Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона

Решить систему методом Ньютона, предварительно отделив корни графически:

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.
16.	17.	18.
19.	20.	21.
22.	23.	24.

5. Интерполяция и аппроксимация функции

5.1. Основные определения

Пусть величина y является функцией аргумента x, но вид аналитической зависимости неизвестен, а имеется табличное задание этой функции в точках , т.е. значения . Требуется построить функцию , которая мало отличалась бы от , и по которой можно было бы примерно оценить значения при . Для решения такой проблемы используют два подхода:

1). Построение функции , являющейся интерполяционным многочленом степени и обладающей тем свойством, что значения ее в точках совпадают со значениями f(x) в этих же точках.

2). Построение функции , аппроксимирующей данную функцию f(x) и являющейся многочленом степени вида , коэффициенты которого определяются из условия минимизации суммы квадратов отклонений (метод наименьших квадратов) в точках значений многочлена от соответственно, т.е. путем решения задачи: . Рассмотрим оба подхода подробнее.

5.1.1. Интерполяция функции

Имеются различные формулы для построения интерполяционного многочлена: формулы Лагранжа, Ньютона, Гаусса. Мы рассмотрим только интерполяционный многочлен Лагранжа. Он имеет вид:

.

Можно для лучшего понимания записать его в следующем виде: , где .

При этом легко заметить , что каждый многочлен обладает тем свойством, что он обращается в ноль при всех табличных значениях аргумента кроме . А при его значение равно единице. При этом полученный интерполяционный многочлен обладает необходимым свойством: его значения в точках совпадают со значениями функции f(x) в этих же точках. Можно также заметить, что степень его на единицу меньше количества табличных значений функции.

5.1.2. Аппроксимация функции

Для аппроксимации функции сначала необходимо выбрать степень аппроксимирующего многочлена, т.е. среди многочленов разной степени выбрать тот, который лучше отражает поведение заданной таблично функции. А затем с помощью метода наименьших квадратов определить параметры аппроксимирующего многочлена, минимизирующие функционал .

Для их поиска дифференцируют функционал S частным образом по и приравнивают нулю эти частные производные . Тем самым получают систему линейных уравнений, содержащую но линейное уравнение, зависящее от го неизвестного параметра .

Продифференцируем S по параметрам:

…………………………………………………

Теперь, приравнивая эти производные нулю и перенося свободные константы в уравнениях в правую часть их, получим:

Решая эту систему линейных уравнений, находим значения параметров.

5.1.3. Пример 1

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для следующей заданной таблично функции :

Если имеется пять значений функции в заданных точках, то интерполяционный многочлен мы получим четвертой степени, имеющим вид: , где сами являются так же многочленами четвертой степени от x. Вот как они получаются:

Сам интерполяционный многочлен имеет вид:

5.1.4. Пример 2

Найти с помощью метода наименьших квадратов аппроксимирующий многочлен для следующей таблично заданной функции , приняв предположение, что является линейной:

Т.к. исходная функция предполагается линейной, то в качестве аппроксимирующего многочлена выберем многочлен первой степени вида:

.

Тогда . Система линейных уравнений для поиска параметров будет иметь следующий вид:

,

где значения коэффициентов при неизвестных параметрах равны:

Получаем систему , решая которую методом Гаусса получаем .

Следовательно, функция, аппроксимирующая заданную табличную функцию , имеет вид: .

5.1.5. Пример 3

Найти с помощью метода наименьших квадратов аппроксимирующий многочлен для той же таблично заданной функции, что и в предыдущем примере, но, приняв предположение, что зависимость является квадратичной.

Т.к. исходная функция предполагается квадратичной, то в качестве аппроксимирующего многочлена выберем многочлен второй степени вида:

.

Тогда и система линейных уравнений для поиска параметров будет иметь следующий вид:

,

где значения коэффициентов при неизвестных параметрах равны:

Система уравнений запишется в виде:

Решение этой системы методом Гаусса даст следующие значения параметров: .

Следовательно, аппроксимирующая функция имеет вид .

5.2. Лабораторная работа № 7