Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Оценка погрешностей результата вычислений

 

Оценить абсолютную и относительную погрешности результатов вычисления выражений ( V, S, Y ), если известны оценки абсолютных погрешностей измерения участвующих в выражениях величин:

 

  №  

 

 

2. Методы решения нелинейных уравнений

2.1.Общие сведения

Мы рассмотрим здесь лишь некоторые наиболее используемые методы решения нелинейных уравнений. Эти методы относятся к итерационным методам, т.е. методам получения последовательности точек , которая сходится к решению уравнения .

При этом итерационный процесс останавливается тогда, когда достигается заданная точность полученного результата. Говоря о точности, можно требовать получения такого приближения корня уравнения, что модуль значения функции отличается от нуля не больше, чем на заданную малую величину , т.е. .

А можно требовать локализации самого корня уравнения на отрезке так, чтобы ошибка определения корня была не больше , т.е. остановка будет производиться при нахождении такого отрезка , содержащего корень, что длина его будет не больше . Тогда, взяв в качестве корня середину этого отрезка, можно быть уверенным, что истинный корень уравнения отличается от найденного не больше, чем на , т.е. .



 

2.1.1. Метод хорд

 

Этим методом можно пользоваться в том случае, если функция непрерывна в некоторой окрестности корня уравнения.

Для начала ищется отрезок в этой окрестности, который содержал бы только один искомый корень уравнения, а значения функции на концах его были бы разных знаков. Так как функция непрерывна на этом отрезке, то ее график обязательно где-то внутри этого отрезка пересечет ось абсцисс. Эту точку х пересечения графика функции с осью ОХ, являющуюся корнем уравнения, и нужно найти.

Затем строится хорда, соединяющая точки графика функции, отвечающие концам имеющегося отрезка. Вычисляется точка пересечения этой хорды с осью ОХ. Назовем эту точку х1. Затем определяется, на каком из отрезков или лежит корень уравнения. Если , то корень лежит на отрезке и становится правым концом нового (уже меньшего) отрезка локализации корня, а – левым концом этого отрезка. При этом производят переименование и .

Если , то корень – на отрезке и становится левым концом нового отрезка локализации корня, а – правым концом этого отрезка, т.е. и .

Теперь имеется уже новый отрезок локализации корня. С ним проделывается та же процедура построения хорды и поиска точки ее пересечения с осью ОХ – точки . Остановка производится при нахождении такого приближения , что .

 

 
 

Этот процесс можно увидеть на рис.1.

Рис.1

 

Формула для получения точки пересечения хорды с осью ОХ на каждом шаге имеет следующий вид:

. Часто вместо этого метода используют метод деления пополам, где очередное приближение находят по формуле . При этом отрезок локализации по длине можно сжать до какого угодно наперед заданного значения. Поэтому остановка процесса может быть произведена при выполнении условия .

 

2.1.2. Метод касательных Ньютона

 

Этот метод можно использовать в случае выполнения следующих требований к функции :

1) На найденном отрезке локализации корня должна иметь единственный корень и значения функции на концах этого отрезка должны быть разных знаков, т.е. .

2) должна иметь непрерывную вторую производную на этом отрезке.

3) Кроме того, на отрезке вторая производная функции

должна сохранять свой знак.

Тогда в качестве начального приближения корня выбирается по следующему правилу:

Затем в точке с абсциссой строится касательная к графику функции . Точка пересечения этой касательной с осью ОХ берется в качестве следующего приближения корня . И так процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута нужная точность .

Если достаточно получить точку, в которой не превышает по модулю заданное число , то производят остановку при выполнении этого условия.

Если же надо получить приближение корня, отстоящее от истинного его значения не более чем на , то процесс останавливают тогда, когда выполняется следующее условие:

, где

 

и

 
 

Процесс можно увидеть на рис.2.

Рис.2

Формула для вычисления точки пересечения касательной с осью ОХ имеет следующий вид:

 

2.1.3. Пример 1

Вычислим с помощью метода хорд корень уравнения с точностью . Под точностью будем понимать отклонение модуля функции от нулевого значения.

Выберем в качестве левой границы отрезка . При этом . В качестве правой границы можно взять . При этом . Выполняется необходимое условие .

Найдем первое приближение корня

Найдем значение функции в этой точке

Проверим, не надо ли прекратить вычисления:

, значит, точность еще не достигнута.

Т.к. , следующим отрезком будет .

Найдем второе приближение корня

Найдем значение функции в этой точке

.

, поэтому продолжаем вычисления.

Т.к. , следующим отрезком будет

. И т.д. до достижения заданной точности.

 

2.1.4. Пример 2

 

Вычислим с помощью метода Ньютона корень уравнения с точностью .

Под точностью будем понимать отклонение модуля функции от нулевого значения.

Выберем в качестве левой границы отрезка . Значение функции в этой точке равно . В качестве правой границы можно взять . Значение функции в этой точке равно . А значит, выполняется необходимое условие применения метода .

Кроме этого выполняется требование непрерывности второй производной функции: – непрерывная функция.

А также на выбранном отрезке вторая производная функции не меняет знак. Действительно, больше нуля на всем отрезке .

Выберем в качестве первого приближения , т.к. .

Найдем второе приближение корня

Значение функции в этой точке равно

поэтому продолжаем и ищем третье приближение корня

Значение функции в этой точке равно

поэтому продолжаем и ищем четвертое приближение корня

Значение функции в этой точке равно

.И так далее до достижения точности.

 

2.2. Лабораторная работа №2

Решение нелинейного уравнения методом хорд

 

2.2.1. Задача №1

 

Воспользовавшись методом хорд для нахождения корня нелинейного уравнения, вычислить коэффициент гидравлического сопротивления при течении жидкости в трубопроводе с относительной шероховатостью внутренней стенки для заданного числа Рейнольдса Re.

Универсальный закон сопротивления для развитого турбулентного течения имеет вид:

 

Данные по вариантам:

 

№ варианта шероховатость число Рейнольдса Re

 

2.2.2. Задача №2

 

Воспользовавшись методом хорд для нахождения корня нелинейного уравнения, вычислить расход дизельного топлива Q( ) плотностью и кинематической вязкостью при перекачке по участку трубопровода длиной L= 125 км, диаметром d = 514 мм и с шероховатостью внутренней стенки = 0.0005, если насосная станция работает с двумя последовательно включенными насосными агрегатами.

Уравнение баланса напоров для участка трубопровода имеет вид:

,

 

где и – подпор перед станцией и напор в конце участка соответственно;

a и b – коэффициенты, определяемые типом и количеством насосов;

и – высотные отметки сечений трубопровода в начале и в конце участка.

 

Данные по вариантам:

 

№ вар. , м , м a, м b, , м , м

 

2.2.3. Задача №3

 

Состояние реального газа может быть описано уравнением Ван-дер-Ваальса:

, где

,

,

R – универсальная газовая постоянная,

T – температура газа,

Pcкритическое давление,

Tcкритическая температура,

V – молярный объем газа.

 

Воспользовавшись методом деления пополам для нахождения корня нелинейного уравнения, найти молярный объем данного газа V при заданных значениях давления P итемпературы T.

Величины критических параметров Pc и Tc отдельных газов приведены с следующей таблице:

 

газ метан этан пропан n-бутан i-бутан n-пентан
190,55 305,43 369,82 408,13 425,16 469,65
4,695 4,976 4,333 3,871 3,719 3,435

 

Газ i-пентан n-гексан
460,39 507,35
3,448 3,072

 

Задания по вариантам:

 

№ вар.
Газ Метан этан пропан n-бутан i-бутан n-пентан
Т, К
Р, МПа 2,200 3,700 1,570 1,800 1,250 2,400
№ вар.
газ i-пентан n-гексан метан этан n-бутан пропан
Т, К
Р, МПа 2,250 2,500 1,750 2,370 1,600 1,590
                     

 

 

2.3. Лабораторная работа №3






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2017 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.