Занятие 2. Уравнение Шредингера.

Краткие теоретические сведения

Основные понятия

Одномерное временное уравнение Шредингера

где мнимая единица масса частицы; волновая функция, описывающая состояние частицы.

Волновая функция, описывающая одномерное движение свободной частицы:

где амплитуда волны де Бройля; импульс частицы; энергия частицы.

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний:

где полная энергия частицы; потенциальная энергия; координатная (или амплитудная) часть волновой функции.

Для случая трех измерений уравнение Шредингера записывается в виде:

или в операторной форме:

где оператор Лапласа.

Стандартные условия, которым должна удовлетворять волновая функция:

1) конечность (во всем пространстве; 2) однозначность; 3) непрерывность самой функции и ее первой производной.

Вероятность обнаружить частицу в интервале от до (в одномерном случае) выражается формулой:

где плотность вероятности.

Вероятность обнаружить частицу в интервале от до находится интегрированием в указанных пределах:

Собственное значение энергии частицы, находящейся на м энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике, определяется формулой:

где ширина потенциального ящика.

Соответствующая этой энергии собственная волновая функция имеет вид:

Коэффициент преломления волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера бесконечной ширины (см Рис.1):

где и длины волн де Бройля в областях I и II (частица движется из области I во II ); соответствующие значения волновых чисел.

Коэффициенты отражения и пропускания волн де Бройля через низкий потенциальный барьер бесконечной ширины:

где и волновые числа волн де Бройля в областях I и II.

Коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера конечной ширины:

где высота потенциального барьера; энергия частицы; ширина барьера.

Вопросы для ответа у доски

1. Каким свойствам должна удовлетворять волновая функция?

2. В чем заключается физический смысл волновой функции?

3. Для каких частиц справедливо уравнение Шредингера?

4. Почему уравнение Шредингера сформулировано как волновое уравнение?

5. Запишите временное и стационарное уравнение Шредингера и проанализируйте их.

6. Запишите одномерное временное и стационарное уравнения Шредингера и проанализируйте их.

Примеры решения задач:

Задача 1. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной . Вычислить вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии ( , будет обнаружен в средней трети ящика.

Решение.

Вероятность обнаружить частицу в интервале от :

где нормированная собственная волновая функция, отвечающая данному состоянию.

Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике:

Возбужденному состоянию отвечает собственная функция

Подставив в подынтегральное выражение и вынеся постоянные величины за знак интеграла, получим:

По условию и (см Рис.2).

Рис.2

Подставим пределы интегрирования, произведем замену

.

Получаем:

=

По формулам приведения:

Подставив эти значения и произведя вычисления, получаем:

Ответ:.

Задача 2. Моноэнергетический поток электронов падает на низкий прямоугольный потенциальный барьер бесконечной ширины (см Рис.1). Определить высоту потенциального барьера , если известно, что 4% падающих на барьер электронов отражается.

Решение.

Коэффициент отражения от низкого потенциального барьера:

где и волновые числа волн де Бройля в областях I и II (см Рис.1).

В области I кинетическая энергия электрона равна и волновое число:

Так как координата электрона не определена, то импульс электрона определяется точно и в данном случае можно говорить о точном значении кинетической энергии.

В области II кинетическая энергия электрона равна и волновое число:

В случае низкого потенциального барьера действительны, а знак модуля можно опустить, тогда коэффициент отражения:

Разделим числитель и знаменатель дроби на ,

.

Решая уравнение относительно , получаем:

Возведя обе части равенства в квадрат, найдем высоту потенциального барьера:

Произведя вычисления, находим, что: U=55,6 эВ.

Ответ: 55,6 эВ.

Задача 3. Электрон с энергией Е =4,9 эВ движется в положительном направлении оси х (см Рис.3). Высота потенциального барьера равна 5 эВ. При какой ширине барьера вероятность прохождения электрона через него будет равна 0,2?

Решение.

Вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер по своему физическому смыслу совпадает с коэффициентом прозрачности . Тогда вероятность того, что электрон пройдет через прямоугольный потенциальный барьер:

где масса электрона. Потенцируя, получаем:

, отсюда . .

Подставив числовые значения, находим:

Ответ:

Задача 4. Найти энергию частицы стационарного состояния массы в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной с абсолютно непроницаемыми стенками, если на границе ямы известно значение производной , т.е. .

Решение.

Известно, что функция го стационарного состояния определяется по формуле:

Взяв ее производную по и положив , получим:

, отсюда .

Подставив это значение в формулу для расчета энергии, получим:

Ответ:

Задача 5. Частица массы находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Координаты и частицы находятся в интервалах соответственно и , где стороны ямы. Найти возможные значения энергии и нормированные функции частицы.

Решение.

В этом случае уравнение Шредингера имеет вид:

(1)

в пределах ямы

На сторонах ямы функция должна обращаться в нуль, поскольку является непрерывной (за пределами ямы ). Поэтому функцию внутри ямы удобнее искать в виде произведения синусов

(2)

так как на двух сторонах автоматически и равны нулю.

Возможные значения найдем из условия обращения функции в нуль на противоположных сторонах ямы:

(3)

После подстановки (3) в уравнение (2) получим , и в (1) получим:

(4)

Постоянную в (2) находим из условия нормировки

Откуда следует, что Следовательно, нормированная функция будет иметь вид:

Ответ:

Вопросы и задания для самопроверки

1. Каким свойствам должна удовлетворять волновая функция?

2. Записать уравнения Шредингера для стационарных состояний электрона, находящегося в атоме водорода.

3. Временная часть уравнения Шредингера имеет вид Найти решение уравнения.

4. Что называется собственными значениями энергии и собственными функциями?

5. Какие состояния называются вырожденными? Что такое кратность вырождения?

6. В чем заключается физический смысл волновой функции?

7. Как рассчитать момент импульса и его проекцию на полярную ось в случае системы частиц?

8. Как обозначают и называют состояние электрона с разными орбитальными квантовыми числами?

9. Сопоставьте боровскую теорию атома водорода с квантово-механической теорией.

10. Как изменится коэффициент прозрачности потенциального барьера с увеличением его ширины в два раза?

11. Может ли частица находиться на дне «потенциальной ямы»? Определяется ли это формой «ямы»?

Задачи для самостоятельного решения

1. Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной находится в возбужденном состоянии n=2. Определить, в каких точках интервала ( ) плотность вероятности нахождения частиц максимальна.

2. Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной находится в возбужденном состоянии n =2. Найти вероятность нахождения частицы в последней трети ящика.

3. Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной находится в основном состоянии. Найти вероятность нахождения частицы в области

4. Электрон находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной в основном состоянии. В каких точках интервала ( ) плотность вероятности нахождения частиц максимальна.

5. Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной находится в возбужденном состоянии n =2. Определить, в каких точках интервала ( ) плотность вероятности нахождения частиц минимальна.

6. Электрон находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной , в основном состоянии. Определить среднее значение координаты электрона.

7. Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной находится в возбужденном состоянии с n =2. Определить среднее значение координаты электрона.

8. Электрон находится в потенциальном ящике шириной . В каких точках в интервале плотность вероятности нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояснить графически.

9. Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность нахождения частицы: 1) в средней трети ящика; 2) в крайней трети ящика?

10. В одномерном потенциальном ящике шириной находится электрон. Вычислить вероятность нахождения электрона на первом энергетическом уровне в интервале , равноудаленном от стенок ящика.

11. Частица в потенциальном ящике шириной находится в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность нахождения частицы в интервале , равноудаленном от стенок ящика.

12. Электрон находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яму» шириной с бесконечно высокими «стенками». Определить вероятность обнаружения электрона в средней трети «ямы», если электрон находится в возбужденном состоянии ( 2). Пояснить физический смысл полученного результата, изобразив графически плотность вероятности обнаружения электрона в данном состоянии.

13. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину 0.1 нм. Определить в эВ разность энергий при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,99.

14. Вычислить отношение вероятностей нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале , равноудаленном от стенок одномерной потенциальной ямы шириной .

15. Показать, что собственные функции и описывающие состояние частицы в потенциальном ящике, удовлетворяют условию ортогональности, т.е.

16. Используя выражение энергии частицы, находящейся в потенциальном ящике, получить приближенное значение энергии: 1) гармонического осциллятора; 2) водородоподобного атома. Сравнить полученные результаты с истинными значениями энергий.

17. Считая, что нуклоны в ядре находятся в трехмерном потенциальном ящике кубической формы с линейными размерами 10фм, оценить низший энергетический уровень нуклонов в ядре.

18. Определить из условия нормировки коэффициент собственной функции описывающей состояние электрона в двумерном бесконечно глубоком потенциальном ящике со сторонами и .

19. Электрон находится в основном состоянии в двумерном квадратном бесконечно глубоком потенциальном ящике со сторонами . Определить вероятность нахождения электрона в области, ограниченной квадратом, который равноудален от стенок ящика и площадь которого составляет площади ящика.

20. Определить из условия нормировки коэффициент собственной функции описывающей состояние электрона в трехмерном потенциальном бесконечно глубоком ящике со сторонами

21. Зная отношение амплитуд вероятности для волны, отраженной от барьера, и для проходящей волны, найти выражение для коэффициента отражения и коэффициента прохождения .

22. Считая выражение для коэффициента отражения от потенциального барьера и коэффициента прохождения известными, показать, что

23. Протон с энергией 1 МэВ изменил при прохождении потенциального барьера дебройлевскую длину волны на 1% . Определить высоту потенциального барьера.

24. На пути электрона с дебройлевской длиной волны 0,1 нм находится потенциальный барьер высотой 120 эВ. Определить длину волны де Бройля после прохождения барьера.

25. Определить показатель преломления волн де Бройля при прохождении частицей потенциального барьера с коэффициентом отражения 0,5.

26. Электрон с энергией 100 эВ попадает на потенциальный барьер высотой 64 эВ. Определить вероятность того, что электрон отразится от барьера.

27. Кинетическая энергия электрона в два раза превышает высоту потенциального барьера. Определить коэффициент отражения и коэффициент прохождения электронов на границе барьера.

28. Коэффициент прохождения электронов через низкий барьер равен коэффициенту отражения . Определить во сколько раз кинетическая энергия электронов больше высоты потенциального барьера.

29. Коэффициент прохождения протонов через потенциальный барьер равен 0,8. Определить показатель преломления волн де Бройля на границе барьера.

30. Вычислить коэффициент прохождения электрона с энергией 100 эВ через потенциальный барьер высотой 99,75 эВ.