Зубчатые передачи с подвижными осями.

В некоторых многоступенчатых зубчатых передачах оси отдельных колес являются подвижными. Такие зубчатые механизмы с одной степенью свободы называются планетарными механизмами, а с двумя и более степенями свободы - дифференциальными механизмами или просто дифференциалами.

В этих механизмах колеса с подвижными осями вращения называются планетарными колесами или сателлитами, а звено, на котором располагаются оси сателлитов - водилом. На схемах водило принято обозначать буквой H. Зубчатые колеса с неподвижными осями вращения называются солнечными или центральными, неподвижное колесо - опорным.

На рис. 2.6, показан простой планетарный механизм (редуктор Джемса), в котором колесо 1 является опорным, кололо 2 - сателлитом, колесо 3 - центральным, а звено H - водилом. В рассматриваемом механизме три подвижных эвена (водило Н, колесо 2 и колесо 3) и неподвижное звено (колесо 1 жестко связано со стойкой 0). Эти звенья образуют три вращательные кинематические пары V класса (звенья 0-H, 2-Н, 3-1) и две пары IV класса (звенья 1-2 и 2-3). По структурной формуле находим число степеней свободы планетарного механизма:

Для определения передаточного отношения планетарных механизмов применяется известный метод обращения движения (метод инверсии). Сообщим механизму в целом, т.е. всем его звеньям (в том числе и стойке), вращение со скоростью ω_Н в обратном направлении, при этом относительное движение звеньев не изменится. В обращенном движении водило Н, вращая с собственной скоростью, ω_Н и вместе со всем механизмом в обратном направлении с такой же скоростью, будет оставаться как бы (мысленно) неподвижным, и механизм из планетарного превращается в механизм, состоящий из двух последовательно соединенных пар зубчатых колес 3,2 и 2,1 с неподвижными осями вращения.

Для обращенного механизма передаточного отношения от колеса к колесу 1, с одной стороны, можно определить так:

C другой стороны, вычитая из угловых скоростей колес угловую скорость ω_Н, получим угловые скорости колес обращенного механизма, т.е. при неподвижном водиле Н.

Определяя передаточное отношение обращенного механизма, получим

из (2.7) видно, что передаточное отношение и_3Н есть передаточное отношение от колеса 3 к водилу H при неподвижном колесе 1. В дальнейшем, чтобы знать, при каком неподвижном звене определено то или иное передаточное отношение, будем у передаточного отношения в скобках ставить индекс того эвена, которое принято за неподвижное. Тогда уравнение (2.7) перепишем так:

На рис. 2.7 а, б показаны схемы планетарных редукторов типа Джемса с коническими зубчатыми колесами. В соответствии с правилом (методом стрелок), указанным выше, передаточное отношение имеет знак минус и передаточные отношения и редукторов определяется по формуле

(2.5), (2.8) и (2.9).

На рис. 2,8 а, б, в показаны модификации планетарных редукторов Давида, соответственно с сателлитами, входящими в два внешних, внутренних зацепления и в смешанные зацепления.

Передаточное отношение и_3Н от вала O₃ к валу O_h определяется по формуле (2.8).

Рассмотрим кинематику дифференциального механизма, изображенного на рис. 2.9. Колеса 1, 3 и водило H вращаются с угловыми скоростями ω₁, ω₃, ω_Н. Число степеней свободы W этого механизма равно двум

Число подвижных звеньев п = 4 (звенья 1,2, 3, Н), число кинематических пар V класса P₅ = 4 (пары 1-0, 1,3 , 2-Н, Н-0), число кинематических пар IV класса P₄ = 2 (пары 1-2,2-3).

В этом механизме могут быть два «входа» и один выход или один вход и два «выхода»: в первом случае - зубчатый дифференциал предназначен для сложения движения входных звеньев; во втором случае - для дифференциации или разделения движения входного звена. Таким образом, определенность движения звеньев дифференциального механизма будет иметь место только в том случае, если задать движение двух звеньев. Вообще говоря, выбор этих двух звеньев может быть произвольным. Для определения угловых скоростей используем известный метод обращения движения. Пусть звенья механизма, входящие в кинематические пары со стойкой, вращаются с угловыми скоростями ω_1, ω₃ и ω_н. Относительное движение звеньев не изменится, если всем звеньям механизма сообщить дополнительное вращение вокруг оси O_h с угловой скоростью - ω_н, равной по величине, но противоположной по знаку угловой скорости ω_н звена Н.

Тогда звенья механизма будут иметь угловые скорости:

Следовательно, после сообщения звеньям механизма дополнительного вращения с угловой скоростью - ω_н звено H будет как бы неподвижно и дифференциал превратится в обыкновенный зубчатый механизм с неподвижными осями вращения О₃ и O₂.

Передаточное отношение такого механизма, с одной стороны, можно определить так:

Формула (2.10) (формула Виллиса) позволяет по заданным угловым скоростям двух звеньев определить угловую скорость третьего звена дифференциального механизма. В общем случае возможны три варианта: заданы угловые скорости звеньев 1 и 3, 1 и Н, 3 и Н.

Рассмотренные примеры расчета передаточных отношений и угловых скоростей звеньев зубчатых редукторов предполагают заданными значения чисел зубьев всех колес.

При необходимости расчета некоторых значений чисел зубьев следует использовать основное условие существования этих механизмов - условие соосности (коаксиальности). Передачи вращения, у которых оси входных и выходных валов совпадают, называются соосными передачами. Если ось вращения водила H геометрически совпадает (лежат на одной прямой) с осями вращения центральных (солнечных) колес, то такой механизм называется соосным. Математически это выражается равенством межцентровых расстояний сопряженных пар зубчатых колес.

Для механизма, изображенного на рис. 2.6 и 2.9 (оси колес 1 и 3 являются соосными)

где r₁, r₂, r₃, r₄ - радиусы начальных окружностей колес 1, 2, 2', 3. Равенства (2.11), (2.12) и (2.13) называются условиями соосности.

Выражая радиусы начальных окружностей через модули и числа зубьев z, получим

Когда модули зубчатых колес одинаковые (часто бывают), условия соосности, соответственно, примут вид