|
|
Решение систем линейных алгебраических уравненийОпределители Вычисление определителей второго и третьего порядка Квадратной матрице А 1. 2. det А
3. detА
Пример: Вычислить определители матриц А= Решение: Det А= Det В= Ответ: detA=14, detB=0.
Разложение определителя матрицы по элементам строки или столбца Опр: Минором Опр: Алгебраическим дополнением
Теорема: Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Разложение определителя по любой (i-й, где i=1,2,…n) строке: det Разложение определителя по любому (j-му, где j=1,2,…n) столбцу: detA
Пример: Найти минор Решение:
Найдем алгебраическое дополнение: Ответ: Пример: Вычислить определитель матрицы А= Решение: Вычислим определитель разложением по третьему столбцу:
Ответ: detA=-24
Свойства определителя: 1. Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы. det A=detA 2. При перестановке местами двух параллельных строк или столбцов определитель меняет свой знак на противоположный. 3. Определитель, имеющий две одинаковые , или две пропорциональные строки или столбца равен нулю. 4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя, т.е. 5. Определитель, имеющий нулевую строку или столбец равен нулю. 6. Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число. Это утверждение верно и для столбцов.
Обратная матрица Опр: Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю, т.е. det A Опр: Матрицей, обратной к матрице А называется такая матрица Все матрицы: А, Всякая невырожденная матрица имеет обратную, которая может быть найдена по формуле:
Правило вычисления обратной матрицы: 1. Вычислить определитель матрицы detA ( detA 2. Составить матрицу из алгебраических дополнений элементов: 3. Каждый элемент полученной матрицы разделить на определитель: 4. Транспонировать полученную матрицу: 5. Результат проверить, умножив А на
Пример: Для матрицы А= Решение: 1. Находим detA= 2. Составляем матрицу 3. Делим элементы на определитель: 4. Транспонируем полученную матрицу: 5. Проверка: Ответ: Пример: Для матрицы А= Решение: Находим detA= Составляем матрицу
Делим элементы на определитель: Транспонируем полученную матрицу: Проверка: Ответ: Решение систем линейных алгебраических уравнений
|
порядка n можно поставить в соответствие число, обозначаемое det А (или 
или 
), называемое ее определителем (детерминантом), и вычисляемое по следующим схемам:
det А 
= 
= 
= += 
= 
= 
= = 
- 
, В= 
элемента 
определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка ,полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент 
элемента 
: 
и алгебраическое дополнение 
элемента 
матрицы А= 
.
= 
=0+0+2-15-8-0=-21;
, 
.
, которая удовлетворяет условиям: 
.
, где 
алгебраическое дополнение элемента 
.
найти обратную.
, поэтому 
найти обратную.
поэтому 
: 
В соответствии с правилом умножения матриц, рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричной форме AХ=В, где
,
.
Матрица A, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы. Матрица-столбец B, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется столбцом свободных переменных, или просто правой частью системы. Матрица-столбец X, элементами которой являются искомые неизвестные, называется столбцом переменных.
Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде AX=B, является матричным уравнением.
Пример 1: Записать систему в виде матричного уравнения: 
Решение: Матрица системы: 
,
столбец переменных: X= 
,
столбец свободных переменных : b= 
Ответ: Матричное уравнение имеет вид:
Решением системы называется совокупность n значений неизвестных
,
при подстановке которых в систему, все уравнения обращаются в верные тождества. Или решение можно записать в виде столбца 
, подстановка которого в матричное уравнение AX=B, обращает его в верное тождество.
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной.
Если система имеет единственное решение, то система называется определенной, если решений много, то система называется неопределенной.
Решение матричных уравнений
Рассмотрим системы, число уравнений которых m равно числу переменных n и матрица системы А является невырожденной, т.е. detА 
. И тогда для решения матричного уравнения AX=B, необходимо обе части этого уравнения слева умножить на А 
.
Пример 2: Решить систему, как матричное уравнение: 
.
Решение:
1. Запишем систему в матричном виде: 
.
2. Для матрицы системы 
найдем обратную матрицу: 
,
3. Решение системы ищем в виде: 
.
Ответ: 
.
Пример 3: Решить матричное уравнение:
1. Решение системы ищем в виде: 
. 
.
Ответ: 
.
Правило Крамера
Справедливо следующее утверждение (формулы Крамера):
определяемое формулами Крамера: 
, где i=1,2, ., n,
- определитель матрицы n -го порядка, полученной из матрицы A системы заменой i -го столбца столбцом свободных переменных b.
,
- главный определитель;
, 
- вспомогательные определители. Они получаются заменой в главном определителе колонки коэффициентов при х (D1) и при y (D2) колонкой свободных членов.
.
,
