Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Теория вероятностей. Математическая статистика

Предел

  ВОПРОС   ОТВЕТ
Функция y = f(x) имеет пределом Функция y = f(x) имеет пределом число А при стремлении х к а, если для каждого числа е>0 найдется такое число δ>0, что |y— A|<е, при | х —a|<δ  
Математическая запись предела  
Предел постоянной величины limА=А  
Предел суммы (разности) конечного числа функций  
Предел частного двух функций
Предел произведений конечного числа функций     при lim φ(x)≠0  
Чему равен замечательный предел:    
Чему равен замечательный предел:  

 

Производная. Применение производных для исследования функций

  ВОПРОС   ОТВЕТ
Производной функции f(x)называется Производной функции f(x)называется предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх в точке хпри стремлении Δх к нулю:
Математическая запись производной  
Производная постоянной величины у=С:   ý=0;
Производная степенной функции у = хμ:   ý=μxμ-1
Производная показательной функции у = аx: в частности, если у = ех   ý=axlna; ý= еx;
Производная логарифмической функции y=logax    
Производная натурального логарифма у = lnх  
Производная тригонометрической функции y=sinx y'=cosx;
Производная тригонометрической функции y=cos x ý =— sin x;
Производная тригонометрической функцииy = tgx  
Производная тригонометрической функцииy = ctgx
Производная обратной тригонометрии-ческой функции y=arcsinx  
Производная обратной тригонометрии-ческой функции y=arccosx
Производная обратной тригонометрии-ческой функции y=arctgx  
Производная обратной тригонометрии-ческой функции y=arcctgx
Производная суммы (разности) функций y = w±u   y' = u'±v'
Производная произведения двух функций y=uv y' = u'v + v'u.
Производная частного двух функций y=u/v
Производная сложной функции y = f1(u), если u = f2(x), у'x = у'ии'x
Условие возрастания функции y = f(x)на отрезке [а, b] f'(x)>0  
Условие убывания функции y=f(x)на отрезке [а, b]   f'(x)<0  
Условие максимума функции y=f(x)при x= а   f'(a)=0 и f'' (a)<0  
Условия функции экстремума Если при х=а производные f'(а) = 0 и f"(а) = 0, то необходи­мо исследовать f'(x)в окрестностях точки x = а. Функция у=f(х)при х=а имеет максимум, если при переходе через точку х= а производная f'(x)меняет знак с «+» на «-», в случае минимума — с « - » на «+» Если f'(x)не меняет знака при переходе через точку х = а,то в этой точке у функ­ции экстремума нет

 



Дифференциал функции. Применение

Дифференциала в приближенных вычислениях

 

  ВОПРОС   ОТВЕТ
Дифференциал независимой переменной равен ее приращению: dx=Δx
Дифференциал функции y=f(x) dy = у' Δх
Дифференциал суммы (разности) двух функций y=u±v   dy=du±dv
Дифференциал произведения двух функций у=uv   dy = vdu+udv.  
Дифференциал частного двух функций y=u/v
Приращение функции через дифференциал Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f'(x) • Δx где Δx: — приращение аргумента
Приближенное вычисление значения функции:   f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x) • Δx  
Дифференциал применяется для вычисления абсолютной и отно­сительной погрешностей при косвенных измерениях u = f(x, у, z .). Абсолютная погрешность результата измерения      
Относительная погрешность результата измерения    

 

 

Неопределенный интеграл

  ВОПРОС   ОТВЕТ
первообразной данной функции f(x) называется Функция F(x),имеющая данную функцию f(x)своей производной или f(x)dxсвоим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x).
неопределенным интегра­лом называется Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dxназывается неопределенным интегра­лом и обозначается символом ∫ f(x)dx.
Интеграл ∫xμdx равен xμ+1/ (μ+1) +C (μ≠-1)
Интеграл ∫dx/x равен ln|x|+C
Интеграл ∫axdx равен ax/lna +C
Интеграл ∫exdx равен ex+C
Интеграл ∫sin x dx равен -cos x +C  
Интеграл ∫cos xdx равен sin x +C
Интеграл ∫dx/cos2x равен tgx+C
Интеграл ∫dx/sin2x равен -ctgx+C  
Интеграл ∫dx равен х+С
Интеграл ∫arc sinxdx равен
Интеграл ∫arc cosxdx равен -
Интеграл ∫arc tgxdx равен
Интеграл ∫arc ctgxdx равен -
Интеграл ∫tgxdx равен Lncosx+C
Интеграл ∫ctgxdx равен - Lnsinx+C
Интегрирование по частям   ∫ udv = uv—∫ vdu.  
Найти у = ∫Ln хdх. Полагаем и=Lпх, dv = dx, тогда , v = x Используя формулу интегрирования по частям, получаем   у = ∫ Ln xdx = x Ln х-∫ dх = xLnx-x+C  
Интегрирование методом замены переменных Найти у= ∫ (1+ 2x2)dx Заменим l+2x=z, Тогда y=0,5∫z2dz Возвращаясь к прежней переменной х, окончательно имеем

 

 

Определенный интеграл

  ВОПРОС   ОТВЕТ
Интегральная сумма   ∑f(ki)Δxi ( от i=1 до n ) где ki — произвольная точка соответствующего отрезка
Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [а, b]
Формула Ньютона — Лейбница где F′первообразная функцию f(x), т е F′(x)=f(x)  
свойства определенного интеграла  
свойства определенного интеграла
свойства определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b,  
Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y=.f1(x)и у = f2(x) [ f'2(x)≥f1(x)]и двумя прямыми х=а и х=b,

 

Дифференциальные уравнения

  ВОПРОС   ОТВЕТ
Общий вид дифференциального уравнения   F(x ,y,y′,y″,…yn) = О  
Общee решение дифференциального уравнения   y=f(x, C1,C2, , Сn)
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка F(x,y,y') = 0  
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка   y= f(x,C)  
Дифференциальное уравнение типа y'=f(x) , dy = f(x)dx Общее решение   y=∫f(x)dx=F(x)+C  
   
2 Дифференциальное уравнение типа у' = f(y) , Общее решение
Дифференциальное уравнение с разделенными переменными f(x) dx + φ(y)dy = 0 Общее решение ∫f(x) dx + ∫φ(y)dy = C, F(х) + Ф(у) = С  
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными f(x)φ(y)dx+ψ(x)Ф(y)dy=0 Приведем это уравнение к уравнению с разделенными переменными Общее решение   F1(x)+F2(y)=C

 

 

Теория вероятностей. Математическая статистика

 

  ВОПРОС   ОТВЕТ
Относительная частота события где п — число независимых испытаний, в которых случайное событие А происходит m раз.
Вероятность случайного события  
Вероятность появления одного (безразлично какого) из нескольких несовместных событий (теорема сложения вероятностей). Для двух событий   P( А и В) = Р(А) + Р(В).  
Вероятность совместного появления независимых событий (теорема умножения вероятностей) Для двух событий P(А и В) = Р(А)Р(В].
Вероятность того, что событие А произойдет L раз при п испытаниях (биномиальное распределение)     где Р — вероятность наступления события А.  
Распределением дискретной случайной величины называют совокупность ее значений: х1, х2, ... и соответствующих вероятностей: p(x1)=p1, p(x2)=p2 ….  
Условие нормировки для дискретной случайной величины, имею­щей п значений
Среднее значение дискретной случайной величины     где тi, — число дискретных случайных величин, имеющих значение xi.  
Математическое ожидание дискретной случайной величины    
Дисперсия дискретной случайной величины D(X) = M{[X-M(X)]2}, D(X) = M(X2)-[M(X)]2,  
Среднее квадратическое отклонение    
Вероятность того, что непрерывная случайная величина прини­мает какое-либо значение в интервале (а, b)     где f(x) — плотность вероятности (функции распределения вероятностей)
Условие нормировки для непрерывной случайной величины  
Функция распределения случайной величины  
Математическое ожидание непрерывной случайной величины  
Дисперсия непрерывной случайной величины    
Нормальный закон распределения (закон Гаусса)   где а — математическое ожидание случайной величины, σ - среднее квадратическое отклонение.
Функция распределения по нормальному закону   Значения функции Ф даны в табл  
Плотность вероятности для проекции скорости молекул газа на ось Ох при тепловом движении (распределение Максвелла по скоростям)   где то — масса молекулы, Т — термодинамическая температура газа, k — постоянная Больцмана.
Плотность вероятности для модуля скорости молекул газа (распределение Максвелла по скоростям)  
Средняя, средняя квадратичная и навероятнейшая скорости молекул   где R — молярная газовая постоянная, М — молярная масса
Плотность вероятности нахождения молекулы газа в однородном гравитационном поле (пример распределения Больцмана)  
Давление газа (воздуха), находящегося в однородном гравита­ционном поле, на высоте h (барометрическая формула)   где рh— давление на высоте h=0
Концентрация молекул газа (воздуха), находящегося в однород­ном гравитационном поле, на высоте h где nо — концентрация молекул газа на высоте h = О
Интервальная оценка генеральной средней (среднее значение ге­неральной совокупности) ‹ xв› -ε< μ < ‹ xв› + ε,   где ‹ xв› — выборочная средняя Эти неравенства выполняются с доверительной вероятностью Р Положительное число ε харак­теризует точность оценки и называется доверительным интер­валом  
При большой выборке (n>30) где σ — генеральное среднее квадратическое отклонение Обычно в расчетах берется выборочное среднее квадратическое откло­нение
Связь между τ и P Значения функции Ф(τ) даны в табл
Интервальная оценка генеральной средней при малой выборке n≤30   Здесь — исправленная выборочная дисперсия, где σb2 — выборочная дисперсия Параметр t (коэффициент Стьюдента) для заданных п и Р находят по табл

 

МЕХАНИКА Кинематика

  ВОПРОС   ОТВЕТ
Средняя скорость точки определяется отношением пути, пройденного точкой, ко времени, в течение которого этот путь прой­ден:  
Физическая величина, характеризующая изменение скорости за единицу времени на­зывается средним ускорением: , где V и V0 — конечная и начальная скорости движения.  
В общем случае мгновенная скорость прямолинейного движения  
В общем случае мгновенное ускорение прямолинейного движения  
В случае прямолинейного равноперемен­ного движения скорость равна     где V и V0 — конечная и начальная скорости движения.
Путь, пройденный точкой при равнопере­менном движении равен  
При криволинейном движении точки абсолютная величина полного ускорения равна     где тангенциальное (касательное) ускорение; нормальное (центростремительное) ускорение, где V0 - скорость движения; R — радиус кривизны траектории.  
Простейшим видом криволинейного движения является рав­номерное движение точки по окружности. При таком движении тангенциальное ускорение aτ = 0, нормальное ускорение, называе­мое в этом случае центростремительным, аn = const.
Если точка движется по кругу радиуса R с линейной ско­ростью V, делая за время t n оборотов, то скорость равна   , где - угловая скорость
Кинематическими характеристиками вращательного движения тел служат угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение
Угловым перемещением φ называется центральный угол, соответствующий дуге, пройденной движущейся точкой.
Средняя угловая скорость ωср и среднее угловое ускорение εср определяются аналогично средней скорости и среднему ускоре­нию прямолинейного движения, т. е. и где ω и ω0 — конечная и начальная скорости углового движения.
В общем случае угловая скорость криволинейного движения равна    
В общем случае угловое ускорение криволинейного движения равна    
В случае вращательного равноперемен­ного движения угловая скорость равна  
Угловое перемещение, пройденное точкой при равнопере­менном вращательном движении равно
тангенциальное (касательное) ускорение; нормальное (центростремительное) ускорение, где V0 - скорость движения; R — радиус кривизны траектории связаны с угловыми характеристиками соотношениями        
Изменение количества движения тела за определенный про­межуток времени равно Импульсу действующей силы (второй закон Ньютона): dk = Fdt, где dk — изменение количества движения. F — равнодействующая всех сил, приложенных к телу массой т; dt — промежуток времени, в течение которого на тело действовала сила
Количество движения равно произведению массы тела на скорость его движения v, т. е. k = mv
Если масса тела постоянна, то второй закон динамики можно представить в виде   где а — ускорение, приобретаемое телом массой m под действием силы F.  
Тело массой m, движущееся поступательно со скоростью V, обладает кинетической энергией    
Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли (потенциальная энергия тела, находящегося на поверхности Земли, принимается равной нулю) , где h — высота поднятия тела над поверхностью Земли;g - ускорение свободного падения.  
Работу силы F при перемещении тела на пути s определяют по формуле    
Работа постоянной силы выражается произведением силы, действующей в направлении перемещения, на величину этого перемещения s:     А = Fs cos a, где а — угол между направлением действия силы и направле­нием перемещения
Если тело массой m изменило свою скорость под действием силы от V1 до V2, то работа силы равна      
Мощность определяется по формуле  
в случае постоянной мощности, мощность определяется по формуле   где А — работа , совершаемая за время t
Центростремительная сила, действующая на тело, движу­щееся по кривой равна где R — радиус кривизны. В случае движения тела по окруж­ности он равен радиусу этой окружности.  
Момент силы относительно оси вращения равен произведе­нию силы F на плечо I: , где l— кратчайшее расстояние от оси вращения до линии дейст­вия силы.  
Момент инерции J материальной точки равен произведению массы m материальной точки на квадрат расстояния r этой точки от оси вращения: J=mr2  
Момент инерции твердого тела равен     где интегрирование должно проводиться по всему объему тела  
Если для какого-либо тела известен его момент инерции J0 от­носительно оси, проходящей через центр тяжести, то момент инерции J относительно любой оси, параллельной первой, может быть найден по формуле     J = J0 + mа2, где а — расстояние от центра тяжести тела до оси вращения; m — масса тела.  
Момент инерции однородного шара радиусом R, массой m относи­тельно оси, проходящей через центр массы:      
Момент инерции однородного цилиндра с внутренним радиусом r и внешним R (ось враще­ ния совпадает с геометрической осью цилиндра), массой m относи­тельно оси, проходящей через центр массы:    
   
момент инерции: тонкостенного цилиндра (R≈ г) J=mR2  
момент инерции: сплошного цилиндра (г=0)
момент инерции: тонкого стержня длиной l (ось вращения проходит перпенди­кулярно стержню через его середину)    
Изменение момента количества движения dL пропорционально величине приложенного момента силы и времени его действия (основное уравнение динамики вращательного движения): dL = Mdt, где dL — изменение момента количества движения. М — момент силы, приложенной к телу; dt — промежуток времени, в течение ко­торого на тело действовала сила.
Момент ко­личества движения L равен произведению момента инерции / на угловую скорость вращения ω0, т. е. L = Jω0
Момент импульса (момент количества движения) материальной точки Li=miviri  
Момент импульса тела  
Если момент инерции тела постоянен, то основное уравне­ние динамики вращательного движения можно записать в виде Jdω0 = Mdt или М =Jε, где ε — угловое ускорение.  
Для изолированного тела, способного изменять момент инер­ции при вращении, закон сохранения момента количества дви­жения можно записать так L = const или Jω0 = const
Кинетическая энергия вращающегося тела  
Кинетическая энергия тела, вращающегося с угловой ско­ростью ω вокруг оси, при поступательном движении оси со ско­ростью v равно    
Элементарная работа во вращательном движении равна   dA=Mdφ где М — момент силы, приложенной к телу.
Работа силы при вращательном движении равна где углы φ1 и φ2 соответствуют начальному и конечному положе­ниям радиуса-вектора любой точки твердого тела.
Сила, действующая на частицу со стороны окружающей жидко­сти, при центрифугировании равна   F1 = ρ02r, где ρ0 — плотность жидкости, V — объем частицы, ω — угловая скорость вращения, r — расстояние частицы от оси вращения.  
Сила, действующая на частицу при ее движении по окружности при центрифугировании равна F = ρ12r, где ρ1 — плотность вещества частицы.
При центрифугировании если сила, действующая на частицу со стороны окружающей жидко­сти F1 не равна силе, действующей на частицу при ее движении по окружности F, т.е. F1> F то происходит перемещение частицы в направлении к оси вращения
При центрифугировании если сила, действующая на частицу со стороны окружающей жидко­сти F1 не равна силе, действующей на частицу при ее движении по окружности F, т.е. F1<.F то происходит перемещение частицы в направлении от оси вращения

 






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2017 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.