Затухающие и вынужденные колебания

19. Затухающие колебания.

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Затухание механических колебаний вызывается главным образом трением. Затухание в электрических колебательных системах вызывается тепловыми потерями и потерями на излучение электромагнитных волн, а также тепловыми потерями в диэлектриках и ферромагнетиках вследствие электрического и магнитного гистерезиса.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем.

Система называется линейной, если параметры, характеризующие те физические свойства системы, которые существенны для рассматриваемого процесса, не изменяются в ходе процесса.

Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями.

Различные по своей природе линейные системы описываются одинаковыми уравнениями, что позволяет осуществлять единый подход к изучению колебаний различной физической природы.

20.Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний

линейной системы имеет вид

где s- колеблющаяся величина,

— коэффициент затухания,

ω₀- циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы (при ).

В случае малых затуханий ( ) решение этого уравнения:

где:

— амплитуда зату­хающих колебаний,

А₀- начальная амплитуда,

— циклическая частота затухающих колебаний.

Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих о

колебаний уменьшается в е раз называется временем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний.

Затухающие колебания не являются периодическими.

Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода затухающих колебаний как промежутка времени между двумя последующими максимумами колеблющейся физической величины:

21. Декремент затухания.

Если A(t) и A(t + T) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающихся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

называется логарифмическим декрементом затухания.

Здесь N — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в ераз.

22.Добротность колебательной системы.

Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина Q, равная произведению 2π на отношение энергии W(t) колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени от t до t + T (за один условный период затухающих колебаний):

Энергия W(t) пропорциональна квадрату амплитуды А(t), поэтому:

При малых значениях логарифмического декремента затухания ( <<1)

, поэтому (принимая Т ≈Т₀)

 

Волны в упругой среде.

23.Волновой процесс.

Если возбудить колебания в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной) то, вследствие взаимодействия между частицами среды, эти колебания будут передаваться от одной точки среды к другой со скоростью, зависящей от свойств среды.

При рассмотрении колебаний не учитывается детальное строение среды; среда рассматривается как сплошная, непрерывно распределенная впространстве и обладающая упругими свойствами.

Среда называется линейной, если ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых колебаниями.

Волновым процессом или волной — называется процесс распро­странения колебаний в сплошной среде.

При распространении волны частицы колеблются около своих положений равновесия, а не перемещаются вслед за волной.

Вместе с волной от частицы к частице передается только состояние колебательного движения и его энергия.

Основным свойством всех волн является перенос энергии без переноса вещества.

24.Упругие волны.

Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде.

Продольная волна — волна, в которой частицы среды колеблются в направлении распространения волны.

Поперечная волна — волна, в которой частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения (в твердых, жидких и газообразных телах).

Поперечные волны могут распространяться только в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига (только в твердых телах).

36. Упругая гармоническая волна.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

Пусть гармоническая волна распространяется со скоростью υ вдоль оси ОХ. Обозначим смещения частиц среды через

Для данного момента времени t зависимость между смещением частиц среды и расстоянием х этих частиц от источника колебаний О можно представить в виде графика волны.

Волновым фронтом называется геометрическое место точек, до которых доходят колебания к определенному моменту времениt.

Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени — один.

37.Бегущие волны.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию.

Перенос энергии количественно характеризуется вектором плотности потока энергии (вектор Умова). Направление этого вектора совпадает с направлением распространения энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно волне.

Важными примерами бегущих волн являются плоская и сферическая волны.

Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу.

Волна называется сферической, если ее волновые поверхности имеют вид концентрических сфер. Центры этих сфер называются центром волны.

25.Уравнение плоской волны.

Пусть точки, которые расположены в плоскости х = 0, колеблются по закону . И пусть υ— скорость распространения колебаний в данной среде.

Колебания частицы В среды (см. рисунок), расположенной на расстоянии х от источника колебаний О, будут происходить по тому же закону. Но, поскольку для прохождения волной расстояния х требуется время , то ее колебания будут отставать по времени от колебания источника на τ.

Уравнение колебаний частиц, лежащих вплоскости х, имеет вид

Следовательно, функция является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х.

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

здесь: А = const — амплитуда волны,

ω — циклическая частота,

— начальная фаза волны,

— фаза плоской волны.

Если определить волновое число:

то уравнение плоской бегущей волны можно записать в виде

или в экспоненциальной форме

где физический смысл имеет только вещественная часть.

В общем виде уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении имеет вид:

25.Фазовая скорость.

Скорость в этих уравнениях есть скорость распространения фазы волны и ее называют фазовой скоростью.

Действительно, пусть в волновом процессе фаза постоянна:

откуда

26. Уравнение сферической волны.

где r — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. Амплитуда колебаний в сферической волне убывает с расстоянием по закону .

27. Волновое уравнение.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением — дифференциальным уравнением в частных производных:

или

где υ - фазовая скорость,

— оператор Лапласа.

Решением волнового уравнения является уравнение любой волны (в том числе и плоская и сферическая волны).

Волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х:

28.Принцип суперпозиции.

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, то к этим волнам применим принцип суперпозиций (наложения) волн:

при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвующие в каждом из слагающих волновых процессов.

29.Групповая скорость.

Любое сложное колебание может быть представлено в виде суммы одновременно совершающихся гармонических колебаний (разложение Фурье).

Поэтому любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, то есть в виде волнового пакета или группы волн.

Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

За скорость распространения волнового пакета принимают скорость перемещения максимума его амплитуды (центра волнового пакета).

Групповой скоростью и называется скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет (или скорость движения центра волнового пакета).

Ее величина

Связь групповой и фазовой скоростей:

30. Интерференция волн.

Когерентностью называется согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов.

Две волны называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени.

Гармонические волны, имеющие одинаковую частоту, когерентны всегда.

Интерференцией волн называется явление наложения волн, при котором происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками, колеблющимися с одинаковыми амплитудой , частотой ωи постоянной разностью фаз:

,

где и — расстояния от источников до рассматриваемой точки, k —

волновое число, — начальные фазы волн.

Амплитуда результирующей волны

Поскольку для когерентных источников , то результат интерференции двух волн зависит от величины , называемой разностью хода.

Интерференционный максимум наблюдается в точках, где

Числа называются порядком интерференционного максимума.

наблюдается в точках,

Интерференционный минимум наблюдается в точках, где .

Числа называются порядком интерференционного минимума.

31. Стоячие волны.

Особым случаем интерференции являются стоячие волны.

Стоячие волны — это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

Пусть две плоские бегущие волны с одинаковыми амплитудами и частотами распространяются навстречу друг другу вдоль оси х:

,

Сложив эти уравнения, с учетом и получим уравнение стоячей волны:

В точках среды, где (т =0,1, 2,...) амплитуда стоячей волны достигает максимального значения . Такие точки называются пучностями стоячей волны.

Координаты пучностей:

В точках среды, где (т = 0,1,2,...), амплитуда стоячей обращается в нуль . Такие точки называются узлами стоячей волны.

Координаты узлов: (m=0,1,2,…).

Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины волны λ бегущих волн. Эту

величину называют длиной стоячей волны: .

 

В бегущей волне	В стоячей волне
Амплитуда колебаний
все точки волны совершают колебания с одинаковой амплитудой	все точки между двумя узлами колеблются с разными амплитудами
Фаза колебаний
фаза колебаний зависит от коор­динаты х рассматриваемой точки	все точки между двумя узлами колеблются с одинаковыми фазами
	при переходе через узел фаза колебаний изменяется на π; точки лежащие по разные стороны от узла колеблются в противофазе
Перенос энергии
энергия колебательного движе­ния переносится в направлении распространения бегущей волны	переноса энергии нет, лишь впределах происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно

 

Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн.

Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то на границе сред образуется пучность.

Если среда, от которой происходит отражение, более плотная, то на границе сред образуется узел стоячей волны.

32. Эффект Доплера.

Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. В акустике эффект Доплера проявляется как повышение тона при приближении источника звука к приемнику и понижения тона звука при удалении источника от приемника.

Пусть источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой; — скорости источника и приемника (положительны при сближении и отрицательны при удалении источника и приемника); п₀ — частота колебаний источника; υ — скорость распространения звука в данной среде.

1)Источник и приемник покоятся относительно среды: .

Длина волны . Распространяясь в среде, волна достигнет приемника и вызовет его колебания с частотой: .

2)Приемник приближается к источнику, а источник покоится:

. Скорость распространения волны относительно приемника станет равной , при этом длина волны не меняется, следовательно

Частота колебаний, воспринимаемых приемником увеличится.

3)Источник приближается к приемнику, а приемник покоится:

. Скорость распространения колебаний υ зависит только от свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние . Источник же пройдет расстояние . Поэтому к моменту окончания излучения волны длина волны в направлении движения сократится и станет . Частота колебаний которые воспринимает приемник, увеличится:

---

Предыдущая12345678Следующая