II. Генезис «конкретных» операций

Операции, такие как объединение двух классов (отцы, объединенные с матерями, являются родителями) или сложение двух чисел, суть действия, выбранные среди самых общих (действия соединения, упорядочения и т. д. включаются во все координации частных действий), интериори-зируемые и обратимые (объединению соответствует разделение, сложению — вычитание и т. д.). Они не обязательно свойственны тому или иному индивидууму одного ментального уровня и принимают участие не только в частных рассуждениях, но и в когнитивных обменах, поскольку последние также объединяют части информации, устанавливают их отношения или соответствия, вводят взаимную связь и т. д., а это есть операции, изоморфные тем, которыми пользуется каждый индивидуум для себя.

Операции состоят также в обратимых трансформациях, которые могут быть инверсиями (А - А = О) или соответствиями (А соответствует В и наоборот). Обратимая трансформация не модифицируется сразу, иначе она была бы безвозвратной. Операциональная трансформация всегда соотносится с инвариантом, а этот инвариант системы трансформаций представляет собой то, что мы до сих пор называли понятием или схемой сохранения (гл. 1, § 2; гл. 2, § 4 и т. д.): так, схема постоянного объекта — это инвариант практической группы перемещений и т. д. Понятияконсервации могут служить психологическими указателями окончания операциональной структуры.

1. Понятия консервации.Наряду с вышесказанным, самым явным указателем существования предоперацио-нального периода, соответствующего второму из уровней, выявленных в главе 4, § 1, является отсутствие понятий консервации в возрасте до 7-8 лет. Пересмотрим в этом отношении опыт с сохранением объема жидкости¹ при переливании из стакана А в более тонкий стакан В или в более широкий стакан С. Особо замечательны два факта в обычных для детей 4-6 лет реакциях, согласно которым количество жидкости увеличивается или уменьшается. Первый заключается в том, что дети размышляют только о состояниях или конфигурациях, пренебрегая трансформациями: уровень воды в В выше, чем в А, значит, возросло ее количество, независимо от того обстоятельства, что это одна и та же вода, которую лишь перелили, и т. д. Второй факт — трансформация, несмотря на то что ее не игнорируют, не рассматривается как таковая, т. е. как обратимый переход из одного состояния в другое, преобразующий формы, но оставляющий неизменным (инвариантным) качество: она ассимилирована с непосредственным действием — «налить», расположенным на ином плане, нежели план физических явлений и являющимся источником невычислимых результатов в прямом смысле, т. е. невыводимых в их внешнем применении. Напротив, на уровне конкретных операций, т. е. с 7 или 8 лет, ребенок скажет: «это та же вода», «просто налили», «ничего не убрали и не добавили» (простые или аддитивные тождества); «можно перелить обратно (из В в А), как это было раньше» (обратимость через

¹J. Piaget et A. Szeminska, La genese du nombre chez V enfant, Delachaux & Niestle', 1941.

инверсию); и особо — «этот более высок, но более тонок, поэтому столько же» (компенсация или обратимость через соответствие отношений). Другими словами, отныне состояния подчинены трансформациям, а они, будучи децентри-рованы от собственного действия, чтобы стать возвратными, свидетельствуют одновременно о модификациях в их компенсированных вариациях и о причастном к ним через обратимость инварианте.

Эти факты могут служить примерами общей схемы усвоения всякого понятия консервации, начиная от пред-операциональных реакций не-сохранения. Идет ли речь о деформациях глиняного шарика¹, в которых ребенок к 7-8 годам откроет сохранение субстанции, к 9-10 годам — веса, а к 11-12 годам — объема (измеренного у перелитой воды при погружении объекта), или о сохранении длин (прямая линия сравнивается с равной ей сначала прямой, затем — изломанной; два прямых равных стержня, один из которых затем смещается по отношению к другому), о сохранении рядов после изменения пространственных положений и т. д., мы всегда находим на предоперациональных уровнях реакции, сцентрированные одновременно на перцептивных или образных конфигурациях, за которыми следуют на операциональных уровнях реакции, основанные на тождестве и на обратимости через инверсию или через взаимность².

¹ J. Piaget et В. Inhelder, Le developpement des quantitesphysiques chez V enfant, Delachaux & Niestle, 1941 u 1962.

² Эти результаты, подтвержденные многими авторами в разных странах, были получены нами в результате расспросов, преимущественно качественных и относящихся к статистической проверке. Один из нас снова использовал эти вопросы, «продольным» методом исследуя тех же детей через повторяющиеся промежутки времени, что позволило, с одной стороны, показать, что речь действительно идет о «естественном» и очень2. Конкретные операции. Действующие в этом роде задач операции можно назвать «конкретными» в том смысле, что они относятся прямо к предметам, а еще не к вербально выраженным гипотезам, как это будет в случае пропозициональных операций, которые мы рассмотрим в главе 5; конкретные операции есть, таким образом, переход между действием и более общими логическими структурами, содержащим комбинаторику и структуру «группы», координирующие обе возможные формы обратимости. Эти зарождающиеся операции координируются в комплексные структуры, но более бедные и действующие постепенно за неимением обобщенных комбинаций. К этим структурам относятся, например, классификации, расположения в серии, соответствия почленные или один к многим, матрицы или таблицы с двумя графами и т. д. Свойство структур, которые мы называем «группировками», состоит в том, чтобы образовывать прогрессивные сцепления, содержащие композиции из прямых операций (например, класс А, соединенный со своим дополнением А', дает полный класс В\ затем В + В¹ - С и т. д.), обратных^ -А' = Л), идентичных (+А - А = О),тавтологиче-

последовательном процессе (без возвратов к пройденным этапам) и, с другой стороны, проверить, что три рода аргументов, используемых для подтверждения сохранений, являются независимыми: идентичность, например, необязательно предшествует обратимости, но проистекает изнее эксплицитно или имплицитно. Впрочем, некоторые эксперименты проводились, чтобы проанализировать факторы, участвующие в открытии консервации: осуществление основных механизмов обратимости, идентичности и компенсации, последовательность стратегий от самых простых до самых сложных и т. д. В этих случаях мы наблюдает действие регуляций (с петлями или обратными связями), совершающих переход посредством операции, но без того, чтобы краткосрочные навыки были достаточны для производства оперативных структур, а также для достижения своей завершенности в форме полных закрытий, делающих возможным чисто дедуктивное управление.

ских (А + А = А) и частично ассоциативных: (А + А') + В' = -А + (А'+В'),но(А + А)-А*А + (А -А).

На разных предоперациональных уровнях можно выявить последовательные «наброски» того, чем станут аддитивные и умножающие «группировки» классов и отношений,¹ как только будет полностью достигнута обратимая подвижность и, следовательно, возможность когерентной дедуктивной композиции (свертки), непрерывно замыкающейся на самой себе, несмотря на бесконечное расширение системы.

3. Распределение в серии. Хороший пример этого процесса построения — распределение в серии, состоящее в упорядочении элементов согласно возрастающим или уменьшающимся величинам. Существуют сенсомоторные наброски этой операции, когда ребенок в возрасте от 1,5 до 2 лет строит, например, башню из кубиков, разницу размеров которых можно легко заметить. Когда впоследствии субъектам дают десять маленьких линеек, с виду мало отличающихся друг от друга, и просят сравнить их попарно, наблюдаются следующие этапы действия: сначала создаются пары или маленькие ряды (маленькая, большая и т. д.), не скоординированные между собой; затем построение осуществляется посредством эмпирических ощупываний, которые представляют собой полуобратимые, но еще не операциональные регулирования; наконец, используется систематический метод, состоящий в поиске посредством

¹ С логической точки зрения, «группирование» есть комплексная структура с ограниченными композициями (со смежностью или постепенной композицией), родственная «группе», но без полной ассоциативности (ср. «группоид»), и соседствующая с «сетью» в виде лишь полурешетки. Его логическая структура была определена Ж.-Б. Гризом (Etudes d'episte-mologie genetique, vol. X!) и Ж.-Ж. Гранже (Logique et analyse, 8^е annee, 1965).попарных сравнений сначала самого маленького элемента, затем самого маленького из тех, что остаются, и т. д. В этом случае метод операционален, т. к. некий элемент Е заранее понимается как одновременно больший, нежели предыдущие (Е>Д, С, В, А), и меньший, нежели следующие (Е < F, G и т. д.), что будет формой обратимости через взаимность. В момент, когда структура достигает своего завершения, появляется ранее неизвестный способ дедуктивной композиции: переходность А < С, если А < В и В < С (предоставляя перцептивно сравнить А и В, затем В и С, ко потом пряча Д чтобы заставить вывести его отношение с С, от чего отказываются предоперациональные субъекты).

Из этой операциональной разбивки на серии, усвоенной к 7 годам, проистекают серийные соответствия (установить соответствие между фигурками разного роста, различными палками и рюкзаками, которые тоже можно расположить в серии) или разбивки на серии с двумя измерениями (расположить в таблице с двумя графами листья дерева, отличающиеся одновременно величиной и оттенками). Эти системы также усваиваются с 7 или 8 лет.

4. Классификация. Классификация также является основополагающей операцией, корни которой можно обнаружить уже в ассимиляциях, свойственных сенсомоторным схемам. Когда детям в возрасте от 3 до 12 лет предлагают классифицировать предметы («сложить вместе похожие» и т. д.), в их действиях наблюдаются три этапа¹. Самые юные начинают с «фигурных коллекций», т. е. располагают объекты не только в соответствии с их индивидуальным сходством и различием, но пространственно помещая их в ряды, квадраты, круги и т. д. так, что эта коллекция сама

¹ В. Inhelder et J. Piaget, La genese des structures logiques elementaires chez I'enfant, Delachaux &Niestle, 1959.

становится фигурой в пространстве, служащей перцептивным или образным выражением класса (на самом деле сен-сомоторная ассимиляция, которой известно «понимание», не содержит «расширения» с точки зрения субъекта). Второй этап — этап нефигуральных коллекций: маленькие наборы без пространственной формы, которые сами могут дифференцироваться в поднаборы. Такая классификация кажется рациональной (с 5,5-6 лет), но в результате анализа выявляются пробелы в «расширении»: например, для набора В, состоящего из двенадцати распустившихся цветков, существует поднабор А из шести бутонов, ребенка просят показать один за другим цветы В и бутоны Л, он отвечает правильно, т. к. может указать весь набор В и часть А, но если его спрашивают: «Здесь больше цветов или бутонов?», ему не удается ответить соответственно отношению А<В, потому что если он думает о части А, весь набор В перестает сохраняться как единство, а часть А может быть сравнима только со своим дополнением А' (он ответит «то же самое» или, при наличии шести бутонов, скажет, что их больше). Это вхождение классов в расширение удается освоить к 8 годам, именно оно и характеризует операциональную классификацию¹.

5. Число. Построение целых чисел осуществляется ребенком в тесной связи с построением разбивок на серии

¹ С ней связаны двойные классификации (стол с двумя ящиками или матрица), появляющиеся на том же уровне: например, классифицировать квадраты или круги, красные или белые, в четыре ящика, сгруппированные по двум измерениям и т. д. Эти структуры использовали как тесты мышления (Равен), но необходимо четко различать, что из операциональных решений не получаются просто перцептивные решения, основанные на фигурных симметриях. Тщательно изучались (Голдстейн, Ширер и др.) изменения критериев разъяснений, т. е. предваряющие и ретроактивные регулировки, приводящие к обратимой подвижности.и включении в классы. На самом деле, не следует думать, что маленький ребенок обладает понятием о числе только потому, что научился считать вербально: числовая оценка в реальности долгое время остается для него связанной с пространственным расположением элементов в тесной аналогии с «фигуральными коллекциями» (см. выше п. 4). Опыт, описанный в главе 3, § 4, п. 5, показывает это со всей очевидностью: достаточно разделить элементы одного из двух рядов, первоначально расположенные в оптическом соответствии, чтобы субъект перестал допускать их числовое равенство. Естественно, невозможно было бы говорить об операциональных числах до того, как формируется сохранение числовых рядов, независимых от пространственных расположений.

С учетом вышесказанного можно предположить, принимая во внимание теорию наборов и логические теории Фрега, Вайтхеда и Расселла, что число развивается в процессе постепенного установления соответствия между двумя классами или двумя наборами. Существует две структуры соответствий: качественные соответствия, основанные на сходстве элементов (например, нос для носа, лоб для лба и т. д., в соответствии между моделью и ее копией), и соответствия «некие» или «один к одному». Лишь последние ведут к числу, поскольку они предполагают числовое единство. Остается объяснить это генетически (с точки зрения происхождения), чтобы не попасть в порочный круг.

С одной точки зрения, число возникает из абстракции дифференцирующих качеств, результат которых — равенство каждого индивидуального элемента каждому из других: 1 = 1 = 1 и т. д. После установления этого соотношения остается возможность расположения элементов в классы по включениям (<):!<(! + !)<(! + 1 + 1)ит. д. Но элементы

в то же время могут располагаться в серии (—»), есть только одно средство различить их и не считать одно и то же два раза в этих включениях — разбить их на серии (в пространстве или во времени)¹: 1 -» 1 —> 1 и т. д. Таким образом, число появляется как простое составляющее синтеза распределения в серии и включения: {[(1) -» 1] -> 1} -» и т. д.; поэтому оно образуется в тесной связи с этими двумя группами (см. 3 и 4), но в качестве оригинального и нового синтеза. Именно психология ребенка помогает ответить на вопросы, часто оказывающиеся неясными без учета генетической точки зрения. Многие работы, экспериментальные или теоретические (логическая формализация), исходят из этой точки зрения².

6. Пространство. Операциональные структуры, о которых говорилось только что, касаются объектов разрывных или дискретных и основаны на различиях между элементами, а также на их сходстве или равенстве. Но существует комплекс структур, в точности изоморфных предыдущим, за исключением того, что они касаются непрерывных объектов и основаны на соседствах и на разбивках на серии. Эти операции, которые мы можем назвать «инфралогиче-скими» (в том смысле, что они касаются другого уровня реальности, а не потому, что они являются предыдущими),

¹ Т. е. не согласно отношению -«больший», но согласно лишь отношениям «до» и «после».

² Так, П. Греко, изучавший этапы, предшествующие построению числа, смог показать, что числовой синтез классов и серийного порядка выполняется постепенно в возрасте 7-8 или 14-15: значит, можно говорить о растущей арифметиэации серии чисел. С точки зрения логической формализации, Ж.-Б. Гриз смог доказать, что указанный синтез приводится в когерентную форму: он показал, что при объединении в единое целое всех классов и отношений ограничения, свойственные группировкам, устраняются (Etudes d'epintemologie, t. XIII et XV, 1961-1962, PUF).строятся параллельно с логико-арифметическими операциями и в синхронности с ними, в особенности — пространственные операции (также, впрочем, как временные, кинематические операции и т. д.).

Поразительным примером является пространственное измерение¹, которое формируется независимо от числа, но в тесном изоморфизме с ним (с разницей приблизительно в шесть месяцев, поскольку в континууме единство не дано заранее). Измерение возникает с момента разделения континуума и вхождения частей в изоморфность с включением классов. Но чтобы образовать и использовать единство, одна из частей должна быть последовательно применена к целому через порядковое перемещение (= без сдвигов и т. д.), что соответствует разбивке на серии. Таким образом, измерение появляется как синтез перемещения и частичной аддитивности в том же смысле, в каком число есть синтез разбивки на серии и включения.

Но измерение — лишь частный случай пространственных операций, и, если рассматривать их в целом, ребенку свойственно представление, вызывающее более общий, теоретический интерес. Исторически научная геометрия началась с евклидовой, затем последовала проективная геометрия и, наконец, топология. Теоретически, напротив, топология является общей основой, из которой можно параллельно вывести проективное пространство и общую геометрию, от которой происходит евклидова. Замечательно, что развитие предоперациональной интуиции и пространственных операций у ребенка гораздо ближе к теоретическому построению, чем к историческим преемственным связям:

¹J. Piaget, В. Inhelder, A. Szeminska, La geometrie spontanee chez I'enfant, PUF.1948.

топологические структуры разделения порядка (соседство, разделение, поворот, открытие и закрытие, координация соседств в линейном порядке, затем в двух- или трехмерном и т. д.) достаточно явно предшествуют другим, затем из этих базовых структур возникают одновременно и параллельно проективные структуры (точечная, координация точек зрения и т. д.) и метрические структуры (перемещения, размер, координаты или системы референции, в качестве обобщения размера с двумя или тремя измерениями). См. также главу 3, § 3.

7. Время и скорость. Вспомним, наконец, операции, участвующие в структурировании скоростей и времени¹. По отношению к исходному примату топологических и порядковых структур понятие скорости начинается не в своей метрической форме (о - e/t), достигаемой только к 10-11 годам, но в порядковой форме: тело движется быстрее другого, если оно его опережает, т. е. если оно двигалось за ним в предшествующий момент и перед ним — в последующий. На предоперациональном уровне ребенок рассматривает только точки прибытия (падение при полуопережении и при простом наверстывании), затем он операционально структурирует преждевременные опережения, так же как и установленные; после чего он начинает учитывать возрастающую или уменьшающуюся величину интервалов и, наконец, обретает способность сопоставлять пройденные расстояния.

Что касается понятия времени, оно в законченном виде основано на операциях трех видов: 1) расположение событий в серии на основе порядка их временного следова-

• J. Piaget, Les notions demouvementetde vitesse chez I'enj ant, PUF.1945, и J. Piaget, Le deoeloppement de la notion du temps Лег I'enfant, PUF, 1946.ния; 2) введение интервалов между точными событиями, источник длительности; 3) временное измерение (уже действующее в системе музыкальных единств, задолго до любой научной выработки), сходное по форме с пространственным. Однако тогда как порядковая структурализа-ция скоростей независима от длительности (но, естественно, зависима от временного порядка), длительность, как, впрочем, и одновременность, зависит от скоростей. На самом деле, предыдущие операции (1-3) остаются независимыми от более или менее значительной быстроты течения времени и ничего не сообщают субъекту о самом темпе этого течения¹, т. к. он зависит от физического или психологического содержания длительности, от которого она (длительность) неотделима. Ребенок начинает судить о длительности только по этому содержанию, забывая о скорости (что мы часто делаем сами в интуитивных оценках): он скажет, таким образом, что движущееся тело двигалось дольше, если оно продвинулось дальше, и т. д. После чего содержимое связывается со скоростью своего движения, тогда время воспринимается в качестве объектного отношения (объективного), что дает указанным операциям возможность влиять на (дает представление о) течение времени как таковое: это очевидно в операциях измерения времени (скорость движения настенных часов), тогда как у детей использование таких ориентировок (определений положения предмета) не служит ничему, поскольку они представляют себе, будто бы стрелка часов или песчинки песочных часов перемещаются со скоростями, изменяемыми в зависимости от измеряемого содержимого.

¹ На самом деле, если один час, измеренный на настенных часах, длился бы в десять раз больше или в десять раз меньше, операции 1-3 дали бы те же результаты для тех же событий.