|
|
Алгоритм симплексного метода
1.Математическую модель задачи привести к каноническому (стандартному) виду.
2. Построить начальную симплекс-таблицу исходя из стандартного вида.
3. Найти разрешающий столбец. В строке коэффициентов ЦФ найти значение с самим маленьким отрицательным числом. Этот столбец и будет разрешающим.
4. Вычислить разрешающую строку и ведущий элемент (Почленно разделить столбец свободных членов на элементы разрешающего столбца, за исключением строки ЦФ. Выбрать наименьшее из частных. Эта строка будет разрешающей.Ведущий элемент будет на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки.).
5.Построить новую симплекс-таблицу-второй шаг.
При построении новой таблицы убрать из базиса строку с переменной разрешающей строки в предыдущей таблице. Ввести в базис строку с названием разрешающего столбца предыдущей таблицы.
-Построение ведущей строки в новой таблице. Почленно поделить всю разрешающую строку на разрешающий элемент. -Построение других строк в новой таблице. Почленно умножить ведущую строку на соответствующие этим строкам элементы разрешающего столбца из предыдущей таблицы и прибавить к соответствующим строкам в старой таблице.
6. Проверяем таблицу второго шага на оптимальность. Если в строке целевой функции нет отрицательных элементов, тогда таблица имеет оптимальный план, записать ответ. Если в строке ЦФ есть отрицательный элемент (элементы), тогда переходят к следующему (третьему) шагу, строят новую симплекс-таблицу в соответствии п.5 и затем проверяют ее на оптимальность. Построение таблиц заканчивается с нахождением оптимального плана.
Прямая задача на минимум решается следующим образом: -Написать математическую модель двойственной задачи в стандартном виде -Решить двойственную модель симплекс - методом -Записать ответ.
Связь между задачами двойственной пары в том, что, решая симплексным методом одну из них, автоматически получаем решение другой. Для этого достаточно воспользоваться соответствием переменных прямой и двойственной задач в последней симплекс-таблице.
Задача На предприятии имеется возможность выпускать n видов продукции (1,2,…n). При ее изготовлении используются ресурсы Р1, Р2, Р3. Размеры прямых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2, b3. Расход i –го ресурса на единицу продукции j-того вида составляют aij. Цена единицы продукции j-того вида равна cj ден. ед. Сформулировать прямую и двойственную задачу и раскрывать экономический смысл всех переменных.
Требуется: Найти оптимальный план симплекс-методом. Найти решение двойственной задачи Указать дефицитность ресурсов Обосновать эффективность плана производства Оценить целесообразность приобретения ресурса Оценить целесообразность выпуска новой продукции Данные : b1 = 25, b2 = 30, b3 = 42 a11= 2, a12= 3, a13= 2, a14= 1 a21= 4, a22= 1, a23= 3, a24= 2 a31= 3, a32= 5, a33= 2,a34= 2 c1= 6, c2= 5, c3= 4, c4= 3 Математическая модель прямой задачи
max (Z= 6x1+5x2+4x3+3x4) 2x1+3x2+2x3+x4< 25 4x1+x2+3x3+2x4< 30 3x1+5x2+2x3+2x4< 42 x1, x2, x3, x4 > 0 Математическая модель двойственной задачи
min (Z*= 25y1+30y2+42y3) 2y1+4y2+3y3> 6 3y1+y2+5y3> 5 2y1+3y2+2y3> 4 y1+2y2+2y3> 3 y1, y2, y3, y4 > 0
Стандартный вид
min (Z= -6x1-5x2-4x3-3x4) 2x1+3x2+2x3+x4+S1=25 4x1+x2+3x3+2x4+S2=30 3x1+5x2+2x3+2x4+S3=42 x1, x2, x3, x4, S1, S2, S3 > 0
Экономический смысл переменных
Xi – количество произведенной продукции Yj – цена ресурса Si – количество оставшегося ресурса
Анализ решения
Продукции 1 вида производим 6,5 ед., второго вида 4 единицы, третьего и четвертого вообще не производим. Прибыль при этом составит 59 ден. единиц.
Ресурс 1 типа стоит 1,4 ден. ед., 2 типа – 0,8 ден. ед. Третий тип ресурса у нас остался в количестве 2,5 ед., поэтому его покупать не нужно.
Ресурсы 1 и 2 типа дефицитны, 3 типа избыточен.
Эффективность производства
Z = 6*6.5+5*4+4*0+3*0=59 Z*=25*1.4+30*0.8+42*0=59 Производство в целом эффективно
2*1,4+4*0,8+3*0< 6 6=6 Производство 1 вида продукции эффективно 3*1,4+1*0,8+5*0< 5 5=5 Производство 2 вида продукции эффективно 2*1,4+3*0,8+2*0< 4 5,2> 4 Производство 3 вида продукции не эффективно 1*1,4+2*0,8+2*0< 3 3=3 Т.к. x4 не входит в базис, то оптимальный план не единственен.
Оценить целесообразность покупки 5 ед. второго ресурса по цене 10 ден. ед, т.е. единица ресурса обойдется нам в 2 ден. ед. Мы же готовы покупать только по 0,8 ден. ед. за 1 единицу ресурса. а1 = 2, а2 = 2, а3 = 4. Цена новой продукции равна 4. 2*1,4+2*0,8+2*0< 4 4,4> 4 Производство 5 вида продукции не эффективно. Контрольные вопросы. 1.Определение математической модели экономической задачи. 2.Виды математических моделей ЛП. 3.Составление математической модели. 4.Экономическая формулировка математической модели прямой и двойственной задач. 5.Понятие двойственности в задачах линейного программирования. 6.Правило построения математической модели двойственной задачи. 7. Первая теорема двойственности. 8. Вторая теорема двойственности. 9. Третья теорема двойственности. 10.Алгоритм геометрического метода решения задач ЛП. 11.Симплексный метод решения задач ЛП и его применение. 12.Алгоритмм симплексного метода. 13.Анализ решения задачи по симплекс – таблице, отвечающей критерию оптимальности. Лекция. Транспортная задача
|
|
x1
S2
x2
