Теория вероятностей и математическая статистика

Основные теоретические сведения

1. Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Его общим интегралом будет

.

2. Дифференциальное уравнение называется однородным относительно переменных и , если – однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов, т.е. . данное уравнение с помощью замены сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

3. Уравнение называется линейным дифференциальным уравнением. Общее решение уравнения находим по формуле

.

4. Уравнение вида

, (1)

где и – постоянные числа называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Квадратное уравнение называется характеристическим уравнением.

Если корни , характеристического уравнения действительны и различны, то общий интеграл уравнения (1) выражается формулой

.

Если , то общий интеграл уравнения (1) находится по формуле

.

Если , то общее решение уравнения (1) находится по формуле

.

5. Уравнение вида

, (2)

называется неоднородным линейным уравнением второго порядка. Если – общее решение соответствующего однородного уравнения, – частное решение уравнения (2), то общее решение уравнения (2) имеет вид .

Укажем правило нахождения частного решения уравнения (2) методом неопределенных коэффициентов.

Пусть , тогда:

1) , если не является корнем характеристического уравнения;

2) , если является простым корнем характеристического уравнения;

3) , если является двукратным корнем характеристического уравнения.

Пусть , тогда:

1) , если число не является корнем характеристического уравнения;

2) , если число не является корнем характеристического уравнения.

6. Ряд вида

(3)

называется степенным рядом, – коэффициенты ряда. Число называется радиусом сходимости ряда, если ряд (3) сходится при и расходится при .

При ряд может как сходиться, так и расходиться. Интервал называется интервалом сходимости ряда. Радиус сходимости находится по формуле

.

7. Рядом Фурье периодической функции , , называется ряд вида

.

Коэффициенты Фурье вычисляем по формулам ,

, .

Пример 1. Найти решение системы дифференциальных уравнений методом характеристического уравнения.

Решение. Частное решение системы будем находить в следующем виде . Требуется определить постоянные К₁, К₂ и λ так, чтобы функции x(t), y(t) удовлетворяли заданной системе уравнений. Подставляя их в систему и сокращая на , получим систему уравнений:

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

, – корни характеристического уравнения.

Корню соответствует система

или .

Полагаем , тогда . Получаем решение системы:

.

Корню соответствует система

или .

Получаем , тогда . Получим решение системы:

.

Общее решение исходной системы имеет вид

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение.Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле:

.

Так как

,

то

.

Степенной ряд сходится абсолютно в интервале .

Исследуем поведение ряда на концах интервала.

При имеем , данный ряд расходится.

При имеем , ряд сходится по признаку Лейбница, причем сходится условно. Следовательно, область сходимости

ряда является полуинтервал .

Пример 3. Вычислить с точностью до .

Решение. Разложение подынтегральной функции в степенной ряд имеет вид:

.

Интегрируя этот ряд почленно, получим

Полученный числовой ряд есть ряд Лейбница. Погрешность происходящая от отбрасывания всех членов начиная с третьего, будет по абсолютной величине меньше третьего члена:

.

Вычисляя с точностью до 0,0001, найдем

.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на интервале – периоде.

Решение.Функция f(x) удовлетворяет условию Дирихле, поэтому раскладывается в ряд Фурье.

.

Вычисляя коэффициенты Фурье функции f(x):

,

,

так как

,

.

.

Контрольная работа №2

Задание 1.Найти неопределенные интегралы.

Вариант 1. 1.

2.

3.

Вариант 2. 1.

2.

3.

Вариант 3. 1.

2.

3.

Вариант 4. 1.

2.

3.

Вариант 5. 1.

2.

3.

Вариант 6. 1.

2.

3.

Вариант 7. 1.

2.

3.

Вариант 8. 1.

2.

3.

Вариант 9. 1.

2.

3.

Вариант 10. 1.

2.

3.

Вариант 11. 1.

2.

3.

Вариант 12. 1.

2.

3.

Вариант 13. 1.

2.

3.

Вариант 14. 1.

2.

3.

Вариант 15. 1.

2.

3.

Вариант 16. 1.

2.

3.

Вариант 17. 1.

2.

3.

Вариант 18. 1.

2.

3.

Вариант 19. 1.

2.

3.

Вариант 20. 1.

2.

3.

Вариант 21. 1.

2.

3.

Вариант 22. 1.

2.

3.

Вариант 23. 1.

2.

3.

Вариант 24. 1.

2.

3.

Вариант 25. 1.

2.

3.

Задание №2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченную заданными линиями.

Вариант 1. и

Вариант 2. и

Вариант 3. и

Вариант 4. и

Вариант 5. и

Вариант 6. и

Вариант 7. и

Вариант 8. и

Вариант 9. и

Вариант 10. и

Вариант 11. и

Вариант 12. и

Вариант 13. и

Вариант 14. и

Вариант 15. и

Вариант 16. и

Вариант 17. и

Вариант 18. и

Вариант 19. и

Вариант 20. и

Вариант 21. и

Вариант 22. и

Вариант 23. и

Вариант 24. и

Вариант 25. и

Задание №3.Исследовать на сходимость ряд.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

Задание №4.Решить дифференциальное уравнение:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. .

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21. .

22.

23.

24.

25.

Задание №5.Найти все производные второго порядка следующих функций.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

Задание №6

Вычислить криволинейный интеграл , если:

1. , , ,

2. , , ,

3. , , ,

4. , , ,

5. , , ,

6. , , ,

7. , , ,

8. , , ,

9. , , ,

10. , , ,

11. , , ,

12. , , ,

13. , , ,

14. , , ,

15. , , ,

16. , , ,

17. , , ,

18. , , ,

19. , , ,

20. , , ,

21. , , ,

22. , , ,

23. , , ,

24. , , ,

25. , , ,

Задание №7Исследовать на экстремумы функцию , если:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

Задание №8.Вычислить двойной интеграл , где область

ограничена прямыми.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Гусак А.А. Высшая математика : в 2 т. / А.А. Гусак. Минск : ТетраСистемс, 1998. Т.1. 544 с.

2. Гусак А.А. Высшая математика : в 2 т. / А.А. Гусак. Минск : ТетраСистемс, 1998. Т.2. 448 с.

3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. М. : Наука, 1989. 656 с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. в 2 т. М. : Наука, 1968. Т 1. 551 с.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. в 2 т. М. : Наука, 1968. Т 2. 312 с.

6. Шипачев В.С. Высшая математика. М. : Высш. шк., 1996. 480 с.

7. Сборник индивидуальных заданий по высшей математики : в 3ч. / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть.. Минск : Высшэйш. шк., 1990. Ч. 1. 270 с.

8. Сборник индивидуальных заданий по высшей математики : в 3ч. / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть. Минск: Высшэйш. шк. 1991. Ч. 2. 352 с.

9. Сборник индивидуальных заданий по высшей математики : в 3ч. / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть. Минск: Высшэйш. шк. 1991. Ч. 3. 288 с.