Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Линейные операции над векторами

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

В.В. Трофимов, С.П. Данко

 

Векторная алгебра

 

учебно-методическое пособие
по векторной алгебре для студентов
I курса направлений «Архитектура»,
«Реставрация и реконструкция
архитектурного наследия»,
«Дизайн архитектурной среды»,
«Градостроительство»

 

Ростов-на-Дону


ОГЛАВЛЕНИЕ

    С.
  Введение
Скалярные и векторные величины. Основные определения векторной алгебры
Линейные операции над векторами
  2.1 Сложение векторов
  2.2 Вычитание векторов
  2.3. Умножение вектора на скаляр
Проекция вектора на ось
  3.1. Основные определения
  3.2. Свойства проекции вектора на ось
Декартова прямоугольная система координат в пространстве
  4.1. Общие определения, координаты вектора
  4.2. Разложение вектора по ортам. Модуль вектора
  4.3. Линейные операции над векторами
  4.4. Направляющие косинусы вектора
  4.5. Координаты точки в пространстве. Вычисление координат вектора и его модуля по координатам его начала и конца
  4.6. Деление отрезка в заданном отношении
Скалярное произведение двух векторов
  5.1. Основные определения, механический смысл скалярного произведения
  5.2. Свойства скалярного произведения
  5.3. Скалярное произведение векторов в координатной форме
  5.4. Угол между двумя векторами
Векторное произведение двух векторов
  6.1. Основные определения, механический смысл векторного произведения
  6.2. Свойства векторного произведения
  6.3. Векторное произведение векторов в координатной форме
Приложения
  7.1. Приложение № 1. Пример выполнения индивидуального задания
  7.2. Приложение № 2. Индивидуальные задания
  Список рекомендуемой литературы

Введение



В состав курса математики, преподаваемого студентам-архитекторам Академии архитектуры и искусств ЮФУ в настоящее время, входят следующие разделы: дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной, векторная и линейная алгебра, элементы аналитической геометрии.

В последние годы, в связи со значительным изменением сетки часов, изучение векторной алгебры вынесено исключительно на практические занятия. Вследствие этого большой вес в подготовке студентов по этому предмету имеет качественное выполнение большого индивидуального задания. Выполнение задания невозможно без серьезной проработки теоретического материала.

Необходимый теоретический материал в сжатой форме представлен в предлагаемом пособии. Завершает его рассмотрение образца одного варианта индивидуальных заданий с подробным разбором решений предлагаемых в нем задач.

Кроме этого, библиотека Академии архитектуры и искусств располагает нашим пособием по векторной алгебре с изложением всего материала со всеми доказательствами и выводами формул.

Пособие включает в себя следующие материалы:

· основные определения векторной алгебры;

· линейные операции над векторами в векторной и координатной форме;

· скалярное произведение двух векторов;

· векторное произведение двух векторов;

· два приложения:

10 образец индивидуального задания с подробным разбором решения всех его задач;

20 индивидуальные задания в количестве 25.

В основной части пособия дан весь теоретический материал, необходимый для выполнения решения всех задач индивидуального задания. Все теоретические положения проиллюстрированы решением задач.

Пособие может служить для изучения векторной алгеброй в первом чтении, а также оно окажет помощь студентам в выполнении большого индивидуального задания.


1. Скалярные и вкторные величины.
Основные определения векторной алгебры

В математике, физике, технических науках при решении задач используются величины двух видов: скалярные ивекторные.

Скалярная величина определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к единице измерения. Примерами таких величин являются температура, объем, масса. Эти величины в соответствующем масштабе могут быть изображены на шкале (числовой прямой). Отсюда их название скалярные: шкала на латыни – это Scala.

Для определения векторной величины, кроме численного значения, необходимо знать ее направление. Векторными величинами являются, например, сила, скорость, прямолинейное перемещение точки при движении тела. Для выражения скалярных величин используют действительные числа (скаляры), векторных величин ‑ векторы.

Определение 1.1. Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, у которого различают начало и конец.

Если ‑ начало вектора, а ‑ его конец, то вектор обозначают символом . Кроме этого, вектор обозначается малой буквой латинского алфавита с чертой или стрелкой наверху, например , или такой же буквой, напечатанной «жирным» шрифтом, напримерa. Начало вектора называется точкой его приложения; прямая , на которой расположен вектор, называется линией его действия (рис. 1.1).

В механике и математике рассматриваются три вида векторов: связанные, скользящие и свободные. В нашем курсе мы будем рассматривать только свободные векторы.

Определение 1.2. Вектор называется свободным, если его можно переносить в пространстве параллельно самому себе.

Если вектор перенесен так, что его начало совпадает с некоторой точкой (например, с точкой ) будем говорить: вектор приведен к этой точке (к точке ).

Характеристиками вектора являются его направление и его длина (модуль).

Определение 1.3. Модулем вектора называется его длина. Модуль вектора обозначается символом или .

Определение 1.4. Вектор называется нулевым (нуль – вектором), если его начало и конец совпадают.

Нулевой вектор обозначается символом . Он не имеет определенного направления, поэтому его направление можно выбирать произвольно, модуль нулевого вектора равен нулю: .

Определение 1.5. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. Одно из обозначений единичного вектора – .

Определение 1.6. Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 1.2).

Коллинеарность векторов обозначается символом . На рис. 1.2 Если коллинеарные векторы имеют одинаковые направления (сонаправлены), то используется символ ↑↑, если имеют противоположные направления ‑ символ ↑↓. На рис. 1.2 , , .

Определение 1.7. Единичный вектор, сонапраленный с вектором , называется ортом этого вектора.

Определение 1.8. Векторы и (рис. 1.2) называются равными, , если они сонаправлены и имеют равные модули, то есть и .

Определение 1.9. Векторы и (рис. 1.2) называются противоположными, , если они противоположно направлены и имеют равные модули, то есть и .

Определение 1.10. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

На рис. 1.3 , , , , поэтому векторы – компланарные.

 
 

 


Рис. 1.3

Определение 1.11. Тройка некомпланарных векторов , приведенных к общему началу, называется правой (левой), если наблюдатель, находящийся в конце третьего вектора , видит кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору против движения часовой стрелки (по движению часовой стрелки)

На рис. 1.4, а векторы образуют правую тройку, на рис. 1.4, б – левую тройку

 
 

 

 


Рис. 1.4


Линейные операции над векторами

К линейным операциям над векторами относятся следующие операции:

· сложение векторов;

· вычитание векторов;

· умножение вектора на скаляр (действительное число).

Сложение векторов

Определение 2.1. Суммой двух векторов называется третий вектор имеющий своим началом начало вектора , а концом – конец вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (вектор приведен к концу вектора ) (рис. 2.1).

Это определение сложения двух векторов носит название «правило треугольника.

Это правило сложения векторов можно распространить на любое их количество.

Правило.Чтобы сложить любое количество векторов, следует расположить их так, чтобы конец каждого предыдущего вектора был началом следующего и построить вектор началом в начале первого и концом в конце последнего вектора (рис. 2.2).

 

 
 

 


Наряду с правилом треугольника сложения векторов существует «правило параллелограмма»

Определение 2.1*. Суммой векторов и является вектор – вектор-диагональ параллелограмма, построенного на векторах и , причем векторы и приведены к одному началу (рис. 2.3).

На рис 2.3 этой диагональю является диагональ .

По правилу параллелограмма определяется равнодействующая двух сил. Для нахождения равнодействующей сил и , , приводим эти силы к точке и строим на них параллелограмм. Вектор-диагональ параллелограмма и является равнодействующих этих сил (рис. 2.4).

Свойства сложения векторов

– коммутативный (переместительный) закон.

Рис. 2.3 иллюстрирует справедливость свойства. В самом деле:

‑ ассоциативный (сочетательный) закон.

для любого вектора .

Для любого вектора : .

Вычитание векторов

Определение 2.2. Разностью двух векторов и называется третий вектор , такой, что .

Покажем, как реализуется на практике сформулированное определение понятия разности.

Задача 2.1.Даны два вектора:

 
 

 


 

 

Найти: разность векторов и .

Решение. Приведем варианта два решения.

10. Из определения следует: чтобы построить разность двух векторов эти векторы надо привести к одному началу, а затем построить вектор с началом в конце вектора и концом в конце вектора (рис. 2.5). Суммой векторов и является вектор .

Обратимся к рис. 2.3. В параллелограмме OACB диагональ OC является суммой векторов и , а диагональ BA – разностью этих векторов.

20. Преобразуем равенство . Следовательно, вектор является суммой вектора и вектора , противоположного вектору . Отсюда следует построение искомой разности векторов (рис. 2.6).

Умножение вектора на скаляр

Определение 2.3. Произведением вектора на скаляр называется вектор , удовлетворяющий двум условиям:

· модуль вектора равен произведению модулей числа и вектора : ;

· вектор сонаправлен с вектором при и направлен противоположно вектору при (рис. 2.7).






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2017 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.