Занятие 3. Теория Бора для атома водорода и водородоподобных атомов. Спектральные серии атома водорода.

Краткие теоретические сведения

Основные формулы

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в сферических координатах:

где волновая функция; полная энергия частицы; потенциальная энергия частицы (являющаяся функцией координат).

В атоме водорода (водородоподобном ионе) потенциальная энергия

где зарядовое число; элементарный заряд; электрическая постоянная.

Собственное значение энергии:

где постоянная Планка; главное квантовое число .

Символическая запись функции, описывающей состояние электрона в атоме водорода,

где квантовые числа: главное, орбитальное, магнитное.

Вероятность того, что электрон находится в области, ограниченной элементом объема , взятого в окрестности точки с координатами

где в сферических координатах.

В состоянии волновая функция сферически-симметричная, т.е. не зависит от углов и .

Нормированные собственные функции, отвечающие состоянию (основному) и 2 состоянию,

и

или в атомных единицах

и

где в качестве единицы длины принят боровский радиус:

При таком выборе единицы длины расстояние от ядра будет выражаться в безразмерных единицах длины, называемых атомными единицами.

Вероятность найти электрон в атоме водорода, находящемся в состоянии, в интервале одинакова по всем направлениям и определяется формулой

Орбитальные момент импульса и магнитный момент электрона:

,

где орбитальное квантовое число, которое может принимать значения 0, 1, 2, …, ; магнетон Бора.

Проекции орбитальных момента импульса и магнитного момента на направление внешнего магнитного поля (совпадающего с осью ):

Гиромагнитное отношение для орбитальных магнитного и механического моментов:

Спин и спиновый магнитный момент электрона:

где спиновое квантовое число .

Проекции спиновых момента импульса и магнитного момента на направление внешнего магнитного поля (совпадающего с осью ):

где спиновое магнитное квантовое число

Гиромагнитное отношение для спиновых магнитного и механического моментов:

Распределение электронов по состояниям в атоме с помощью спектроскопических символов:

Принцип Паули. В атоме не может находиться два (и более) электрона, характеризуемых одинаковым набором четырех квантовых чисел:

Полный орбитальный момент импульса электрона: где внутреннее квантовое число

Полный орбитальный момент атома: где полное орбитальное квантовое число.

Полный спиновый момент атома: где полное спиновое квантовое число.

Полный момент импульса атома: где полное внутреннее квантовое число.

Символическое обозначение состояния атома (спектральный терм): где мультиплетность. Вместо полного орбитального квантового числа пишут символ в соответствии с таблицей:

Энергия атома в магнитном поле:

Правила отбора для квантовых чисел :

Не осуществляются переходы а при переходы

Первый постулат Бора:

движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию:

где масса электрона, его скорость по орбите радиуса постоянная Планка.

Радиус стационарной орбиты атома водорода:

где заряд электрона; электрическая постоянная.

Второй постулат Бора (правило частот):

при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией:

равной разности энергий соответствующих стационарных состояний и соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения).

Кинетическая, потенциальная и полная энергия электрона на орбите соответственно равны:

Момент импульса электрона на стационарных орбитах:

где масса электрона; радиус орбиты; скорость электрона на орбите; главное квантовое число; постоянная Планка.

Энергия электрона в водородоподобном атоме:

где знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии, электрическая постоянная.

Сериальная формула, определяющая длину волны или частоту света, излучаемого или поглощаемого атомом водорода при переходе из одного стационарного состояния в другое:

где и постоянная Ридберга, и целые числа; номер серии спектральных линий ( серия Лаймана, серия Бальмера, серия Пашена и т.д.); частота излучения. Для данной серии и т.д.

Энергия фотона, испускаемого атомом водорода при переходе из одного стационарного состояния в другое,

где энергия ионизации водорода:

Вопросы для ответа у доски

1. Модель атома Томсона.

2. Рассмотрите случай рассеяния альфа-частиц на ядре атома.

3. В чем суть и результаты опытов Резерфорда?

4. Планетарная модель атома Резерфорда.

5. Сформулируйте постулаты Бора.

6. Изложите суть опытов Франка и Герца.

7. Рассчитайте энергию и радиусы орбит стационарных состояний водородоподобных систем.

8. Что такое энергия и потенциал ионизации атома?

9. Запишите и объясните формулы для серий спектральных линий Бальмера, Лаймана, Пашена, Брэкета.

Примеры решения задач

Задача 1. Вычислить радиус первой орбиты атома водорода и скорость электрона на этой орбите.

Решение.

Согласно теории Бора, радиус электронной орбиты и скорость электрона на ней связаны равенством:

Так как в задаче надо определить величины, относящиеся к первой боровской орбите, то главное квантовое число =1, тогда равенство примет вид:

Для определения двух неизвестных величин и необходимо ещё одно уравнение. В качестве второго уравнения воспользуемся уравнением движения электрона. Согласно теории Бора, электрон вращается вокруг ядра. При этом сила взаимодействия между электрическими зарядами ядра и электрона сообщает электрону центростремительное ускорение. На основании 2^го закона Ньютона можем записать:

или

Тогда, решая совместно два равенства, получаем:

Подставив сюда значения и произведя вычисления, получим:

Для скорости:

Ответ:

Задача 2. Вычислить полную энергию электрона, находящегося на второй орбите атома водорода.

Решение.

Энергия электрона, находящегося на второй орбите атома, равна

Ответ:

Задача 3. При переходе электрона с некоторой орбиты на вторую, атом водорода испускает свет с длиной волны 4,34·10^-7 м. Найти номер неизвестной орбиты.

Решение.

Воспользуемся формулой для определения длины волны света, излучаемого атомом водорода при переходе с одной орбиты на другую:

откуда

Ответ: 5.

Задача 4. Определить энергию фотона, соответствующую второй линии испускания в инфракрасной серии (Пашена) атома водорода при переходе на третий энергетический уровень.

Решение.

При переходе электронов с орбиты n >1 на орбиту m=1 получается серия Лаймана спектральных линий, лежащих в ультрафиолетовой области. При переходе электронов с орбит n >2 на орбиту m=2 получается серия Бальмера спектральных линий, лежащих в видимой области. При переходе электронов с орбит n >3 на орбиту m=3 получается серия Пашена спектральных линий, лежащих в инфракрасной области. Первая линия этой серии, получается при переходе электрона с орбиты n=4 на орбиту m=3. Вторая линия этой серии соответствует n=5, m=3.

Тогда энергия фотона, соответствующая этой линии:

Ответ:

Задача 5.Определить частоту света, излучаемого возбужденным атомом водорода, при переходе электрона на второй энергетический уровень, если радиус орбиты электрона изменится в 9 раз.

Решение.

Согласно обобщенной формуле Бальмера, частота света, излучаемого атомом водорода:

(1)

где R- постоянная Ридберга,

определяет номер орбиты, на которую переходит электрон; определяет номер орбиты, с которой переходит электрон.

Электрон движется по орбите радиусом под действием кулоновской силы:

(2)

Из теории Бора момент импульса электрона, движущегося по орбите:

умножим обе части (1) на получим с учётом соотношения (2) для радиуса й орбиты атома водорода:

где

По условию задачи

Зная отношение радиусов орбит электрона при переходе с орбиты на орбиту , найдем частоту:

Ответ:

Задача 6. Определить энергию фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с третьего энергетического уровня на первый, а также длину электромагнитной волны, соответствующую этому фотону.

Решение.

Переход электрона в атоме водорода с отдаленной орбиты на внутреннюю связан с излучением фотона (кванта энергии):

,

где энергия фотона; постоянная Планка; скорость света в вакууме; частота и длина волны, соответствующие фотону с энергией

Длина волны излучаемого света связана с номером орбит соотношением:

,

где постоянная Ридберга; номер энергетического уровня, на который переходит электрон; номер энергетического уровня, с которого уходит электрон.

Подставляя числовые, находим длину волны:

Ответ:

Вопросы и задания для самопроверки

1. Модель атома Томсона.

2. В чем суть и результаты опытов Резерфорда?

3. Планетарная модель атома Резерфорда.

4. Почему ядерная модель атома оказалась несостоятельной? В чем заключаются недостатки статической ядерной модели атома?

5. Сформулируйте постулаты Бора. Как с их помощью объясняется линейчатый спектр атома?

6. Какие основные выводы можно сделать на основании опытов Франка и Герца.

7. Достоинства и недостатки теории Бора.

8. Сформулируйте и объясните принцип соответствия.

9. Что такое энергия и потенциал ионизации атома? Как их рассчитать для атома водорода?

10. Определение спектра данной физической: величины. Приведите примеры.

11. Что называется спектром испускания и поглощения? Как они возникают?

12. Линейчатый спектр. Как он образуется?

13. Что такое полосатый спектр? Как он образуется?

14. Какой спектр называется сплошным и как он возникает?

15. Пользуясь моделью Бора, укажите спектральные линии, которые могут возникнуть при переходе атома водорода в состояния с 3 и 4.

16. Нанесите на шкалу длин волн три линии каждой из двух спектральных серий атома водорода.

17. Что называется спектральной серией?

18. Почему из различных серий спектральных линий атома водорода первой была изучена серия Бальмера?

19. Какой смысл имеют числа и в обобщенной формуле Бальмера?

20. Чему равна частота излучения атома водорода, соответствующая коротковолновой границе серии Брэкета?

21. Почему спектр поглощения атома водорода содержит только серию Лаймана?

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти кинетическую , потенциальную и полную энергии электрона на первой боровской орбите.

2. Найти период обращения электрона на первой боровской орбите атома водорода и его угловую скорость.

3. Какие спектральные линии появятся при возбуждении атомарного водорода электронами с энергией 12,5 эВ?

4. Какую наименьшую энергию нужно сообщить электрону, находящемуся на первой орбите в атоме водорода, чтобы электрон удалился в бесконечность.

5. Найти наибольшую и наименьшую длины волн в видимой области спектра излучения атома водорода.

6. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить длину волны испускаемого фотона.

7. Какая частота электромагнитной волны, излучаемой атомом водорода, при переходе электрона с четвертого энергетического уровня на третий?

8. Определить энергию фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с третьего энергетического уровня на первый, а также длину электромагнитной волны, соответствующую этому фотону.

9. Вычислить для основного состояния атома водорода радиус круговой орбиты электрона и его скорость.

10. При переходе электрона в атоме водорода с одной орбиты на другую, более близкую к ядру, энергия атома уменьшилась на 1,892 эВ. Определить длину волны излучения.

11. При переходе электрона в атоме водорода с четвертого энергетического уровня на второй излучается фотон, дающий зеленую линию в спектре водорода. Определить длину волны этой линии, если атом теряет при излучении энергию 2,53 эВ.

12. Какую наименьшую энергию нужно сообщить электрону, находящемуся на первой орбите в атоме водорода, чтобы электрон удалился в бесконечность.

13. Найти наибольшую и наименьшую длины волн в видимой области спектра излучения атома водорода.

14. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить длину волны испускаемого фотона.

15. Какая частота электромагнитной волны, излучаемой атомом водорода, при переходе электрона с четвертого энергетического уровня на третий?

16. Определить энергию фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с третьего энергетического уровня на первый, а также длину электромагнитной волны, соответствующую этому фотону.

17. Найти наименьшую и наибольшую длины волн спектральных линий водорода в видимой области спектра.

18. Найти наибольшую длину волны в ультрафиолетовой области спектра водорода. Какую наименьшую скорость должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами электронов появилась эта линия?

19. Какую наименьшую энергию (в электронвольтах) должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов появились все линии всех серий спектра водорода? Какую наименьшую скорость должны иметь эти электроны?

20. В каких пределах должна лежать энергия бомбардирующих электронов, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов спектр водорода имел только одну спектральную линию?

21. Какую наименьшую энергию (в электронвольтах) должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов спектр водорода имел три спектральные линии? Найти длины волн этих линий.

22. В каких пределах должны лежать длины волн монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света наблюдались три спектральные линии?

23. На сколько изменилась кинетическая энергия электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона длиной волны

24. В каких пределах должны лежать длины волн монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света радиус орбиты электрона увеличился в 9 раз?

25. Какие спектральные линии появятся при возбуждении атомарного водорода электронами с энергией 12,5 эВ?

26. Какую наименьшую энергию нужно сообщить электрону, находящемуся на первой орбите в атоме водорода, чтобы электрон удалился в бесконечность.

27. Найти наибольшую и наименьшую длины волн в видимой области спектра излучения атома водорода.

28. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить длину волны испускаемого фотона.

29. Какая частота электромагнитной волны, излучаемой атомом водорода, при переходе электрона с четвертого энергетического уровня на третий?

30. Определить энергию фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с третьего энергетического уровня на первый, а также длину электромагнитной волны, соответствующую этому фотону.

31. Вычислить для основного состояния атома водорода радиус круговой орбиты электрона и его скорость.

32. При переходе электрона в атоме водорода с одной орбиты на другую, более близкую к ядру, энергия атома уменьшилась на 1,892 эВ. Определить длину волны излучения.

33. При переходе электрона в атоме водорода с четвертого энергетического уровня на второй излучается фотон, дающий зеленую линию в спектре водорода. Определить длину волны этой линии, если атом теряет при излучении энергию 2,53 эВ.

34. Какую наименьшую энергию нужно сообщить электрону, находящемуся на первой орбите в атоме водорода, чтобы электрон удалился в бесконечность.

35. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить длину волны испускаемого фотона.

36. Какая частота электромагнитной волны, излучаемой атомом водорода, при переходе электрона с четвертого энергетического уровня на третий?

37. Определить энергию фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с третьего энергетического уровня на первый, а также длину электромагнитной волны, соответствующую этому фотону.

38. Определить, сколько различных волновых функций соответствует главному квантовому числу 5.

39. Построить и объяснить диаграмму, иллюстрирующую расщепление энергетических уровней и спектральных линий (с учетом правил отбора) при переходах между состояниями с 2 и 1. ( переход).

40. Электрон в атоме находится в состоянии. Определить: 1) момент импульса (орбитальный) электрона; 2) максимальное значение проекии момента импульса на направление внешнего магнитного поля.

1.4. Теоретические вопросы к модулю I.

1. В чем суть и каковы результаты опытов Бибермана, Сушкина и Фабриканта с электронными пучками малой интенсивности?

2. Изложите суть и основные выводы мысленного эксперимента по рассеянию электронов на двух щелях.

3. Как понимать утверждение, что волны де Бройля имеют вероятностный характер?

4. Чему равны фазовая и групповая скорости фотона?

5. Физический принцип работы электронного и ионного микроскопов.

6.Что называется динамическими переменными?

7. Почему динамические переменные не могут быть приписаны микрообъектам?

8. Что такое неопределенность данной физической величины?

9. В каком случае и почему при условиях и можно говорить о движении частицы по определенной траектории?

10. Надо ли учитывать волновые свойства частицы, движущейся со скоростью 10⁷ м/с, если ее положение оценивается по ширине следа в камере Вильсона (10^-4м)?

11. Как, исходя из соотношения неопределенностей, объяснить наличие естественной ширины спектральных линий?

12. Каким свойствам должна удовлетворять волновая функция?

13. Записать уравнения Шредингера для стационарных состояний электрона, находящегося в атоме водорода.

14. Временная часть уравнения Шредингера имеет вид Найти решение уравнения.

15. Что определяет квадрат модуля волновой функции?

16. Что называется собственными значениями энергии и собственными функциями?

17. Какие состояния называются вырожденными? Что такое кратность вырождения?

18. В чем заключается физический смысл волновой функции?

19. Как рассчитать момент импульса и его проекцию на полярную ось в случае системы частиц?

20. Как обозначают и называют состояние электрона с разными орбитальными квантовыми числами?

21. Сопоставьте боровскую теорию атома водорода с квантово-механической теорией.

22. Как изменится коэффициент прозрачности потенциального барьера с увеличением его ширины в два раза?

23. Может ли частица находиться на дне «потенциальной ямы»? Определяется ли это формой «ямы»?

24. Модель атома Томсона.

25. В чем суть и результаты опытов Резерфорда?

26. Планетарная модель атома Резерфорда.

27. Почему ядерная модель атома оказалась несостоятельной? В чем заключаются недостатки статической ядерной модели атома?

28. Сформулируйте постулаты Бора. Как с их помощью объясняется линейчатый спектр атома?

29. Какие основные выводы можно сделать на основании опытов Франка и Герца.

30. Достоинства и недостатки теории Бора.

31. Сформулируйте и объясните принцип соответствия.

32. Что такое энергия и потенциал ионизации атома? Как их рассчитать для атома водорода?

33. Определение спектра данной физической: величины. Приведите примеры.

34. Что называется спектром испускания и поглощения? Как они возникают?

35. Линейчатый спектр. Как он образуется?

36. Что такое полосатый спектр? Как он образуется?

37. Какой спектр называется сплошным и как он возникает?

38. Пользуясь моделью Бора, укажите спектральные линии, которые могут возникнуть при переходе атома водорода в состояния с 3 и 4.

39. Нанесите на шкалу длин волн три линии каждой из двух спектральных серий атома водорода.

40. Что называется спектральной серией?

41. Почему из различных серий спектральных линий атома водорода первой была изучена серия Бальмера?

42. Какой смысл имеют числа и в обобщенной формуле Бальмера?

43. Чему равна частота излучения атома водорода, соответствующая коротковолновой границе серии Брэкета?

44. Почему спектр поглощения атома водорода содержит только серию Лаймана?

45. Почему квантовая механика является статистической теорией?

46. В чем отличие понимания причинности в классической и квантовой механике?

1.5. Примерные варианты контроля знаний по модулю I.

Вариант 1

1. Электрон движется по окружности радиусом 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией 8 мТл. Определить длину волны де Бройля для электрона.

2. Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 0,1 нм до 0,05 нм?

3. Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной находится в возбужденном состоянии с 2. Определить среднее значение координаты электрона.

4. Какие спектральные линии появятся при возбуждении атомарного водорода электронами с энергией 12,5 эВ?

5. Какую наименьшую энергию нужно сообщить электрону, находящемуся на первой орбите в атоме водорода, чтобы электрон удалился в бесконечность.

Вариант 2

1. Вычислить длину волны де Бройля для электрона в кинескопе, ускоряющая разность потенциалов которого 10кВ. надо ли учитывать волновые свойства электрона, если диаметр электронного пучка 1 мм.

2. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, движущегося внутри сферической области диаметром 10 нм.

3. Электрон находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной , в основном состоянии. Определить среднее значение координаты электрона.

4. Найти наибольшую длину волны в видимой области спектра излучения атома водорода.

5. Какая частота электромагнитной волны, излучаемой атомом водорода, при переходе электрона с четвертого энергетического уровня на третий?

Вариант 3

1. Вычислить длину волны де Бройля для пучка протонов, имеющих скорость 10³м/с. надо ли учитывать волновые свойства, если диаметр пучка 1мм?

2. Оценить неопределенность импульса протона в ядре. Размер ядра 10^-15м.

3. В одномерном потенциальном ящике шириной находится электрон. Вычислить вероятность нахождения электрона на первом энергетическом уровне в интервале , равноудаленном от стенок ящика.

4. В каких пределах должны лежать длины волн монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света наблюдались три спектральные линии?

5. Заполненный электронный слой характеризуется квантовым числом 3. Указать число электронов в этом слое, которые имеют одинаковые квантовые числа: 1) 2) 2.

Вариант 4

1. Пучок альфа-частиц диаметром 1 см прошёл разность потенциалов 100В. надо ли учитывать волновые свойства альфа-частиц при распространении этого пучка?

2. Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 10% от её значения, определить неопределенность координаты электрона.

3. Вычислить для основного состояния атома водорода радиус круговой орбиты электрона и его скорость.

4. В каких пределах должны лежать длины волн монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света радиус орбиты электрона увеличился в 9 раз?

5. Найти число электронов в атомах, у которых в основном состоянии заполнены: и слои, оболочка и наполовину оболочка.

Вариант 5

1. Надо ли учитывать волновые свойства электронов в атоме водорода? Потенциал ионизации атома водорода 13,6 В, а размер атома порядка 0,53 10^-10м.

2. Используя соотношение неопределенностей найти выражение, позволяющее оценить минимальную энергию электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике шириной

3. Электрон находится в потенциальном ящике шириной . В каких точках в интервале плотность вероятности нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова?

4. В каких пределах должна лежать энергия бомбардирующих электронов, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов спектр водорода имел только одну спектральную линию?

5. Найти наибольшую длину волны в видимой области спектра излучения атома водорода.

Вариант 6

1. Вычислить дебройлевские длины волн электрона, протона и атома урана, имеющих одинаковую кинетическую энергию 100эВ.

2. Если допустить, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, то какова будет относительная неопределенность импульса этой частицы?

3. Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность нахождения частицы в средней трети ящика;

4. При переходе электрона в атоме водорода с одной орбиты на другую, более близкую к ядру, энергия атома уменьшилась на 1,892 эВ. Определить длину волны излучения.