Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Построение интерполяционного многочлена Лагранжа

 

5.3.1. Задача №1

 

Построить многочлен Лагранжа, интерполирующий профиль высот на участке нефтепровода.

Данные по вариантам:

1.

180.1 180.2 180.3 180.4
56.2 54.2 54.9 53.2 53.5

2.

180.6 180.7 180.8 180.9
55.6 54.2 57.1 56.0 54.3

3.

181.1 181.2 181.3 181.4 181.5
52.3 53.4 53.0 53.9 55.7

 

4.

181.6 181.7 181.8 181.9
57.0 56.8 57.0 55.1 54.5

5.

182.1 182.2 182.3 182.4 182.5
53.6 50.0 55.5 55.3 60.7

6.

182.6 182.7 182.8 182.9
62.2 64.4 65.0 64.0 65.2

7.

183.1 183.2 183.3 183.4 183.5
63.6 65.0 66.2 62.1 58.0

8.

183.6 183.7 183.8 183.9
61.2 61.5 63.5 62.1

9.

184.1 184.2 184.3 184.4 184.5
64.4 66.2 63.5 65.4 62.4

10.

184.6 184.7 184.8 184.9
65.7 67.2 66.5 63.0 63.2

11.

181.2 181.3 181.4 181.5 181.6
52.3 54.8 53.0 53.1 55.7

 

12.

184.1 184.2 184.3 184.4 184.5
55.3 53.4 53.0 53.4 55.5

13.

185.1 185.2 185.3 185.4 185.5
62.4 63.1 63.0 58.9 59.0

14.

185.5 185.6 185.7 185.8 185.9
61.2 61.5 63.5 62.1

15.

186.6 186.7 186.8 186.9
62.2 64.4 65.0 64.0 65.2

16.

187.1 187.2 187.3 187.4
56.2 54.2 54.9 53.2 53.5

17.

187.1 187.2 187.3 187.4 187.5
52.3 53.4 53.0 53.9 55.7

18.

187.6 187.7 187.8 187.9
63.6 65.0 66.2 62.1 58.0

19.

188.0 188.1 188.2 188.3 188.4
61.2 61.5 63.5 62.1

 

20.

188.6 188.7 188.8 188.9
64.4 66.2 63.5 65.4 62.4

21.

189.6 189.7 189.8 189.9
55.6 54.2 57.1 56.0 54.3

22.

190.1 190.2 190.3 190.4 190.5
63.6 65.0 66.2 62.1 58.0

23.

190.6 190.7 190.8 190.9
57.0 56.8 57.0 55.1 54.5

24.

191.1 191.2 191.3 191.4 191.5
64.4 66.2 63.5 65.4 62.4

 



5.3.2. Задача №2

 

Известно, что использование кислот соляной и кремнефтористоводородной , благодаря растворению терригенных коллекторов, углубляет и развивает сеть каналов. Но одновременно и ограничивает приток пластовых вод к скважине за счет закупорки фильтрационных каналов в водоносном пласте осадками кремнефторидов.

Проблемы поиска оптимального режима обработки призабойной зоны с целью снижения пластовых потерь нефти приводят к необходимости исследования зависимости количества выпадающего осадка от свойств пластовой воды.

В таблице приведены результаты эксперимента по смешиванию пластовой воды при температуре с кремнефтористоводородной кислотой с последующей фильтрацией полученого раствора.

 

плотность пласт. воды, 1.05 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17
содержание осадка, % (весовое) 8.4 14.2 14.4 15.4 19.7 20.6 22.6

 

Необходимо построить зависимость процентного содержания осадка, получающегося при смешивании пластовой воды с кислотой , от плотности пластовой воды. Для построения зависимости воспользоваться многочленом Лагранжа.

 

5.3.3. Задача №3

 

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для зависимости растворимости кварцевого песка в смеси двух кислот (20 % - ной кислоты и кислоты ) от процентного содержания кислоты в смеси.

Данные измерений для отдельных смесей приведены в таблице. Они были получены при температуре для грамм песка и при объеме кислотного раствора .

 

состав раствора 20 % +0 % 20 % +5 % 20 % +10 % 20 % +15 %
раствори-мость песка, г/л   12.04   31.85   33.9   37.8

 

6. Численное интегрирование

6.1. Основные определения

Методы численного интегрирования используются в тех случаях, когда необходимо найти значение определенного интеграла вида , но аналитически посчитать его значение не представляется возможным из-за сложного вида подынтегральной функции. Известно, что значение определенного интеграла равно , где значения первообразной для подынтегральной функции в точках соответственно. Например, . Но далеко не для всякой функции легко указать , как это сделано в примере. Тогда прибегают к численному интегрированию.

Есть еще, правда, способ подсчета значения интеграла путем предварительного представления подынтегральной функции в виде степенного ряда Тейлора и последующего интегрирования многочлена, представляющего несколько первых членов этого ряда. Но этот способ мы здесь рассматривать не будем. А рассмотрим находящие наибольшее применение методы численного интегрирования.

Вспомним некоторые понятия, необходимые для дальнейшего изложения.

Пусть на отрезке задана функция . С помощью точек разобьем отрезок на отрезков ( ), причем . На каждом из этих отрезков выберем произвольную точку и найдем произведение значения функции в этой точке на длину отрезка :

.

Составим сумму таких произведений:

Сумма называется интегральной суммой. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа точек разбиения и стремлении к нулю длины наибольшего отрезка разбиения:

 
 

Известно, если непрерывна на отрезке , то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек .

Рис. 1

Геометрический смысл введенных понятий для случая 0 проиллюстрирован на рисунке 1. Величины представляют из себя площади прямоугольников, отмеченных пунктирной линией, а сама интегральная сумма – площадь ступенчатой фигуры, образуемой этими прямоугольниками. При стремлении же к нулю длин отрезков разбиения площадь этой ступенчатой фигуры стремится к площади фигуры, заключенной под кривой . Это и есть значение интеграла.

Используют следующие методы численного интегрирования.

 

6.1.1. Метод прямоугольников.

 

В этом методе непосредственно заменяют значение определенного интеграла интегральной суммой, разбивая обычно отрезок интегрирования на равных по длине отрезков. Тогда , являющуюся длиной отрезка разбиения, называют шагом разбиения. В качестве могут выбираться левые ( ) или правые ( ) границы отрезков разбиения или их середины ( ). Получают следующие формулы метода прямоугольников, отвечающие этим трем способам выбора точек :

а) Формула левых прямоугольников

б) Формула правых прямоугольников

в) Формула средних прямоугольников

Главные члены погрешностей этих формул равны соответственно:

 

6.1.2. Метод трапеций

В этом методе применяют линейную интерполяцию интегрируемой функции, т.е. график функции представляют в виде ломаной, соединяющей точки . В этом случае площадь под кривой на каждом отрезке разбиения заменяется площадью под прямой, которая равна площади прямоугольной трапеции с высотой и основаниями , т.е. . Получается формула трапеций

,

 
 

где .

Рис. 2

Главный член погрешности этой формулы равен:

.

 

6.1.3. Метод Симпсона

 

В этом методе отрезок интегрирования разбивается на четное число равных частей с шагом . На каждом отрезке подынтегральная функция заменяется интерполяционным многочленом второй степени:

В качестве можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, график которого проходит через точки , где .

В этом случае площадь под кривой на каждом отрезке заменяется площадью под параболой, а эту площадь легко посчитать, т.к. первообразная квадратичной функции известна:

 
 

для ее первообразной будет .

Рис. 3

Сумма же этих площадей дает нам приближенное значение интеграла. Формула метода Симпсона имеет вид:

Главный член погрешности этой формулы равен:

.

Надо упомянуть об одном практическом аспекте в вычислении интегралов. Обычно требуется вычислить интеграл с заданной точность , т.е. получить такое приближенное значение его , чтобы выполнялось .

Удовлетворить этому требованию можно, либо выбрав число разбиения отрезка интегрирования так, чтобы главный член погрешности по модулю был меньше , либо воспользовавшись следующим приемом.

Посчитать значение интеграла для некоторого . Затем сделать такие же расчеты для . Затем сравнить полученные результаты. Если окажется, что , то считать точность достигнутой и принять . Если же условие не выполняется, то вновь удвоить число разбиений отрезка и сравнить два последних приближения так, как это было предложено выше. Закончить процесс при выполнении указанного условия и последнее принять за искомое значение интеграла.

Этим приемом часто пользуются на практике, если трудно бывает оценить главный член погрешности.

 

6.1.4. Пример 1

 

Вычислим по методу левых прямоугольников интеграл с точностью .

Разобьем отрезок на 10 частей. Следовательно . Воспользуемся формулой:

.

Тогда

Теперь проделаем аналогичные расчеты для . Получим

И сравним модуль разности полученных результатов с заданной точность: . Принимаем за значение интеграла последнее полученное значение, т.е. .

 

6.1.5. Пример 2

Вычислим по методу трапеций интеграл с точностью

Разобьем отрезок на 10 частей: . Воспользуемся формулой:

.

Тогда

Теперь проделаем аналогичные расчеты для . Получим

И сравним модуль разности полученных результатов с заданной точность: . Принимаем за значение интеграла последнее полученное значение, т.е. .

 

6.1.6. Пример 3

Вычислить по методу Симпсона интеграл с точностью . Разобьем отрезок на 10 частей: . Воспользуемся формулой:

Тогда

Теперь проделаем аналогичные расчеты для . Получим

И сравним модуль разности полученных результатов с заданной точность: . Принимаем за значение интеграла последнее полученное значение, т.е. .

 

6.2. Лабораторная работа №9






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2017 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.