III. Формальные операциональные схемы

Приблизительно к 11-12 годам формируются новые операциональные схемы, почти синхронное появление которых могло бы указывать на то, что между ними существует связь, но, если находиться на точке зрения сознания субъекта, структурного родства между ними не обнаруживается: к таковым относятся понятия пропорций, двойные системы отношения (референции), понимание гидростатического равновесия, некоторые формы вероятности и т. д. При анализе оказывается, что каждая из этих систем содержит либо комбинаторику (но редко ее одну), либо (что чаще) систему четырех трансформаций, относящуюся к предыдущей группе четверичности, и показывает общ-

¹ Это значит, что N =(p-q) есть взаимное R от С = (p-q); что R = (q-p) есть обратное N от коррелята (p-q) и т. д.ность ее употребления, хотя субъект, естественно, не осознает существование этой структуры как таковой.

1. Пропорции. Отношение между математической группой четверичности и числовыми или метрическими пропорциями хорошо известно, но до исследований развития логики у ребенка группа четверичности как интерпропозициональная структура, а также то, что понятие пропорции всегда начинается в качественной и логической форме до того, как структурироваться количественно, было не совсем ясно.

С11 -12 лет в различных областях, но всегда в одной исходно качественной форме мы наблюдает появление понятия пропорции. Среди прочих, это пространственные пропорции (похожие фигуры), метрические скорости {e/t = ne/nt), вероятности (х/у = пх/пу), отношения между весом и длинами коромысел в весах и т. д.

Например, в случае с весами субъект сначала приходит порядковым путем к констатации того, что чем больше вес, тем больше наклоняется и удаляется от линии равновесия коромысло: эти констатации ведут его к открытию линейной функции и к пониманию первого условия равновесия (равенство веса на равных расстояниях от середины). Кроме того, порядковым путем он открывает, что один и тот же вес Р заставляет тем более наклониться весы, чем более его удаляют от этой средней точки коромысла: он также извлекает отсюда линейную функцию и констатирует, что равновесие для двух равных грузов достигается, если поддерживать равенство их дистанций L, какими бы они ни были. Открытие обратной пропорциональности между величиной веса и длинами приходит также посредством установления качественной связи между этими двумя первоначально порядковыми функциями. Понимание начинается, когда ребенок замечает, что равенство результатов

возникает каждый раз, когда, с одной стороны, он увеличивает вес, не изменяя длину, и, с другой — увеличивает длину, не изменяя вес: отсюда он выводит гипотезу (которую затем проверяет), что при наличии двух равных грузов на равном расстоянии от центра равновесие можно сохранить, уменьшая один, но удаляя его, и увеличивая другой, но приближая его к центру. Тогда, и только тогда, он приходит к простым метрическим пропорциям P/L = 2P/2L и т. д., но открывает их, только начиная с предыдущей качественной пропорции, которую можно выразить следующим образом: уменьшение веса при увеличении длины равно увеличению веса при уменьшении длины¹.

2. Двойные системы референции. То же самое происходит с двойными системами референции. Если улитка перемещается по доске в одном или другом направлении, а сама доска движется вперед или назад по отношению к внешней точке референции, ребенок на уровне конкретных операций хорошо понимает эти две пары прямых и обратных операций, но ему не удается совместить их между собой и предположить, например, что продвигаясь, улитка

¹ Таким образом, констатируем, что система пропорциональности выводится непосредственно из группы четверичности. Субъект исходит из двух трансформаций, каждая из которых содержит обратную: увеличить или уменьшить вес или длину (+Р и +L), затем он открывает, что обратная одной (уменьшение веса: -Р) может быть замещена обратной другой (уменьшение длины: -I), которая не идентична обратной первой, но приводит к тому же результату через компенсацию, а не через аннулирование: если +Р рассматривается как отправная операция (Г) и -Ркак обратная (N), тогда -I есть взаимное (R) от +Ря +L — ее коррелят. По одному тому факту, что имеем две пары прямых и обратных трансформаций и отношение равенства (но не идентичности), система пропорций зависит от четвертичности в виде I/R = C/N (откуда перекрестные производные IN - RC).может оставаться неподвижной по отношению к внешней точке, потому что движение доски компенсирует расстояние, не аннулируя движение животного. Как только структура четвертичности сформирована, решение, напротив, облегчается участием этой компенсации без аннуляции, которая есть взаимность R. На этот раз мы имеем I-R = N-C (где /, например, — движение устрицы направо; jR — движение доски налево; N— движение устрицы налево; и С — движение доски направо).

3. Гидростатическое равновесие. В одну из труб гидравлического пресса, имеющего форму U, помещают поршень, вес которого можно увеличить или уменьшить, что модифицирует уровень жидкости в другой трубе; можно, с другой стороны, изменить специфический вес жидкости (алкоголь, вода или глицерин), при этом уровень будет тем выше, чем меньше вес. Проблема состоит в том, чтобы понять, что вес жидкости действует в противоположном весу поршня направлении, в качестве реакции, противопоставленной его действию. Интересно отметить, что до 9-10 лет эта реакция или сопротивление жидкости не понимается как таковая, но вес жидкости рассматривается как добавляющийся к весу поршня и действующий в том же направлении. Механизм понимается только в зависимости от структуры четвертичности: если / — увеличение веса поршня и N — его уменьшение, тогда увеличение специфического веса жидкости есть взаимность R по отношению к / и его уменьшение — коррелят С.

4. Вероятностные понятия. Основной набор операционных схем, которые становятся возможными благодаря формальным операциям, — это комплекс вероятностных понятий, проистекающий из случайной ассимиляции, осуществляемой посредством этих операций. На самом деле,

чтобы судить, например, о вероятности пар или троек шаров, наугад вынутых из урны, содержащей пятнадцать красных, десять синих, восемь зеленых и т. д. шариков, нужно быть способным осуществлять по меньшей мере, две операции, характерные для этого уровня: комбинаторику, позволяющую учитывать все возможные ассоциации между задействованными элементами, и вычисление пропорций, каким бы элементарным оно ни было, позволяющее уловить (что не удается субъектам предыдущих уровней), что такие вероятности, как 3/9 или 2/6 и т. д., равны между собой. Вот почему только на стадии, начинающейся к 11-12 годам, дети понимают комбинаторные вероятности или понятия, такие как понятие флуктуации, корреляции или даже компенсаций, вероятных с увеличением чисел. Особо удивительно констатировать в этом отношении запоздалый характер «закона больших чисел», поскольку дети способны предвидеть единообразие распределений только до некоторой степени (которую можно назвать «маленькими большими числами»).