|
|
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ(доц. Мельников Ю.П., доц. Шувалов В.В.) Как показал Г. Лоренц, использование классических представлений о строении вещества достаточно для качественного понимания многих оптических явлений. В частности, это относится и к дисперсии света, т.е. к зависимости показателя преломления вещества от длины волны излучения. При прохождении через вещество световой волны на каждый электрон, входящий в частицы вещества (молекулы или атома) действует дополнительная сила электрической природы
На основании второго закона Ньютона можно получить уравнение вынужденных колебаний электрона:
где т – масса электрона; Решение уравнения (2) состоит из суммы общего решения однородного уравнения (
где
Общее решение однородного уравнения дает значения, затухающие за время
Это тождество должно удовлетворяться в любой момент времени, поэтому должны быть равны отдельно коэффициенты при
Решаем эту систему, например, подставляя решения для А2 из второго уравнения в первое, получим выражения для А1 и А2:
Представим частное решение неоднородного уравнения (4) с помощью комплексных амплитуд, т.е. считаем, что
где Для А и
Из решения (8) с учетом формулы для А и Далее для упрощения вычислений положим
Электрон под действием падающей волны будет совершать колебательное движение:
В результате смещения электрона происходит разделение зарядов в молекуле и возникает единичный дипольный момент:
где Вектор поляризации вещества - это дипольный момент единицы объема вещества, который можно вычислить, умножив единичный дипольный момент на количество смещающихся электронов в единице объема:
Отсюда диэлектрическая проницаемость вещества равна:
Учитывая связь между
Через длину волны
Во второе слагаемое формулы (15), входит множитель размерности
которая называется плазменной или ленгмюровской частотой. Эта частота связана с собственными коллективными колебаниями электронов в веществе. Так удивительным образом оказывается, что величина, характеризующая коллективные движения электронов в плазме попадает в уравнение (16), выражающее зависимость показателя преломления от длины волны, хотя мы рассматривали колебательные движения электронов в атомах вещества. Этот результат можно объяснить тем, что колебания плазмы аналогичны поляризации диэлектрика. Теперь вернемся к формуле (16). Можно показать, что зависимость
Наша работа ставит своей целью подтвердить этот вывод теории и следует сказать, что аккуратно поставленный эксперимент дает возможность это сделать.
ТАБЛИЦА
12 |
|
. (1)
, (2)
– коэффициент затухания колебаний; 
– частота собственных колебаний электрона в молекуле (атоме).
), которое запишется
, (3)
, и частного решения неоднородного уравнения (2):
. (4)
, которое очень мало. Таким образом, стационарное решение уравнения (2) должно включать только незатухающие частные решения (4). Подставляя частное решение (4) в уравнение (2) получим тождество:
(5)
и 
в левой и правой частях тождества (5). Отсюда получим систему уравнений для А1 и А2:
(6)
(7)
и 
. Тогда частное решение уравнения (2) можно записать в виде
, (8)
– суммарная амплитуда, а 
– дополнительная фаза, возникающая при наличии затухания.
, используя формулы (7), получим:
.
, а фаза колебаний зависит от знака разности ( 
. Так как смещение электронов приводит к поляризации диэлектрика, то от фазы колебания электронов зависит и поляризация диэлектрика.
, при этом изменение фазы колебания вблизи резонансной частоты 
будет создаваться изменением знака амплитуды А. Получим:
. (10)
. (11)
, (12)
– электрическое поле электромагнитной волны. Далее считаем, что 
.
. (13)
; (14)
и показателем преломления п, 
, получим:
. (15)
это выражение для п2 можно записать в виде:
. (16)
, который дает важную характеристику вещества:
, (17)
в области нормальной дисперсии (длина волны излучения 
достаточно далеко от характеристической длины волны, введенной по определению 
) может быть приближенно выражена формулой:
.