Дифракция плоских волн (дифракция Фраунгофера)

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ВМ №5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ СПЕКТРА БЕЛОГО СВЕТА

С ПОМОЩЬЮ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ

ТРЕБОВАНЯИ ПО ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ

Лабораторная установка имеет подключение к электрической сети напряжением 220 В и частотой 50 Гц. Требуется соблюдать нормы электробезопасности согласно инструкции №170.

Специальные указания: гониометр Г-5 (прибор для измерения углов) выверен, требует аккуратного обращения.

Приступать к исполнению работы можно только после ознаком­ления с инструкцией по технике безопасности и описанием прибора.

Гониометр Г-5, на котором предстоит выполнить работу, точный оптический прибор, служащий для измерения углов с точностью до 1 секунды. Прибор настроен так, чтобы обеспечить успешное прове­дение измерений при минимальных затратах времени, поэтому не ре­комендуется сбивать настройку прибора. Необходимо пользоваться только органами управления, помеченными цифрами.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: исследование дифракционного спектра, создаваемого дифракционной решеткой.

ПРИБОРЫ И ОБОРУДОВАНИЕ: дифракционная решетка с периодом d=0,01 мм, гониометр Г-5, осветитель, понижающий трансформатор.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Дифракция световых волн

Рис. 1. Геометрическая иллюстрация дифракции света

Условно границы длин волн видимого излучения определяются диапазоном 0,40 – 0,78 мкм. Современная оптика содержание термина «свет» трактует более широко, включая в это понятие и те области излуче­нии, которые непосредственно примыкают к видимому диапазону элек­тромагнитных волн. Отчасти этот факт связан с успехами прикладной оптики в сфере преобразования информации, получаемой с помощью инфракрасных и ультрафиолетовых излучений. Здесь имеется в виду, в частности, метод визуализации объектов, регистрируемых в этих диапазонах волн.

Дифракция – явление, характерное для всех волновых процессов, и поэтому наблюдение дифракции световых лучей послужило наглядным основанием для утверждения волновой теории света. Ди­фракция заключается в отклонении пучков волн от прямолинейного распростране­ния и наблюдается практически при прохождении волн через отверс­тия в экранах или в пространстве экранирующих объектов, когда их размеры сравнимы с длиной волны. Однако нельзя сказать, что ди­фракция не будет наблюдаться на объектах, значительно превышающих по своим размерам длину световой волны. В этом случае дифракцион­ная картина будет локализоваться очень далеко и может оказаться недоступной для наблюдения. Поясним сказанное. Если размеры экра­нирующего свет объекта составляют сотые доли миллиметра, то дифракционная картина может быть локализована в пределах небольшого лабораторного пространства, если же в качестве экранирующего объ­екта взять диск диаметром 10 см, то дифракционная картина локали­зуется на расстоянии порядка 1 км.

На возможность геометрической интерпретации дифракции указывает принцип Гюйгенса. Пусть на непрозрачный экран с отверстием падает параллельный пучок света, которому соответствует плоский фронт волны (рис.1). Открытая часть, волнового фронта может рассматриваться как совокупность огромного числа виртуальных (от латинского virtual – возможный, вероятный) источников вторичных элементарных волн. Согласно принципу Гюйгенса новый фронт волны определится как огибающая всех элементарных фронтов волн. Даль­нейшее направление распространения волны определится направления­ми нормалей к волновому фронту. Из рис.1 мы видим, что свет попа­дает в область геометрической тени. Однако, указывая на геометри­ческую возможность дифракции, принцип Гюйгенса не позволяет про­вести аналитическое исследование дифракционной картины.

Анализ состояния светового поля за препятствием может быть выполнен на основе принципа Гюйгенса-Френеля, суть которого состоит в том, что световое колебание в точке пространства определя­ется как результат сложения колебаний от отдельных участков открытой части волнового фронта с учетом их фазы и амплитуды.

Указанный принцип, таким образом, утверждает тесную взаимо­связь интерференции и дифракции. Строго говоря, последние явля­ются двумя гранями одного явления: различие между ними может ока­заться чисто условным.

Обычно под интерференцией понимается процесс стационарного перераспределения энергии в световом поле двух когерентных источ­ников, тогда как под дифракцией понимается интерференция от бесчисленного множества когерентных источников света (в особую груп­пу выделяется случай многолучевой интерференции).

И, наконец, последнее замечание. Почему явление дифракции необходимо изучать в техническом вузе? Дело в том, что с дифракционными явлениями мы широко сталки­ваемся в инженерной практике при расчетах антенных устройств и в задачах распространения радиоволн, при конструировании дифракци­онных спектральных приборов, в задачах рентгеновского фазового и структурного анализа вещества, при оценке пределов возможностей оптических приборов.

Дифракция плоских волн (дифракция Фраунгофера)

Рис. 2.

Дифракция плоских волн была впервые рассмотрена Фраунгофером.

Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская световая волна (рис2). Поместим за щелью собирающую линзу, а в фо­кальной плоскости линзы - экран. Волновая поверхность падаю­щей волны, плоскость щели и экран па­раллельны друг другу. Поскольку щель бесконечна, картина, наблюдаемая в любой плоскости, перпендикулярной к щели, будет одинакова. Поэтому доста­точно исследовать характер картины в одной такой плоскости, например в пло­скости рис.2. Все вводимые в даль­нейшем величины, в частности угол , образуемый лучом с оптической осью линзы, относятся к этой плоскости.

Разобьем открытую часть волновой поверхности на параллель­ные краям щели элементарные зоны ширины . Вторичные волны, посылаемые зонами в направлении, определяемом углом , соберутся в точке экрана . Каждая элементарная зона создаст в точке колебание . Амплитуда колебания, возбуждаемого зоной в любой точке экрана, будет зависеть только от площади зоны. Площадь пропорциональна ширине зоны . Следовательно, амплитуда колебания , воз­буждаемого зоной ширины в любой точке экрана, имеет вид

,

где - константа.

Обозначим алгебраическую сумму амплитуд колебаний, воз­буждаемых в некоторой точке экрана всеми зонами, через . Ее можно найти, проинтегрировав по всей ширине щели :

.

Отсюда , и, следовательно,

.

Теперь определим фазовые соотношения между колебаниями . Сопоставим фазы колебаний, возбуждаемых в точке элементар­ными зонами с координатами 0 и (рис. 2). Оптические пу­ти и таутохронны (см. рис.2). Поэтому разность фаз между рассматриваемыми колебаниями образуется на пути = . Если начальную фазу колебания, возбуждаемого в точке элементарной зоной, находящейся в середине щели , положить равной нулю, то начальная фаза колебания, возбуждаемого зоной с координатой , будет равна ( - длина волны в данной среде).

Таким образом, колебание, возбуждаемое элементарной зоной с координатой в точке (положение которой определяется углом ), может быть представлено в виде

(имеется в виду вещественная часть этого выражения).

Проинтегрировав это выражение по всей ширине щели, найдем результирующее колебание, возбуждаемое в точке открываемым щелью участком волновой поверхности:

.

Вынесем множители, не зависящие от , за знак интеграла. Кроме того, введем обозначение . В результате получим

Выражение в фигурных скобках определяет комплексную ам­плитуду результирующего колебания. Приняв во внимание, что разность экспонент, деленная на , представляет собой , можно написать

Рис. 3.

.

Последнее выражение является вещественным. Его модуль пред­ставляет собой обычную амплитуду результирующего колебания:

. (1)

Для точки, лежащей против центра линзы, . Подстановка этого значения в формулу (1) дает для амплитуды значение 2. Этот результат можно получить более простым путем. При колебания от всех элементарных зон приходят в точку в одинаковой фазе. Поэтому амплитуда результирующего колебания рав­на алгебраической сумме амплитуд складываемых колебаний.

При значениях , удовлетворяющих условию: , т. е. в случае, если

, (2)

амплитуда обращается в нуль. Таким образом, последнее условие определяет положения минимумов интенсивности. Отметим, что представляет собой разность хода лучей, идущих в точку от краев щели (см. рис.3).

Последнее условие легко получить из следующих соображений. Если разность хода от краев щели равна , открытую часть волновой поверхности можно разбить на равных по ширине зон, причем разность хода от краев каждой зоны будет равна (см. рис. 3, выполненный для ). Колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга, так что резуль­тирующая амплитуда равна нулю. Если для точки разность хода = число зон будет нечетным, действие одной из них окажется некомпенсированным и наблюдается максимум интенсивности.

Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, тогда из выражения (1) получаем

, (3)

где - интенсивность в середине дифракционной картины (против центра линзы), - интенсивность в точке, положение которой определяется данным значением .

Из последней формулы получается, что . Это означает, что дифракционная картина симметрична от­носительно центра линзы. Заметим, что при смещении щели параллельно экрану (вдоль оси на рис. 2) дифракционная картина, наблюдаемая на экране, остается неподвижной (ее середина лежит против цент­ра линзы).

Рис. 4.

Напротив, смещение линзы при неподвижной щели сопровождается таким же смещением картины на экране.

График последней функции изображен на рис.4. По оси абс­цисс отложены значения , по оси ординат - интенсивность .

Количество минимумов интенсивности определяется отношением ширины щели к длине волны . Из условия (2) следует, что . Модуль не может превысить единицу. Поэтому , откуда .

При ширине щели, меньшей длины волны, минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно убывает от середины картины к ее краям.

Краям центрального максимума соответствуют значения угла , получающиеся из условия . Эти значения равны . Следовательно, угловая ширина центрального мак­симума равна .

В случае, когда , значение можно положить рав­ным . Тогда формула для угловой ширины центрального мак­симума упрощается следующим образом:

.

Рис. 5.

Решим задачу о дифракции Фраунгофера от щели методом гра­фического сложения амплитуд. Разобьем открытую часть волновой поверхности на очень узкие зоны одинаковой ширины. Колебание, возбуждаемое каждой такой зоной, имеет одинаковую амплитуду и отстает по фазе от предыдущего колебания на одну и ту же ве­личину , зависящую от угла , определяющего направление на точ­ку наблюдения . При разность фаз равна нулю и векторная диаграмма имеет вид, показанный на рис.5 а. Амплитуда ре­зультирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний. Если , колебания от краев щели нахо­дятся в противофазе. Соответственно векторы располагаются вдоль полуокружности длиной (рис. 5. б).

Следовательно, результирующая амплитуда равна . В случае, когда , колебания от краев щели отличаются по фазе на . Соответствующая векторная диаграмма изображена на рис. 5. в. Векторы располагаются вдоль окружности длиной . Резуль­тирующая амплитуда равна нулю - получается первый минимум. Первый максимум получается при . В этом случае колебания от краев щели отличаются по фазе на . Строя после­довательно векторы , мы обойдем полтора раза окружность ди­аметра (рис. 5.г). Диаметр этой окружности и есть амплитуда первого максимума. Таким образом, интенсивность первого максимума равна . Аналогично можно найти и относительную интенсивность остальных максимумов. В итоге получится следующее соотношение:

.

Таким образом, центральный максимум значительно превосходит по интенсивности остальные максимумы; в нем сосредоточивается основная доля светового потока, проходящего через щель.

В случае, когда ширина щели очень мала по сравнению с расстоя­нием от щели до экрана, лучи, идущие в точку от краев щели, будут практически параллельными и в отсутствие линзы между щелью и экраном. Следовательно, при падении на щель плоской волны будет наблюдаться дифракция Фраун­гофера. Все полученные выше формулы будут справедливыми, причем под в этих формулах следует понимать угол между направлением от любого края щели к точке и нормалью к плоскости щели.

Дифракционная решетка

Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одно и то же рас­стояние щелей (рис. 6). Расстояние между серединами соседних щелей называется периодом решетки.

Рис. 6

Расположим параллельно решетке собирающую линзу, в фо­кальной плоскости которой поставим экран. Выясним характер ди­фракционной картины, получающейся на экране при падении на решетку плоской световой волны (для простоты будем считать, что волна падает на решетку нормально). Каждая из щелей даст на экране картину, описываемую кривой, изображенной на рис. 4. Картины от всех щелей придутся на одно и то же место экрана (независимо от положения щели, центральный максимум лежит против центра линзы). Если бы колебания, приходящие в точку от различных щелей, были некогерентными, результирующая картина от щелей отличалась бы от картины, создаваемой одной щелью, лишь тем, что все интенсивности возросли бы в раз. Однако, коле­бания от различных щелей являются в большей или меньшей сте­пени когерентными; поэтому результирующая интенсивность будет отлична от ( - интенсив­ность, создаваемая одной щелью).

В дальнейшем мы будем пред­полагать, что радиус когерентно­сти падающей волны намного пре­вышает длину решетки, так что колебания от всех щелей можно считать когерентными друг отно­сительно друга. В этом случае ре­зультирующее колебание в точ­ке , положение которойопределяется углом , представляет собой сумму колебаний с одинаковой амплитудой , сдвинутых друг относительно друга по фазе на одну и ту же величину . Согласно формуле (3) интенсивность при этих условиях равна

(4)

(в данном случае роль играет ).

Из рис.6 видно, что разность хода от соседних щелей равна . Следовательно, разность фаз

, (5)

где - длина волны в данной среде.

Подставив в формулу (4) выражение (3) для и (5) для , получим

(6)

( - интенсивность, создаваемая одной щелью против центра линзы).