Относительные уровни издержек на предприятиях 7 глава

Следовательно

откуда х = 15.

68. При гиперинфляции найденный кошелек кладут в карман, а деньги из него выбрасывают.

69. Необходимо заполнить доверху 9-литровое ведро и дважды с помощью 4-литрового ведра отлить из него ровно 8 литров воды. Оставшийся 1 литр воды вылить в пустое 4-литровое ведро. Снова наполнить 9-литровое ведро и отлить из него 3 литра воды в 4-литровое (там уже есть 1 литр), заполнив его доверху. В 9-литровом ведре при этом останется ровно 6 литров воды.

70. Необходимо вначале отловить 100 карпов, пометить их и выпустить обратно. Через некоторое время, когда рыбы успокоятся, снова отловить 100 карпов и сосчитать, сколько среди них меченых. К примеру, меченых рыб оказалось 4. Это означает, что в водоеме 4 % меченых рыб. Но, с другой стороны, мы знаем, что меченых рыб 100. Следовательно, 100 рыб составляют 4 % от общего количества их в пруду.

Значит, 100 % - это

71. 1) Вероятность того, что первый попавшийся вам по приезде в Москву человек – ваш единственный знакомый в этом городе, равна:

2) Вероятность отгадать в лотерее 6 номеров из 49 по формулам теории вероятностей равна:

где С⁶₄₉ – сочетание из 49 элементов по 6. Следовательно, вероятность отгадки равна

т. е. примерно в полтора раза меньше.

72. Возможно. На этот счет существует специальная теорема. Практическое решение данной задачи требует, однако, сложных расчетов.

73. Водителям поменяться машинами.

74. В момент выхода железнодорожного состава из Москвы в пути находится 8 встречных составов, в том числе один, входящий в это время в Москву, и один, выходящий из Владивостока. Все 8 составов будут встречными. Но этого мало. За те 7 дней, что москвичи будут в пути, из Владивостока успеет выйти еще 7 составов (в том числе один – в момент прихода московского поезда во Владивосток). Итого 8 + 7 = 15 составов, т. е. письма могут быть получены 15 раз.

75. До третьего этажа 2 пролета лестниц, до шестого – 5. Следовательно, т. е. в два с половиной раза.

76. Вероятность выигрыша рассчитывается по формулам теории вероятностей:

Необходимые формулы можно найти в любом математическом справочнике.

п– общее количество билетов,

k – количество билетов, содержащих выигрыш,

т – количество купленных билетов,

C^l_k – количество билетов, выигрыш по которым нас интересует.

Подставляя соответствующие значения, получим:

77. 0,80 х 0,80 х 0,60 - 0,38, т. е. 38 %.

78. Отгадывание 6 цифр из 49 допускает только одно правильное решение – ни в одной из шести вычеркнутых цифр нельзя ошибиться. При отгадывании пяти номеров разрешается допустить ошибку в одном (любом) из шести «правильных» номеров. При этом «правильный» номер заменяется одним из «неправильных», которых насчитывается 49 - 6 = 43. Число таких замен равно количеству пар чисел в диапазоне от 1 до 49. Так, цифра 1 может быть заменена на 7, 8, 9 и т. д., вплоть до 49. То же самое с цифрой 2 и т. д. до 6. Вот как это выглядит:

Число таких пар замен равно 6 х 43 = 258. Следовательно, вероятность отгадать 5 цифр равна:

1) Аналогичным путем рассчитывается вероятность отгадать 4 цифры:

больше, чем 5 номеров.

2) 3 цифры: чем 5 номеров.

79. В соответствии с правилами теории статистических решений необходимо свести условие задачи в следующую таблицу:

Наилучшим решением признается такое, при котором сумма произведений (время на число голосов) будет минимальной. В данном случае это решение «прямо».

80. В соответствии с теорией статистических решений общий результат Энди равен 0,5 х 50 + 0,5 х (-10) = 20 долларам. Поскольку этот результат положителен, решение Энди должно быть: «Вперед, за должником».

81. Задача решается методами теории игр с использованием принципа «рассчитывай на худшее». Условие задачи сводится в следующую таблицу:

Вначале для каждого из решений находится худший результат, который записывается справа от таблицы. Затем из худших результатов выбирается лучший. В данном случае это 1000 у. д. ед. Решение, соответствующее этому результату, – «вернуться домой» является наилучшим.

82. Задача решается методами теории игр с использованием принципа «рассчитывай на худшее». Условие задачи сводится в следующую таблицу:

При составлении таблицы мы рассуждали так. Если день рождения у Марины не сегодня и вы не принесете подарка, то положение будет нейтральным. Если у нее не день рождения и вы примчитесь с букетом, то максимум, чем вы рискуете, это подвергнуться проверке на трезвость. Если у нее действительно день рождения и вы вовремя вспомнили об этом, то заслужите искреннюю благодарность. Если же в этом случае вы не принесете ничего – вы человек пропащий.

Выражая результаты в очках, вы вынуждены пользоваться произвольными числами. Это, однако, не должно вас смущать: важно, чтобы они не противоречили жизненному опыту. Так, отсутствие подарка в день рождения не менее чем в 10 раз хуже противоположной ситуации (в этом нетрудно убедиться экспериментально).

Из таблицы по правилам, приведенным в решении задачи 81, находится лучший из худших результатов и соответствующее ему решение – «с цветами».

83. Обозначая среднюю скорость автомобиля через х, а расстояние между городами – l, можем записать, чему будет равно время, затраченное на поездку туда и обратно:

откуда х = 48 км/ч.

84. Задача решается методами теории статистических решений. Условие задачи сводится в следующую таблицу:

Цифры, оценивающие ожидаемый результат, получены из следующих соображений:

– при полете самолетом в случае тумана агент не потеряет день работы, который принесет 1500 у. д. ед., и получит у иногороднего клиента заказ по телефону, что даст еще 500 у. д. ед., итого 2000 у. д. ед.;

– если при полете самолетом будет ясная погода, агент успеет получить 1500 у. д. ед. дома и 3000 – от иногороднего клиента, итого 4500 у. д. ед.;

– в случае поездки поездом независимо от погоды агент получит у иногороднего клиента заказ на 3000 у. д. ед.

Расчеты, приведенные справа от таблицы, показывают, что наибольший среднеожидаемый результат соответствует решению «лететь самолетом».

85. Обозначим годовой доход Д, годовой страховой взнос В_с. Тогда по условию задачи можно написать:

Откуда

86. Обозначая прибыль ПР, выплаты страховых премий в год В_сп, а затраты на организацию страховой деятельности З_сд, по условию задачи можно написать:

87. Обозначая искомое дневное задание через х и применяя формулу суммы членов арифметической прогрессии, можно записать условие задачи следующим образом:

Отсюда следует, после преобразований, квадратное уравнение:

Отсюда

Поскольку дневное задание – количество деталей – должно быть целым числом, искомое решение х₁ = 13 деталей.

88. По формуле теории вероятностей

89. По формуле теории вероятностей число размещений с повторениями (букв) из п элементов

Отсюда

90. По формуле теории вероятностей решение равно числу перестановок, деленному на число размещений с повторениями перестановок из 4! элементов:

91. 1) Сокращение производительности труда в день при этом равно:

а в рабочую неделю 0,033 х 6 = 0,198.

Следовательно, производительность труда должна вырасти на 19,8 %.

2) Сокращение производительности труда в день при этом равно:

а в рабочую неделю 0,013 х 6 = 0,078.

Следовательно, производительность труда должна вырасти на 7,8 %.

3) Сокращение производительности труда в день при этом равно:

а в рабочую неделю 0,053 х 6 = 0,318.

Следовательно, производительность труда должна вырасти на 31,8 %.

92. План января был выполнен на 100 + 6 = 106%, план февраля - на 106 + (6 % от 106) = 106 + 6,36=112,36%, план марта – на 112,36 + (6 % от 112,36) = 112,36 + 6,74 = 119,1%.

За все три месяца план был выполнен на 106 + 112,36 + 119,1 = 337,46 %, что соответствует среднемесячному 337,46:3 = 112,49 %.

Следовательно, среднемесячный план был перевыполнен на 112,49 - 100 = 12,49 %.

93. Первая бригада отработала 5 х 10 = 50 человеко-дней, вторая бригада – 7 х 4 = 28, объединенная бригада – 12 х 5 = 60. Всего общая работа составила 50 + 28 + 60 = 138 человеко-дней. А заработок на одного рабочего той и другой бригады равен 1518 : 138 = 11 уд. ед. в день.

Следовательно, каждый рабочий в первой бригаде получил:

11 х (10 + 5) = 165 у. д. ед.,

а каждый рабочий во второй бригаде

11 х (4 + 5) = 99 у.д.ед.

94. Предприятие № 1 за месяц выполняет

заказа, предприятие

предприятие № 3 - 14 + 19 = 33 %.

А все три предприятия за один месяц выполняют 14 + 19 + 33 = 66 % заказа.

Следовательно, весь заказ (100%) все три предприятия выполнят за

95. Обозначая количество изделий, планируемых к выпуску за год, через х, можно записать условие задачи следующим образом:

Отсюда, после преобразований, х= 28 000 изделий.

96. Обозначая искомый срок одновременной работы всех цехов над заказом через х, можно представить условие задачи следующим образом:

Отсюда х = 12 дней.

Итак, 1) выпуск цеха № 1 должен составлять 100 х 12 = 1200 единиц, выпуск цеха № 2 – 40 х 12 = 480, выпуск цеха № 3 - 50 х 12 = 600; 2) срок совместной работы над заказом должен быть равен 12 дням.

97. В I квартале выполнено 25 % годового плана, во II квартале – 25 х 1,05 = 26,25 %, в III квартале - 26,25 х 1,15 = 30,19 %, в IV квартале - 30,19 х 1,25 = 37,73 %.

Всего за год выполнено 119,17 % годового плана.

1) Перевыполнение плана составляет 119,17 – 100 = 19,17 %.

2) Это соответствует единицам продукции.

98. Соотношение 3 : 7 : 15 означает, что линейных руководителей должно быть или 12%, функциональных руководителей – , или 28 %, и мастеров – , или 60 %. Фактически же линейных руководителей оказалось 12 % + (25 % от 12 %) = 15 %, функциональных руководителей - 28 % + (25 % от 28 %) = 35 %, а мастеров - 60 % - (25 % от 60 %) = 45 %. Общий процент нанятого персонала составляет, таким образом, 15 + 35 + 45 = 95 %, что соответствует 95 принятым работникам.

Отсюда количество принятых линейных руководителей равно 15, функциональных руководителей – 35 и мастеров – 45.

99. Обозначая через х плановое время выпуска 40 комбайнов, можно записать условие задачи следующим образом:

После преобразования получим х² – х - 20 = 0. Решая квадратное уравнение по стандартной формуле, получим:

х₁ = 5 дней (х₂ не подходит, так как отрицательно).

Следовательно, фактически 36 комбайнов были выпущены за 5 - 2 = 3 дня. При этом ежедневно выпускалось

100. Обозначив через х количество участков, нарезанных в первой части земли, можно записать условие задачи следующим образом:

После преобразований получим х² + 25х - 150 = 0.

Решая квадратное уравнение по стандартной формуле, получим:

х₁ = 5 участков (х₂ не подходит, так как отрицательно).

Следовательно, 1) количество участков, нарезанных в первой части земли, равно 5, а во второй – 5 + 15 = 20; 2) площадь участка в первой части земли равна 2 га, а во второй – 1 га.

101. Обозначая первоначальное количество линий через х, можно представить условие задачи в следующем виде:

После преобразований получим х² - 32х + 240 - 0.

Решая квадратное уравнение по стандартной формуле, получим:

Задача имеет два решения: х₁ = 20, х₂ = 12.

102. Обозначая через х старый, а через у новый расход сырья на один комплект мебели, можно записать условия задачи следующим образом:

Решая систему из двух уравнений с двумя неизвестными, из (**) получим

Подставляя значение у в (*), после преобразований получим:

Откуда х₁ = 0 (не подходит, так как отрицательно), х₂ = 6.

Следовательно, раньше расходовалось на один комплект мебели 6 м² древесины, а теперь

.

103. Обозначая через х количество калийного удобрения в 100 кг смеси, а через у количество калийного удобрения, которое нужно добавить к ней, можно записать условие задачи следующим образом:

Решая систему уравнений, получим у = 50 кг.

104. Обозначая через х среднюю скорость первого автомобиля, а через у среднюю скорость

второго автомобиля, можно записать условие задачи следующим образом:

Решая систему из двух уравнений с двумя неизвестными, получим:

Решая квадратное уравнение по стандартной формуле, получим:

х₁ = 240 (х₂ не подходит, так как отрицательно). Итак, средняя скорость первого автомобиля равна 240 км/ч, а второго 240 - 60 = 180 км/ч.

105. Вопрос: «Соответствует ли ваша правдивость честности компании?» Правдивый представитель при честной сделке на этот вопрос ответит «да», а при нечестной – «нет»; лживый же будет отвечать противоположно истине: если честность сделки и правдивость представителя не совпадают, он вместо «нет» ответит «да», и наоборот.

Возможные ситуации и соответствующие ответы сведены в следующую таблицу:

Из таблицы видно, что каким бы ни был представитель компании, положительный ответ всегда говорит о честности сделки, а отрицательный – о ее нечестности.

106.Обозначим через х уменьшение годового дохода предприятия в результате повышения цены на товар с у на z у. д. ед. и соответствующего падения объема продаж. Тогда условие задачи будет математически выглядеть так:

Учитывая, что до повышения цены имело место равенство

найдем у = 8 у. д. ед.

Тогда из (2) следует, что

откуда

Из (1) следует, что

Следовательно, увеличение цены на товар и соответствующее уменьшение объема продаж (спроса) не привело к изменению годового дохода предприятия.

107. Обозначая через х объем продаж до его падения, а через у – соответствующую цену товара, запишем условие задачи следующим образом:

или, что то же самое,

1) Из (2) следует 6 х 2 = (6 + у) 2, откуда у = 6.

2) Из (1) следует, что х может быть любым, так как на него можно сократить обе части уравнения:

108.Обозначим величину уценки через х раз, тогда условие задачи будет выглядеть так:

Откуда

Следовательно, в результате первой уценки цена домика будет установлена:

а в результате второй:

109. Обозначая через х стоимость грузовой автомашины, а через у стоимость станка, купленного компаньоном А, нетрудно установить, что стоимость легковой автомашины равна у, а стоимость станка, приобретенного компаньоном Б, составляет х – 2.

Из условия задачи также следует, что х + у = 24 и суммарная стоимость автомашины тоже равна 24 тыс. у. д. ед.

Следовательно, если бы легковая автомашина была в три раза дороже грузовой, то они должны были бы стоить соответственно 18 и 6 тыс. у. д. ед. и равенство затрат компаньонов можно было бы записать так:

Откуда

Итак:

1) Стоимость покупок: станок, купленный компаньоном А, – 17 тыс. у. д. ед., купленный компаньоном Б, – 5 тыс. у. д. ед.; стоимость грузовой автомашины – 7 тыс. у. д. ед., легковой – 17 тыс. у. д. ед.

2) Всего было потрачено: компаньоном А 17 + 7 = 24 тыс. у. д. ед., компаньоном Б 5 + 17 = 22 тыс. у. д. ед.

110. Обозначим через х торговую наценку (в долях от 1), через у – стоимость товара без наценки и через z – сумму комиссионных агенту по продаже. Тогда условие задачи можно записать так:

1) Величину торговой наценки найдем из (1):

2) Из (2) следует, что стоимость оставшегося товара без торговой наценки (товар не продан) равна:

а стоимость проданного товара без учета торговой наценки –

Отсюда прибыль равна:

3) Из условий задачи:

Откуда z = 18 тыс. у. д. ед., а в процентах

111.Обозначим через х стоимость всех кроватей, через у – всех туалетных столиков, а через z – стоимость одной кровати. Тогда условия покупки первой партии товара можно записать так:

Если бы в первой партии было решено приобрести только туалетные столики, то выражение (*) приобрело бы следующий вид:

Умножение левой части равенства на учитывает долю столиков, дополняющую покупаемое в первой партии количество до общего , а умножение на – увеличение количества столиков, пропорциональное уменьшению цены каждого.

Следовательно,

откуда у = 30.

Подставляя это значение в (*), получим х = 30.

Обозначим через т стоимость одной кровати. Тогда один столик будет стоить z.

При этом исходя из условия задачи будет иметь место соотношение

Подставляя значения х и у и решая относительно z, получим:

Следовательно:

1) Общая стоимость закупленных кроватей и столиков в первой партии равна соответственно – из (*):

а во второй партии:

2) Стоимость кровати равна 3 тыс. у. д. ед., а стоимость туалетного столика

3) Количество кроватей и столиков, закупленных в первой и второй партиях, соответственно равно:

в первой партии – кроватей = 2 единицы, столиков = 5 единиц; во второй партии – кроватей = 8 единиц, столиков =10 единиц.

Всего 10 кроватей и 15 столиков.

112. Обозначим через х общий объем выпивки в литрах или равный ему вес закуски в килограммах. Тогда суммарная стоимость выпивки будет 20х у. д. ед., а закуски – 10х у. д. ед. и общие затраты составят: