Обратная связь
|
VIII. Обыкновенные дифференциальные уравнения 39. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие об основных решениях дифференциальных уравнений. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах.
40. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.
41. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Понятие общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
42. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
IX. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
43. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод исключения. Векторно-матричная запись нормальной системы. Структура общего решения.
44. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение в случае простых корней характеристического уравнения.
X. Числовые ряды. Степенные ряды
45. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами.
46. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.
47. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
48. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов.
49. Разложение функции в степенные ряды. Ряд Тейлора. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.
XI. Ряды Фурье
50. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости в ряд Фурье.
XII. Кратные интегралы
51. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла. Двойные и тройные интегралы, их основные свойства.
52. Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых координатах.
53. Применение кратных интегралов для вычисления объемов и площадей, для решения задач механики и физики.
XIII. Криволинейные и поверхностные интегралы
54. Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения. Формула Грина.
55. Поверхностные интегралы, их свойства и вычисление.
XIV. Векторный анализ
56. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля.
57. Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения.
58. Односторонние и двусторонние поверхности. Поток векторного поля Теорема Остроградского.
59. Дивергенция векторного поля, ее инвариантное определение и физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные (трубчатые) поля.
60. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля. Теорема Стокса.
61. Потенциальное поле. Условие потенциальности поля. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле.
Контрольная работа №1
Тема1. Аналитическая геометрия. Элементы векторной и линейной алгебры. Комплексные числа.
Основные теоретические сведения
1. Определителем -го порядка называется число , записываемое в виде квадратичной таблицы
и вычисляемое, согласно указанному ниже правилу, по заданным числам , которые называются элементами определителя. Индекс указывает номер строки, а – номер столбца квадратной таблицы.
Минором элемента называется определитель порядка, получаемый из определителя -го порядка, вычеркиванием -й строки и -го столбца.
Алгебраическое дополнение элемента определяется равенством
.
Рекуррентная формула для вычисления определителя -го порядка имеет вид
(разложение определителя по элементам -й строки).
2. Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое равенством
,
где – угол между векторами и .
3. Векторным произведением векторов и называется вектор , обозначаемый , который удовлетворяет условиям:
1) , ;
2) ;
3) – правая тройка векторов;
– формула для вычисления площади треугольника.
4. Смешанное произведение трех векторов , , есть число, равное
.
Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах.
5. Выражение вида называется комплексным числом (в алгебраической и тригонометрической форме соответственно). Здесь , – действительная часть, – мнимая часть комплексного числа ; и – модуль и аргумент числа :
; .
Извлечение корня -ой степени ( – натуральное число) из числа производится по формуле
,
где .
Пример 1.Дана система линейных алгебраических уравнений:
Проверить, совместна ли эта система, и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы. Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера - Капелли.
Решение. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
данной системы и ранг расширенной матрицы
Для этого умножим первую строку матрицы В на –2 и сложим со второй, затем умножим первую строку на –3 и сложим с третьей, получим
~ ~ .
Следовательно, rang A = rang B = 3 (числу неизвестных), исходная система имеет единственное решение.
а) Находим решение системы по формулам Крамера
где
б) Метод Гаусса. Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования. Элементы первой строки умножим на –2 и прибавим к соответствующим элементам 2-ой строки, затем элементы первой строки умножим на –3 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.
~ ~
Последней матрицей соответствует система, эквивалентная исходной:
Из этой системы, двигаясь снизу вверх, последовательно находим:
в) Матричный метод. Так как det A = -16 ¹0, то матрица А невырожденная, существует обратная матрица А-1, определяемая по формуле:
где являются алгебраическими дополнениями соответствующих элементов матрицы А.
Введем в рассмотрение матрицы столбцы для неизвестных и свободных членов:
Тогда данную систему можно записать в матричной форме: , отсюда находим - решение системы в матричной форме.
Решение системы:
таким образом,
Пример 2.Составить канонические уравнения: а) эллипса, большая ось которого равна 5, а фокус находится в точке F(3,0); б) гиперболы с мнимой осью в=3 и ; в) параболы, имеющей директрису x=-3.
а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид . По условию задачи большая полуось а=5, с=3. Для эллипса выполняется равенство . Подставив значения а и с, найдем в2=16. Искомое уравнение эллипса:
.
б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . По условию задачи мнимая полуось в=3, эксцентриситет . Для гиперболы справедливо равенство и учитывая, что , находим а2 = 16. Искомое уравнение гиперболы:
.
в) Каноническое уравнение параболы в данном случае имеет вид y2=2px, а уравнение ее директрисы . По условию x=-3, следовательно, , уравнение параболы имеет вид .
Пример 3.Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(2,1,0), B(3,-1,2), C(13,3,10), D(0,1,4). Найти: 1) угол между ребрами AB и AD; 2) уравнение плоскости АВС; 3) угол между ребром AD и гранью АВС; 4) площадь грани АВС; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины AD на грань АВС.
1) Угол между ребрами AB и AD вычисляем по формуле:
,
где
.
;
.
2) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки имеет вид:
.
Подставляя в данное уравнение координаты точек А,В и С, получим:
Разложив определитель по элементам первой строки, получим:
,
отсюда находим искомое уравнение плоскости АВС:
.
3) Угол между ребром AD и гранью АВС вычисляем по формуле:
,
где - направляющий вектор ребра AD, - нормальный вектор грани АВС.
.
4) Площадь грани АВС вычисляется по формуле:
.
.
.
.
Окончательно имеем
5) Объем пирамиды вычисляем по формуле:
.
.
Объем пирамиды равен 24 (куб. ед.).
6) Уравнение высоты DM, опущенной из вершины D на грань АВС составляет по формуле
,
где (x0, y0, z0) – координаты точки D, - координаты направляющего вектора прямой DM. Т.к. DM ^ АВС, то в качестве направляющего вектора можно взять нормальный вектор . Уравнение прямой Dm запишется в виде:
.
Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
Основные теоретические сведения
1. Схема полного исследования функции и построение ее графика.
Для полного исследования функции и построения ее графика можно рекомендовать следующую примерную схему:
1) указать область определения;
2) найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика с осями координат;
3) установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности функции;
4) найти асимптоты графика функции;
5) исследовать функцию на монотонность и экстремум;
6) определить интервалы выпуклости и вогнутости;
7) построить график функции.
2. Правила дифференцирования. Если – постоянное число и , – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
1) .
| 2) .
| 3) .
| 4) .
| 5) .
| 6) .
|
3. Таблица производных основных элементарных функций
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .
11. . 12. .
13. . 14. .
Пример 1.Найти указанные пределы.
Решение:
а)
б) в)
г)
Пример 2.Исследовать функцию на непрерывность в точках , .
Решение: для точки x1 = 3 имеем:
точка – точка разрыва II
При функция определена, следовательно не является точкой разрыва, .
Пример 3.Найти производную функции .
Решение.Логарифмируя данную функцию, получаем:
.
Дифференцируем обе части последнего равенства по х:
.
Отсюда
.
Далее
.
Окончательно имеем:
.
Пример 4.Найти производную функции y, если .
Дифференцируем обе части данного уравнения по , считая функцией от :
.
Отсюда находим
.
15. . 16. .
Контрольная работа №1
Задание №1 Данную систему уравнений исследовать и решить тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) средствами матричного исчисления.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
Задание №2 Даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение стороны АВ; 3) уравнение высоты СН; 4) уравнение медианы АМ; 5) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН; 6) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ.
| А (1,-3),
| В (0,7),
| С (-2,4);
|
| А (7,0),
| В (1,4),
| С (-8,-4);
|
| А (0,2),
| В (-7,-4),
| С (3,2);
|
| А (3,-1),
| В (11,3),
| С (-6,2);
|
| А (-2,-3),
| В (0,7),
| С (8,3);
|
| А (1,2),
| В (3,12),
| С (11,8);
|
| А (-4,-1),
| В (-2,9),
| С (6,5);
|
| А (5,4),
| В (7,11),
| С (15,10);
|
| А (-8,-3),
| В (4,-12),
| С (8,10);
|
| А (4,-1),
| В (2,5),
| С (-1,6);
|
| А (-2,0),
| В (-1,7),
| С (3,-9);
|
| А (1,-2),
| В (-5, 4),
| С (-3,-2);
|
| А (5,-4),
| В (9,13),
| С (-7,6);
|
| А (12,5),
| В (4,0),
| С (-3,3);
|
| А (-1,-2),
| В (7, 2),
| С (1,-8);
|
| А (4,11),
| В (10,5),
| С (4,-2);
|
| А (7,-4),
| В (2, 1),
| С (5,10);
|
| А (-7,-4),
| В (5,-10),
| С (9, 0);
|
| А (1,0),
| В (13,-9),
| С (17,13);
|
| А (1,3),
| В (10,2),
| С (-2,-6);
|
| А (7,10),
| В (-1,8),
| С (0,-5);
|
| А (2,2),
| В (4,-4),
| С (6,-2);
|
| А (1,-1),
| В (1,-3),
| С (6,4);
|
| А (10,2),
| В (6,7),
| С (8,-2);
|
| А (-1,-2),
| В (3,0),
| С (5,4);
|
| А (9,-10),
| В (6,4),
| С (7,-11);
|
| А (2,-4),
| В (-4,1),
| С (-5,10);
|
| А (6,-3),
| В (4,12),
| С (8,10);
|
| А (-1,0),
| В (1,-8),
| С (15,12);
|
| А (1,0),
| В (13,5),
| С (-7,3);
|
Задание №3В пространстве заданы точки (координаты – декартовы прямоугольные) и О (0,0,0) – начало координат. Найти: 1) угол между ребрами АB и AC; 2) уравнение плоскости ABC; 3) площадь треугольника АВС; 4) векторное произведение векторов ; 5) объем пирамиды ABCO; 6) уравнение высоты опущенной из вершины О на грань ABC, если:
1. А(3,3,2); В(5,1,7); С(2,4,1)
2. А(6,5,1); В(8,6,7); С(8,2,4)
3. А(8,8,4); В(6,6,5); С(5,7,1)
4. А(4,1,6); В(4,4,5); С(3,8,2)
5. А(1,4,6); В(1,5,6); С(6,7,2)
6. А(4,3,3); В(5,6,2); С(1,8,2)
7. А(3,4,2); В(4,4,4); С(2,3,4)
8. А(1,1,2); В(2,7,8); С(7,5,5)
9. А(1,4,4); В(5,2,1); С(7,6,8)
10. А(8,5,5); В(6,7,2); С(2,2,3)
11. А(5,1,6); В(2,8,6); С(7,7,5)
12. А(3,3,2); В(6,5,5); С(4,3,3)
13. А(3,3,2); В(5,1,7); С(9,2,4)
14. А(1,6,5); В(1,8,6); С(7,8,9)
15. А(2,4,9); В(8,9,8); С(4,6,6)
16. А(5,5,7); В(1,4,1); С(6,4,4)
17. А(5,3,8); В(2,1,4); С(6,1,5)
18. А(6,6,0); В(7,2,4); С(3,3,5)
19. А(6,2,1); В(8,2,3); С(4,2,4)
20. А(4,9,0); В(4,0,0); С(2,9,3)
21. А(4,1,1); В(2,2,7); С(8,9,7)
22. А(4,5,0); В(1,4,4); С(5,2,1)
23. А(7,6,8); В(8,0,3); С(3,2,5)
24. А(7,1,4); В(1,6,4); С(4,5,3)
25. А(6,0,7); В(2,4,3); С(3,5,6)
26. А(-3,3,-2); В(7,-1,7); С(2,4,10)
27. А(-6,5,1); В(8,6,7); С(8,2,4)
28. А(8,-8,4); В(6,6,5); С(5,7,1)
29. А(3,1,6); В(4,2,5); С(3,11,2)
30. А(10,4,-6); В(1,5,6); С(6,5,-2)
Задание №4 Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
1.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 2.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 3.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 4.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 5.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 6.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 7.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 8.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 9.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 10.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 11.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 12.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 13.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 14.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 15.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 16.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 17.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 18.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 19.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 20.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 21.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 22.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 23.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 24.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
| 25.
| а)
|
| б)
|
| | в)
|
| г)
|
|
Задание №5 Найти производные данных функций.
|
|