Векторное произведение двух векторов

6.1. Основные определения, механический
смысл векторного произведения

Определение 6.1.Векторным произведением векторов называется вектор , удовлетворяющий трем условиям:

Модуль вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах (рис. 6.1);

Вектор перпендикулярен векторам , а значит, и плоскости этого параллелограмма;

Векторы и образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение векторов и обозначается символом:

(6.1)

Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними. Поэтому площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения двух векторов.

(6.2)

Операция векторного умножения векторов находит широкие практические приложения.

В механике, например, важное понятие момента силы относительно точки определяется как векторное произведение двух векторов.

Определение 6.2. Моментом силы относительно точки О пространства называется вектор, равный векторному произведению радиус-вектора точки приложения А силы , проведенного из точки О, на вектор силы (рис. 6.2):

(6.3)

Свойства векторного произведения

Антикоммутативный закон:

(6.4)

Из рис. 6.2 следует:

но векторы и противоположно направлены, поэтому

Ассоциативный (сочетательный) закон относительно числового множителя:

(6.5)

Дистрибутивный (распределительный) закон:

(6.6)

(6.6^*)

Вследствие свойства 1⁰ векторные величины (6.6) и (6.6^*) имеют равные модули и противоположные знаки, т.е. являются противоположными векторами.

Для того, чтобы векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.

Это следует из определения понятия векторного произведения векторов.

Замечание. Из свойств векторного умножения векторов следует, что векторные одночлены и многочлены можно преобразовывать по правилам преобразования алгебраических многочленов. Однако, здесь следует учитывать, что при перестановке сомножителей в векторном произведении знак его следует изменить на противоположный.

Задача 6.1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и , если

, , , , .

Решение. Используя замечание и свойство , получим:

Искомая площадь, составляющая половину площади параллелограмма, построенного на векторах и , равна:

Ответ.

6.3. Векторное произведение векторов
в координатной форме

Получим векторные произведения векторов – ортов координатных осей – на основе определения понятия векторного произведения векторов и его свойств:

Произведения вектора на себя равно нулевому вектору в соответствии со свойством 4⁰, например, Величины парных произведений векторов определены на основе определения понятия векторного произведения. Например, т.к. векторы , , образуют правую тройку, и , поскольку эти векторы образуют квадрат с единичной стороной. Аналогично этому т.к. векторы образуют левую тройку и

Результаты векторного умножения орт координатных осей сведены в таблицу 6.1

Таблица 6.1

Приведем без вывода формулу векторного произведения двух векторов и в координатной форме.

(6.7)

Векторное произведение двух векторов равно определителю третьего порядка, в первой строке которого находятся орты, во второй строке – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго вектора.

Проиллюстрируем применение формулы (6.7) к решению практических задач.

Задача 6.2. Найти площадь треугольника АВС и его высоту , если известны координаты его вершин (рис. 6.3).

Рис. 6.3

Решение. Модуль векторного произведения векторов выражает площадь параллелограмма, построенного на этих векторах. Площадь треугольника составляет половину площади указанного параллелограмма, поэтому площадь треугольника, построенного на двух векторах, равна половине модуля векторного произведения этих векторов.

В качестве векторов, образующих данный треугольник, выберем векторы и :

По величине площади найдем высоту треугольника

,

Ответ.

Задача 6.3. Сила приложена к точке Найти момент этой силы относительно начала координат.

Решение. Моментом силы равен векторному произведению радиус-вектора точки и силы Координаты радиус-вектора совпадают с координатами точки , поэтому Отсюда следует:

Ответ.

Приложения