. Знак минус указывает на то, что в момент времени t₁=2 с точка движется в отрицательном направлении координатной оси.

3. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем, взяв вторую производную от координаты х по времени:

.

Мгновенное ускорение в заданный момент времени t₁ равно a₁=6Ct₁. Подставим значения С, t₁и произведем вычисления:

a₁=(-6 0,5 2) м/с=-6 м/с. Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпадает с отрицательным направлением координатной оси, причем в условиях данной задачи это имеет место для любого момента времени.

Пример 2. При падении тела с большой высоты его скорость v_уст при установившемся движении достигает 80 м/с. Определить время τ, в течение которого начиная от момента начала падения скорость становится равной 1/2 v_уст. Силу сопротивления воздуха принять пропорциональной скорости тела.

Решение. На падающее тело действуют две силы: сила тяжести и сила сопротивления воздуха .

Сила сопротивления воздуха по условиям задачи пропорциональна скорости тела и противоположна ей по направлению:

,

где k - коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров, формы тела и от свойств окружающей среды.

Напишем уравнение движения тела в соответствии со вторым законом Ньютона в векторной форме:

.

Подставив выражение для , получим

.

Спроецируем все векторные величины на вертикально направленную ось и напишем уравнение для проекций:

После разделения переменных получим

Выполним интегрирование, учитывая, что при изменении времени от нуля до τ (искомое время) скорость возрастает от нуля до 1/2v_уст

После интегрирования получаем

Подставим пределы интегрирования в левую часть равенства:

и найдем из полученного выражения искомое время:

Входящий сюда коэффициент пропорциональности k определим из следующих соображений. При установившемся движении (скорость постоянна) алгебраическая сумма проекций (на ось y) сил, действующих на тело, равна нулю, т. е. mg—kv_уст=0, откуда k=mg/v_уст. Подставим найденное значение k в полученную формулу для τ:

После сокращений и упрощений получим

Подставив в эту формулу значения v_уст, g, ln2 и произведя вычисления, получим τ=5,66 с.

Пример 3. Два шара массами m₁=2,5 кг и m₂=1,5 кг движутся навстречу друг другу со скоростями v₁=6 м/с и v₂=2 м/с. Определить: 1) скорость и шаров после удара; 2) кинетические энергии шаров W₁ до и W₂ после удара; 3) долю кинетической энергии w шаров, превратившейся во внутреннюю энергию. Удар считать прямым, неупругим.

Решение. 1. Неупругие шары не восстанавливают после удара своей первоначальной формы. Следовательно, не возникают силы, отталкивающие шары друг от друга, и шары после удара будут двигаться совместно с одной и той же скоростью и. Определим эту скорость по закону сохранения импульса. Так как шары движутся вдоль одной прямой, то этот закон можно записать в скалярной форме:

,

откуда

.

Направление скорости первого шара примем за положительное; тогда при вычислении скорость второго шара, который движется навстречу первому, следует взять со знаком минус:

u=(2,5 6—1,5 2)/(2,5+1,5) м/с=3 м/с.

2. Кинетические энергии шаров до и после удара определим по формулам

; .

Произведя вычисления по этим формулам, получим

W₁=(2,5 6²/2+1,5 2²/2)=48 (Дж); W₂=(2,5+1,5) 3² =18 (Дж).

3. Сравнение кинетических энергий шаров до и после удара показывает, что в результате неупругого удара шаров произошло уменьшение их кинетической энергии, за счет чего увеличилась их внутренняя энергия. Долю кинетической энергии шаров, пошедшей на увеличение их внутренней энергии, определим из соотношения

; .

Пример 4. Платформа в виде диска радиусом R= 1,5 м и массой m₁=180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n=10 мин^-1. В центре платформы стоит человек массой т₂=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение. По закону сохранения момента импульса,

,

где J₁ - момент инерции платформы; J₂ - момент инерции человека, стоящего в центре платформы; - угловая скорость платформы с человеком, стоящим в ее центре; J₂' - момент инерции человека, стоящего на краю платформы; ω' - угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю.

Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением

.

Определив отсюда ω' и подставив полученное выражение в формулу закона сохранения момента импульса, будем иметь

v=(J₁+J₂)ω R/(J₁+J'₂)

Момент инерции платформы рассчитываем как для диска; следовательно, . Момент инерции человека рассчитываем как для материальной точки. Поэтому J₂=0, J'₂=m₂R². Угловая скорость платформы до перехода человека равна ω=2πn.

Заменив в формуле скорости величины J₁, J₂, J'₂. и ω их выражениями, получим

Сделав подстановку значений т₁, т₂, п, R и π, найдем линейную скорость человека:

(м/с).

Пример 5.Кинетическая энергия W_K электрона равна 1 МэВ. Определить скорость электрона.

Решение. Релятивистская формула кинетической энергии

где E₀=m₀c² - энергия покоя электрона.

Выполнив относительно β преобразования, найдем скорость частицы, выраженную в долях скорости света (β=v/c):

.

Вычисления по этой формуле можно производить в любых единицах энергии, так как наименования единиц в правой части формул сократятся, и в результате подсчета будет получено отвлеченное число.

Подставив числовые значения Е₀и W_K в мегаэлектрон-вольтах, получим β=0,941.

Так как v=βc, то v =0,941∙3∙10⁸= 2,82·10⁸ (м/с).

Чтобы определить, является ли частица с кинетической энергией W_K релятивистской или классической, достаточно сравнить кинетическую энергию частицы с ее энергией покоя. Если <<1, частицу можно считать классической.

Пример 6.Материальная точка массой т=5 г совершает гармонические колебания с периодом Т=2 с. Амплитуда колебаний A=3 см. Определить: 1) скорость v точки в момент времени, когда смещение х=1,5 см; 2) максимальную силу F_max, действующую на точку.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид

а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения:

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат, разделим первое на А², второе на A²ω ² и сложим:

Решив последнее уравнение относительно v , найдем

Поскольку , получаем

Выполнив вычисления, получим м/c

Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, знак минус – случаю, когда направление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х.

2. Силу, действующую на точку, найдем по второму закону Ньютона:

где а - ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от скорости:

Подставив выражение ускорения в формулу второго закона Ньютона, получим

Отсюда максимальное значение силы

Подставив в это уравнение значения величин π, T, т и A, найдем Н.

Пример 7.Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых , , где А₁=1 см, A₂=2 см, ω=π с^-1. Найти уравнение траектории точки.

Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим время t из заданных уравнений. Для этого воспользуемся формулой

В данном случае α=ωt, поэтому

Как следует из условия задачи, , и уравнение траектории

.

Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью Ох. Из уравнений, заданных в условии задачи, следует, что смещение точки по осям координат ограничено и заключено в пределах от -1 до +1 см по оси Ох и от -2 до +2 см по оси Оу.

Пример 8. Найти молярную массу М смеси кислорода массой m₁=25 г и азота массой m₂=75 г.

Решение. Молярная масса смеси М_см есть отношение массы смеси т_см к количеству вещества смеси υ_см т.е.

M_см=m_см/υ_см

Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси m_см=m₁+m₂. Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов.

Подставив в формулу (1) выражения m_см и υ_см, получим

Молярные массы M₁ кислорода и М₂, азота:M₁ =32×10^-3 кг/моль, М₂=28×10^-3 кг/моль. Подставим значения величин и произведем вычисления:

(кг/моль)

Пример 9. В баллоне объемом V=10 л находится гелий под давлением p₁=l МПа при температуре T₁=300 К. После того как из баллона был израсходован гелий массой m=10 г, температура в баллоне понизилась до T₂=290 К. Определить давление p₂ гелия, оставшегося в баллоне.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Клапейрона - Менделеева, применив его дважды к начальному и конечному состояниям газа. Для начального состояния уравнение имеет вид

p₁V= RT₁,

а для конечного состояния –

p₂V= RT₂,

где m₁ и m₂ - массы гелия в начальном и конечном состояниях.

Выразим массы m₁ и m₂ гелия:

;

и вычтем m₂ из m₁:

Отсюда найдем искомое давление:

Подставив значения величин, получим р₂=3,64∙10⁵ Па

Пример 10. Найти среднюю кинетическую энергию одной молекулы аммиака NH₃ при температуре t=27°С и среднюю энергию вращательного движения этой молекулы при той же температуре.

Решение. Средняя полная энергия молекулы определяется по формуле

где i - число степеней свободы молекулы; k - постоянная Больцмана; Т - термодинамическая температура газа: T=t+Т₀, где Т₀=273 К.

Число степеней свободы i четырехатомной молекулы, какой является молекула аммиака, равно 6.

Подставив значения величин, получаем

Дж.

Средняя энергия вращательного движения молекулы определяется по формуле

где число 3 означает число степеней свободы поступательного движения.

Подставим значения величин и вычислим:

Дж.

Пример 11. Средняя длина свободного пробега <l> молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость <v> молекул и число z соударений, которые испытывает молекула в 1 с.

Решение. Средняя арифметическая скорость молекул определяется по формуле

где М - молярная масса вещества.

Подставив числовые значения, получим <v>=362 м/с.

Среднее число z соударений молекулы в 1 с определяется отношением средней скорости <v> молекулы к средней длине ее свободного пробега <l>:

.

Подставив в эту формулу значения <v>=362 м/с, <l>=40 нм=4×10^{-8 м, получим} z= 9,05×10⁹ с^-1.

Пример 12. Определить изменение DS энтропии при изотермиче­ском расширении кислорода массой m=10 г от объема V₁=25 л до объема V₂=100 л.

Решение. Так как процесс изотермический, то в общем выражении энтропии температуру выносят за знак интеграла. Выполнив это, получим

Количество теплоты Q, полученное газом, найдем по первому началу термодинамики: Q=DU+A. Для изотермического процесса DU=0, следовательно, Q=A, а работа А для этого процесса определяется по формуле

С учетом этого получаем

Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим

DS=(10×10^-3/(32×10^-3)) ×8,31 ln(100×10^-3/(25×10^-3))=3,60 (Дж/К).

ЗАДАЧИ

1. Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью v₁=60 км/ч, остальную часть пути - со скоростью v₂=80 км/ч. Какова средняя путевая скорость <v> автомобиля?

2. Первую половину пути тело двигалось со скоростью v₁=2 м/с, вторую - со скоростью v₂=8 м/с. Определить среднюю путевую скорость <v> .

3.Движение материальной точки задано уравнением x=At+Bt², где A=4 м/с, В= - 0,05 м/с². Определить момент времени, в который скорость v точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент.

4. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями:x₁=A₁+B₁t+C₁t², x₂=A₂+B₂t+C₂t², где A₁=20 м, A₂=2 м, B₁=B₂=2 м/с, C₁= - 4 м/с², С₂=0,5 м/с². В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости v₁ и v₂ и ускорения a₁ и а₂ точек в этот момент.

5. Две материальные точки движутся согласно уравнениям: x₁=A₁t+B₁t²+C₁t³, x₂=A₂t+B₂t²+C₂t³, где A₁=4 м/c, B₁=8 м/с², C₁=- 16 м/с³, A₂=2 м/с, B₂= - 4 м/с², С₂=1м/с³. В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v₁ и v₂ точек в этот момент.

6.Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью v₀=20 м/с. Через какое время камень будет находиться на высоте h=15м? Найти скорость v камня на этой высоте. Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g=10 м/с².

7. Вертикально вверх с начальной скоростью v₀=20 м/с брошен камень. Через τ=1 с после этого брошен вертикально вверх другой камень с такой же скоростью. На какой высоте h встретятся камни?

8.Движение точки по прямой задано уравнением x=At+Bt², где A =2 м/с, В= - 0,5 м/с². Определить среднюю путевую скорость <v> движения точки в интервале времени от t₁=l с до t₂=3 с.

9. Точка движется по прямой согласно уравнению x=At+Bt³, где A=6 м/с, В= - 0,125 м/с³. Определить среднюю путевую скорость <v> точки в интервале времени от t₁=2 с до t₂=6 с.

10. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте h=8,6 м два раза с интервалом Dt=3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость брошенного тела.

11.Движение материальной точки задано уравнением , где A=10 м, В= - 5 м/с², С=10 м/с. Найти выражения для скорости и ускорения . Для момента времени t=1с вычислить: 1) модуль скорости ; 2) модуль ускорения ; 3) модуль тангенциального ускорения ; 4)модуль нормального ускорения .

12.Движение точки по окружности радиусом R=4 м задано уравнением S=A+Bt+Ct², где A=10 м, В=-2 м/с, С=1 м/с². Найти тангенциальное а , нормальное a_n и полное а ускорения точки в момент времени t=2с.

13. По дуге окружности радиусом R=10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки а_n=4,9 м/с²; в этот момент векторы полного и нормального ускорений образуют угол φ=60°. Найти скорость v и тангенциальное ускорение a точки.

14. Точка движется по окружности радиусом R=2 м согласно уравнению S=At³, где A=2 м/с³. В какой момент времени t нормальное ускорение а_n точки будет равно тангенциальному а ?Определить полное ускорение а в этот момент.

15. Движение точки по кривой задано уравнениями x=A₁t³ и y=A₂t, где A₁=l м/с³, A₂=2 м/с. Найти уравнение траектории точки, ее скорость v и полное ускорение а в момент времени t=0,8 с.

16.Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении с начальной скоростью v₀=30 м/с. Определить скорость v, тангенциальное a и нормальное a_n ускорения камня в конце второй секунды после начала движения.

17.Диск радиусом R=20 см вращается согласно уравнению φ=A+Bt+Сt³, где A=3 рад, В=-1 рад/с, С=0,1 рад/с³. Определить тангенциальное a нормальное а_n и полное а ускорения точек на окружности диска для момента времени t=10 с.

18. Колесо автомашины вращается равноускоренно. Сделав N=50 полных оборотов, оно изменило частоту вращения от n₁=4 с¹ до n₂=6 с¹. Определить угловое ускорение e и время вращения Δt колеса.

19. Диск вращается с угловым ускорением ε= - 2 рад/с². Сколько оборотов N сделает диск при изменении частоты вращения от n₁=240 мин^-1 до n₂=90 мин^-1? Найти время Δt, в течение которого это произойдет.

20. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны R=50 м. Уравнение движения автомобиля имеет вид S(t)=A+Bt+Ct², где A=10 м, B=10 м/с, С=-0,5 м/с². Найти скорость v автомобиля, его тангенциальное a_τ, нормальное а_n. и полное а ускорения в момент времени t=5 с.

21. Два бруска массами m₁=l кг и m₂=4 кг, соединенные шнуром, лежат на столе. С каким ускорением а будут двигаться бруски, если к одному из них приложить силу F=10 H, направленную горизонтально? Какова будет сила натяжения Т шнура, соединяющего бруски, если силу F=10 Н приложить к первому бруску? ко второму бруску? Трением пренебречь.

22. Наклонная плоскость, образующая угол α=25° с плоскостью горизонта, имеет длину l=2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t=2 с. Определить коэффициент трения μ тела о плоскость.

23. Материальная точка массой т=2 кг движется под действием некоторой силы F согласно уравнению x=A+Bt+Ct²+Dt³, где С=1 м/с², D=-0,2 м/с³. Найти значения этой силы в моменты времени t₁=2 с и t₂=5 с. В какой момент времени сила равна нулю?

24. Шарик массой m=300 г ударился о стену и отскочил от нее. Определить импульс p₁, полученный стеной, если в последний момент перед ударом шарик имел скорость v₀=10 м/с, направленную под углом α=30° к поверхности стены. Удар считать абсолютно упругим.

25. Автоцистерна с керосином движется с ускорением а=0,7 м/с². Под каким углом α к плоскости горизонта расположен уровень керосина в цистерне?

26. Бак в тендере паровоза имеет длину l=4 м. Какова разность Δl уровней воды у переднего и заднего концов бака при движении поезда с ускорением a=0,5 м/с²?

27. Катер массой m=2 т с двигателем мощностью N=50 кВт развивает максимальную скорость v_mах =25 м/с. Определить время τ, в течение которого катер после выключения двигателя потеряет половину своей скорости. Принять, что сила сопротивления движению катера изменяется пропорционально квадрату скорости.

28. Снаряд массой т=10 кг выпущен из зенитного орудия вертикально вверх со скоростью v₀=800 м/с. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной скорости, определить время t подъема снаряда до высшей точки. Коэффициент сопротивления k=0,25 кг/с.

29. С вертолета, неподвижно висящего на некоторой высоте над поверхностью Земли, сброшен груз массой m=100 кг. Считая, что сила сопротивления воздуха изменяется пропорционально скорости, определить, через какой промежуток времени Δt ускорение а груза будет равно половине ускорения свободного падения. Коэффициент сопротивления k=10 кг/с.

30. Моторная лодка массой m=400 кг начинает двигаться по озеру. Сила тяги F мотора равна 0,2 кН. Считая силу сопротивления F_c пропорциональной скорости, определить скорость v лодки через Δt=20 с после начала ее движения. Коэффициент сопротивления k=20 кг/с.

31. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека М =60 кг, масса доски т=20 кг. С какой скоростью и (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль доски со скоростью (относительно доски) v=1 м/с? Массой колес пренебречь. Трение во втулках не учитывать.

32. В лодке массой m₁=240 кг стоит человек массой m₂=60 кг. Лодка плывет со скоростью v₁=2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью v=4 м/с (относительно лодки). Найти скорость и движения лодки после прыжка человека в двух случаях: 1) человек прыгает вперед по движению лодки и 2) в сторону, противоположную движению лодки.

33. Диск радиусом R=40 см вращается вокруг вертикальной оси. На краю диска лежит кубик. Принимая коэффициент трения μ=0,4, найти частоту п вращения, при которой кубик соскользнет с диска.

34. Автомобиль идет по закруглению шоссе, радиус R кривизны которого равен 200 м. Коэффициент трения μ колес о покрытие дороги равен 0,1 (гололед). При какой скорости v автомобиля начнется его занос?

35. Материальная точка массой m=2 кг двигалась под действием некоторой силы, направленной вдоль оси Ох согласно уравнению x=A+Bt+Ct²+Dt³, где В= - 2 м/с, С=1 м/с², D= - 0,2 м/с³. Найти мощность N, развиваемую силой в момент времени t₁=2 с и t₂=5 с.

36. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге. Какую наименьшую скорость v он должен развить, чтобы, выключив мотор, проехать по треку, имеющему форму «мертвой петли» радиусом R=4 м? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

37. Конькобежец, стоя на льду, бросил вперед гирю массой m₁=5 кг и вследствие отдачи покатился назадсо скоростью v₂=1 м/с. Масса конькобежца m₂=60 кг. Определить работу A, совершенную конькобежцем при бросании гири.

38. Два неупругих шара массами m₁=2 кг и m₂=3 кг движутся со скоростями соответственно v₁=8 м/с и v₁=4 м/с. Определить увеличение DU внутренней энергии шаров при их столкновении в двух случаях: 1) меньший шар нагоняет больший; 2) шары движутся навстречу друг другу.

39. Шар массой m₁, летящий со скоростью v₁=5 м/с, ударяет неподвижный шар массой m₂. Удар прямой, неупругий. Определить скорость и шаров после удара, а также долю ω кинетической энергии летящего шара, израсходованной на увеличение внутренней энергии этих шаров. Рассмотреть два случая: 1) т₁=2 кг, m₂=8 кг; 2) m₁=8 кг, m₂=2 кг.

40. Шар массой m₁=200 г, движущийся со скоростью v₁=10 м/с, ударяет неподвижный шар массой m₂=800 г. Удар прямой, абсолютно упругий. Каковы будут скорости v₁ и v₂ шаров после удара?

41. Вычислить момент инерции J проволочного прямоугольни­ка со сторонами а=12 см и b=16 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по длине проволоки с линейной плотностью τ=0,1 кг/м.

42. Определить момент инерции J кольца массой т=50 г и радиусом R=10 см относительно оси, лежащей в плоскости кольца и касательной к нему.

43. Диаметр диска d=20 см, масса т=800 г. Определить момент инерции J диска относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

44. Найти момент инерции J плоской однородной прямоугольной пластины массой т=800 г относительно оси, совпадающей с одной из ее сторон, если длина а другой стороны равна 40 см.

45. Определить момент инерции J тонкой плоской пластины со сторонами а=10 см и b=20 см относительно оси, проходящей через центр масс пластины параллельно большей стороне. Масса пластины равномерно распределена по ее площади с поверхностной плотностью σ=1,2 кг/м².

46.Тонкий однородный стержень длиной l=50 см и массой m=400 г вращается с угловым ускорением ε=3 рад/с² около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент М.

47.Вал массой m=100 кг и радиусом R=5см вращался с частотой n=8 с^-1. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F=40 H, под действием которой вал остановился через t=10 с. Определить коэффициент трения μ.

48.Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой m₁=100 г и т₂=110 г. С каким ускорением а будут двигаться грузики, если масса т блока равна 400 г? Трение при вращении блока ничтожно мало.

49. Шар массой m=10 кг и радиусом R=20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид φ=A+Bt²+Ct³, где В=4 рад/с², С= - 1 рад/с³. Найти закон изменения момента сил, действующих на шар. Определить момент сил М в момент времени t=2с.

50. Через неподвижный блок массой т=0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m₁=0,3кг и m₂=0,5 кг. Определить силы натяжения T₁ и T₂ шнура по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу.

51. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой m=0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью v=20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r =0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью w начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг·м²?

52.Шарик массой т=100 г, привязанный к концу нити длиной l₁=l м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость, с частотой n₁=1 с^-1. Нить укорачивается и шарик приближается к оси вращения до расстояния l₂=0,5 м. С какой частотой n₂ будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершит внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

53.Маховик вращается по закону, выраженному уравнением φ=A+Bt+Ct², где A=2 рад, B=32 рад/с, С= - 4 рад/с². Найти среднюю мощность <N>, развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если его момент инерции J=100 кг·м².

54.Маховик в виде диска массой m=80 кг и радиусом R=30см находится в состоянии покоя. Какую работу A₁нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту n=10 с^-1? Какую работу A₂ пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск имел меньшую толщину, но вдвое больший радиус?

55.Маховик, момент инерции J которого равен 40 кг·м², начал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием момента силы М=20 Н·м. Вращение продолжалось в течение t=10 с. Определить кинетическую энергию, приобретенную маховиком.

56. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу т=2 кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью v=5 м/с. Найти кинетические энергии W₁ и W₂ этих тел.

57.Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия Т шара равна 14 Дж. Определить кинетическую энергию поступательного и вращательного движения шара.

58.Определить линейную скорость v центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h=1м.

59.Сколько времени t будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длиной l=2 м и высотой h=10 см?

60.Тонкий прямой стержень длиной l=1м прикреплен к горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на угол φ=60° от положения равновесия и отпустили. Определить линейную скорость v нижнего конца стержня в момент прохождения через положение равновесия.

61. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоро­стью v=0,6 с. Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя?

62. Собственное время жизни τ₀ мю-мезона равно 2 мкс. От точки рождения до точки распада в лабораторной системе отсчета мю-мезон пролетел расстояние l=6 км. С какой скоростью v (в долях ско­рости света) двигался мезон?

63.Две релятивистские частицы движутся в лабораторной системе отсчета со скоростями v₁=0,6 с и v₂=0,9 с вдоль одной прямой. Определить их относительную скорость u₂₁ в двух случаях: 1) частицы движутся в одном направлении; 2) частицы движутся в противоположных направлениях.