Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Свойства сходящихся числовых рядов.

1) Если ряд сходится и имеет сумму S, то ряд сходится и имеет сумму CS.

2) Если ряды и сходятся и имеют суммы и соответственно, то сходятся и ряды и имеют суммы .

3) Добавление и отбрасывание конечного числа слагаемых не влияет на характер сходимости ряда.

Знакоположительные ряды. Необходимый признак сходимости.

Теорема. Если ряд сходится, то .

Обратное утверждение неверно: если , то ряд может и сходиться и расходиться.

Следствие (достаточный признак расходимости ряда):

Если , то ряд расходится.

Примеры.

1) – ряд расходится.

2) – ничего нельзя сказать о характере сходимости ряда. Нужны дополнительные исследования с помощью других признаков.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

1 Признак сравнения.

Даны два знакоположительных ряда и . Пусть, начиная с некоторого n, может быть и с n=1, выполняется , тогда:

а) если сходится, то сходится и ;

б) если расходится, то расходится и .

Следствие: если существует , конечное число, то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Для использования этого признака удобно выбирать ряд, составленный из членов геометрической прогрессии , который сходится при и расходится при , а также обобщенный гармонический ряд , который сходится при и расходится при .

2 Признак Даламбера.

Пусть и существует . Тогда при q<1 ряд сходится, при q>1 – расходится, при q=1 – сомнительный случай (нужно исследовать с помощью других признаков).

3 Радикальный признак Коши.

Пусть и существует . Тогда при p<1 ряд сходится, при p>1 – расходится, при p=1 – сомнительный случай.

4 Интегральный признак Коши.

Дан знакоположительный ряд (1)

Пусть – непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция, определенная при и такова, что члены ряда являются значениями функции при , т. е. , , …, ,…, тогда ряд (1) и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.



План исследования знакоположительных рядов

1. Находим . Если , то ряд расходится, исследование закончено.

2. Если , применяем один (подходящий) из достаточных признаков сходимости.

3. Делаем вывод о сходимости ряда.

Примеры.

1)

Напоминаем, что

; 0!=1;

.

– ряд, расходящийся по признаку Даламбера.

2) – ряд сходится по радикальному признаку Коши.

3) сравним с – сходящимся (как обобщенный гармонический при k>1). Используем следствие из признака сравнения: – конечное, не равное нулю число, тогда ряды ведут себя одинаково, т. е. сходятся.

Знакопеременные ряды

Это ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены. Частным случаем таких рядов являются знакочередующиеся ряды: ряды, в которых за каждым положительным членом следует отрицательный и за каждым отрицательным членом следует положительный:

или

.

Признак Лейбница.

Если в знакочередующемся ряде

1) абсолютные величины членов ряда убывают ;

2) ,

то знакочередующийся ряд сходится и его сумма не превосходит модуля первого члена.

Следствие. Пусть знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. Если сумму этого ряда заменить суммой n первых членов, то погрешность, допускаемая при этом не превосходит модуля первого отброшенного члена.

Рассмотрим знакочередующийся ряд и ряд, составленный из абсолютных его величин. Если ряд, составленный из абсолютных величин, сходится, то знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся рядом. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин, расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.

Пример. Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд.

Это знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница.

1) ;

2) . => ряд сходится по признаку Лейбница.

Исследуем ряд на условную и абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда.

– это обобщенный гармонический ряд, он сходится, так как k=3>1, тогда знакочередующийся ряд является абсолютно сходящимся рядом.

Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида:

,

где – постоянные величины, коэффициенты ряда, число a – центр ряда.

При a=0 имеем

(1)

При степенной ряд (1) принимает вид

(2)

Это уже числовой ряд. он может сходиться или расходиться.

Если ряд (2) сходится, то точка сходимости степенного ряда (1). Если ряд (2) расходится, то точка расходимости. Совокупность точек сходимости называется областью сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля. Для любого степенного ряда (1) существует интервал , внутри которого ряд сходится абсолютно, вне его расходится, а на границах может иметь различный характер сходимости.

– радиус интервала сходимости.

– интервал сходимости.

Если R=0, то точка x=0 – единственная точка сходимости.

Если R=¥, то ряд сходится на всей числовой оси.

Пример.

1) Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала.

.

Тогда (-5; 5) – интервал, внутри которого ряд сходится абсолютно. Исследуем характер сходимости ряда на границах.

1) x=–5, тогда степенной ряд примет вид

.

Это знакочередующийся ряд. Для него применим признак Лейбница:

1)

– не выполнено первое условие признака Лейбница, тогда ряд

расходится, точка – точка расходимости.

2) x=5; – ряд расходится по следствию из необходимого признака, тогда x=5 – точка расходимости.

(-5; 5) – область сходимости данного степенного ряда.

2)

.

– интервал сходимости данного степенного ряда. Исследуем на границах:

1) , тогда степенной ряд примет вид:

– это знакочередующийся ряд. Проверим два условия:

1) ;

2) , тогда ряд сходится по признаку Лейбница, точка – есть точка сходимости первоначального степенного ряда, она входит в область сходимости.

2) . Сравним этот ряд с гармоническим , который, как известно, расходится.

– конечное число, тогда по следствию из признака сравнения ряды ведут себя одинаково, т. е. оба расходятся, поэтому точка – точка расходимости начального степенного ряда.

– область сходимости степенного ряда.

Теория вероятностей






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2017 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.