Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Определители

Вычисление определителей второго и третьего порядка

Квадратной матрице А порядка n можно поставить в соответствие число, обозначаемое det А (или или ), называемое ее определителем (детерминантом), и вычисляемое по следующим схемам:

1. det А =

2. det А = = +=

 

3. detА = = = = -

 

Пример: Вычислить определители матриц А= , В=

Решение: Det А=

Det В=

Ответ: detA=14, detB=0.

 

 

Разложение определителя матрицы по элементам строки или столбца

Опр: Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка ,полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент .

Опр: Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на число (-1) :

 

Теорема: Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

 

 

Разложение определителя по любой (i-й, где i=1,2,…n) строке:

det

Разложение определителя по любому (j-му, где j=1,2,…n) столбцу:

detA

 

 

Пример: Найти минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы А= .

Решение:

Найдем минор: М = =0+0+2-15-8-0=-21;

Найдем алгебраическое дополнение:

Ответ: ,

Пример: Вычислить определитель матрицы А= .

Решение: Вычислим определитель разложением по третьему столбцу:

Ответ: detA=-24

 

Свойства определителя:

1. Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы. det A=detA .

2. При перестановке местами двух параллельных строк или столбцов определитель меняет свой знак на противоположный.

3. Определитель, имеющий две одинаковые , или две пропорциональные строки или столбца равен нулю.



4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя, т.е.

5. Определитель, имеющий нулевую строку или столбец равен нулю.

6. Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число. Это утверждение верно и для столбцов.

 

Обратная матрица

Опр: Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю, т.е. det A

Опр: Матрицей, обратной к матрице А называется такая матрица , которая удовлетворяет условиям: .

Все матрицы: А, и Е имеют один и тот же порядок.

Всякая невырожденная матрица имеет обратную, которая может быть найдена по формуле: , где алгебраическое дополнение элемента . Распишем последовательность нахождения обратной матрицы:

 

Правило вычисления обратной матрицы:

1. Вычислить определитель матрицы detA ( detA ,в противном случае обратная не существует.)

2. Составить матрицу из алгебраических дополнений элементов:

3. Каждый элемент полученной матрицы разделить на определитель:

4. Транспонировать полученную матрицу:

5. Результат проверить, умножив А на .

 

Пример: Для матрицы А= найти обратную.

Решение:

1. Находим detA=

2. Составляем матрицу , поэтому

3. Делим элементы на определитель:

4. Транспонируем полученную матрицу:

5. Проверка:

Ответ:

Пример: Для матрицы А= найти обратную.

Решение:

Находим detA=

Составляем матрицу

поэтому

Делим элементы на определитель:

Транспонируем полученную матрицу:

Проверка:

Ответ:

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных : В соответствии с правилом умножения матриц, рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричной форме AХ=В, где , . Матрица A, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы. Матрица-столбец B, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется столбцом свободных переменных, или просто правой частью системы. Матрица-столбец X, элементами которой являются искомые неизвестные, называется столбцом переменных. Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде AX=B, является матричным уравнением. Пример 1: Записать систему в виде матричного уравнения: Решение: Матрица системы: , столбец переменных: X= , столбец свободных переменных : b= Ответ: Матричное уравнение имеет вид: Решением системы называется совокупность n значений неизвестных , при подстановке которых в систему, все уравнения обращаются в верные тождества. Или решение можно записать в виде столбца , подстановка которого в матричное уравнение AX=B, обращает его в верное тождество. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной. Если система имеет единственное решение, то система называется определенной, если решений много, то система называется неопределенной. Решение матричных уравнений Рассмотрим системы, число уравнений которых m равно числу переменных n и матрица системы А является невырожденной, т.е. detА .Если матрица системы невырождена, то у нее существует обратная матрица А . И тогда для решения матричного уравнения AX=B, необходимо обе части этого уравнения слева умножить на А Получаем решение системы в виде: . Пример 2: Решить систему, как матричное уравнение: . Решение: 1. Запишем систему в матричном виде: . 2. Для матрицы системы найдем обратную матрицу: , 3. Решение системы ищем в виде: . Ответ: . Пример 3: Решить матричное уравнение: . Решение: Для матрицы системы А найдем обратную матрицу: 1. Решение системы ищем в виде: . . Ответ: .   Правило Крамера Справедливо следующее утверждение (формулы Крамера):
Если определитель =det A матрицы системы Ax=В отличен от нуля, то система имеет единственное решение определяемое формулами Крамера: , где i=1,2, ., n,

где - определитель матрицы n -го порядка, полученной из матрицы A системы заменой i -го столбца столбцом свободных переменных b.

Применим правило Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Рассмотрим систему: ,

где

- главный определитель;

, - вспомогательные определители. Они получаются заменой в главном определителе колонки коэффициентов при х (D1) и при y (D2) колонкой свободных членов.

Решение системы по правилу Крамера имеет вид:

.

 

Для систем трех уравнений с тремя неизвестными

правило Крамера имеет вид:

,

где

Пример 4. Решить систему по формулам Крамера: .

Решение:

Ответ:

Пример 5: Решить систему по формулам Крамера:

Решение:

Ответ:

 






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2017 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.