Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Построение эпюры изгибающих моментов

На расчетной схеме показаны произвольные поперечные се­чения на каждом из трех участков.

В каждом из сечений проведены две главные центральные оси: Y — вертикальная и X — горизонтальная.

В нашем случае, так как нагрузка расположена в верти­кальной плоскости, она дает момент лишь вокруг горизонталь­ной оси Х.

Запишем уравнения изгибающих моментов на каждом из участков. Для определенности примем условно за положитель­ный — изгибающий момент, вызывающий растяжение нижних во­локон.

Участок АВ: (0 ≤ z ≤ 0,8ℓ).

MиAB = -qz2/2 ;

при z = 0, MиA = 0.

при z = 0,8ℓ, MиB = -q(0,8ℓ)2/2 = - 0,32qℓ 2.

Участок ВС: (0 ≤ z ≤ ,5ℓ).

MиBC = - 0,8qℓ∙z.

при z = 0, MиB = 0.

при z = 0,5ℓ, MиC = - q0,8ℓ∙0,5ℓ =- 0,40qℓ 2.

Участок СD: (0≤ z ≤ℓ).

MиCD= 0,8qℓ∙(0,4ℓ - z) = 0,32qℓ2 - 0,8qℓ∙z.

при z = 0, MиC = 0,32qℓ 2.

при z = ℓ, MиD= 0,32qℓ 2 - 0,8qℓ∙ℓ = - 0,48qℓ 2.

По этим данным построена эпюра Ми(рисунок 9.1г).

Ее ординаты отложены в плоскости изгиба со стороны растянутого волокна. Из эпюр Мк и Ми видно, что опасным яв­ляется опорное сечение D, в котором Мк = 0,40 qℓ 2 и Ми =0,48 qℓ 2. На рисунке 9.2а показаны связанные с этими сум­марными внутренними силовыми факторами касательные и нормальные напряжения. Даны эпюры распределения этих напряжений по вертикальному диаметру.

 
 

 

 


Рисунок 2.14

 

На рисунке 9.26 изображено напряженное состояние в опас­ных точках сечения 1 и 1'. Величину напряжения при линей­ном растяжении, эквивалентном по удельной потенциальной энергии изменения формы (четвертой теории прочности) данному упрощенному плоскому напряженному состоянию, мож­но определить по формуле:



σIVрасч = = =

Таким образом, расчетный момент по четвертой теории прочности:

M IVрасч = = = 0,59qℓ2.

9.2. Пример «б» » (рисунок 9.3).

На рисунке 9.3 показана расчетная схема стержня, со­стоящего из пяти участков: АВ, ВС, CD, DE и КС.

 

Рисунок 9.3.

На этом же рисунке показаны размеры участков и коор­динация произвольных поперечных сечений.

Запишем выражения изгибающих и крутящих моментов для произвольных поперечных сечений (уравнения Мии Мк) и их значения для крайних поперечных сечений на каждом из участков.

ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ

MиAB = 0,5qz2/2 – (квадратная парабола);

при z = 0, MиA = 0.

при z = a, MиB = 0,5qa2 – (растянутые волокна вверху).

 

MиBС = qa∙z – (прямая);

при z = 0, MиВ = 0.

при z = a, MиС = qa2 – (растянутые волокна вверху).

MиCD = P∙z = qa∙z – (прямая);

при z = 0, MиD = 0.

при z = a, MиC = qa2 – (растянутые волокна внизу).

MиDЕ = P∙z = qa∙z – (прямая);

при z = 0, MиЕ = 0.

при z = a, MиD = qa2 – (растянутые волокна внизу).

 

MиKC = qa(0,5a + z) – P(z-a) = 1,5qa2 – (растянутые волокна вверху) – величина постоянная на всем участке.

 

То, что MиKC =const, можно было видеть и без записи , уравнения, так как обе внешние силы, расположенные по одну сторону от участка КС, равны по величине и противопо­ложно направлены, и поэтому составляют пару сил смоментом относительно оси X,MиKC = qa(0,5a + a) = 1,5 qa2.

Эпюра изгибающих моментов построена со стороны растянутых волокон на рисунке 9.3.

 

КРУТЯЩИЕ МОМЕНТЫ

MкAB = 0; MкBС = 0,5qa2; MкCD = qa2; MкDЕ = 0; MкKC = 2qa2.

По этим данным на рисунке 9.3. построена эпюра крутящих моментов.

Как видно из эпюр, опасными являются все сечения уча­стка КС.

MиKC = 1,5qa2; MкKC = 2qa2.

Определяем величину расчетного момента по четвертой теории прочности:

M IVрасч = = = 2,29qa2.

 

К ЗАДАЧЕ № 10

РАСЧЕТ КРИВОГО БРУСА

В задаче рассматривается кривой брус, ось которого очер­чена дугой окружности. Требуется построить эпюры внутрен­них усилий ─ изгибающего момента М,продольной силы Nи поперечной силы Q, а также эпюру нормальных напряже­ний в опасном поперечном сечении бруса.

Будем придерживаться следующего правила знаков:

а) положительный изгибающий момент стремится разо­гнуть ось бруса, т. е. вызывает сжатие в его наружных волок­нах;

б) положительная поперечная сила стремится повернуть рас­сматриваемую часть бруса по часовой стрелке (как и в .балках);

в) положительная продольная сила вызывает растяжение, т. е. направлена от сечения бруса (как и в прямых стержнях).

На рисунке 10.1 показаны положительные направления внут­ренних сил.

 
 

 

 


Рисунок 10.1

 

В качестве примера рассмотрим кривой брус, изображён­ный на рисунке 10.2.

Примем следующие данные: Р=2000 кгс, R = 20 см.

 

 

 
 

 


Рисунок 10.2

 

Определение опорных реакций

Разложим силу Р на составляющие по вертикали (Ру)игори­зонтали (Рx):

Ру = P∙cos 20° = 2000∙0,940 = 1880 кгс;

Рx = P∙sin 20° = 2000∙0,342 = 684 кгс;

ΣMA = RB∙2R + Px∙R∙sin 45° - Py∙R∙(1+cos 45°) =0;

RB = = = 1364 кгс;

ΣMB = Px∙R∙sin 45° + Py∙R∙(1-cos 45°) - YA∙2R =0;

YA = = =516,5 кгс;

ΣX = XA – Px = 0; XA = Px = 684 кгс.

Проверка:

ΣY = YA + RB – Py = 516,5 + 1364 – 1880 ≈ 0.

Итак:

XA = 684 кгс, YA = 516,5 кгс; RB = 1364 кгс.

 

Построение эпюр M, N и Q

1. Участок АС (0 ≤ φ ≤ 135°).

 


Рисунок 10.3

 

б — положительные направления внутренних сил.

 

На рисунке 10.3а показано поперечное сечение на участке АСи проекции на это сечение и на нормаль к нему всех сил, рас­положённых по одну сторону от этого сечения, т. е. составляю­щих реакции на опоре А (ХА и Yа),а также моменты этих сил относительно центра тяжести этого сечения.

На рисунке 10.36 показаны положительные направления для М, N и Q.

Сопоставляя эти два рисунка, записываем выражения для внутренних сил

M = Yа∙R∙(1-cosφ) - ХА∙R∙sinφ. (10.1)

N = - XA∙sinφ - YA∙cosφ. (10.2)

Q = YA∙ sinφ - XA∙ cosφ. (10.3)

 

Для упрощения вычислений можно изгибающий момент выразить через продольную силу:

M = R∙(YA - YA∙cosφ - XA∙sinφ) = R∙(YA +N). (10.1′)

Для того, чтобы не пропустить характерные сечения, в ко­торых внутренние силы принимают экстремальные или нуле­вые значения, можно выполнить несложное графическое по­строение (рисунок 10.2).

Вначале определена точка D в пересечении линии действия силы Р и реакции RB. Условие равновесия требует, чтобы ли­ния действия реакции RA тоже прошла через точку D.

В пересечении линии AD с осью бруса лежит сечение Е,в котором изгибающий момент равен нулю.

Проведя перпендикуляр к линии АDиз центра О,опреде­ляем положение сечения К,в котором М и Nдолжны иметь экстремаль­ные значения, a Q = 0.

Теперь определим положение этих сечений аналитически:

а) ME = Yа∙R∙(1-cosφE) - ХА∙R∙sinφE = 0

или

(1-cosφE) - ∙sinφE = 0,

2∙sin2 - ∙2∙sin ∙cos = 0,

sin - ∙cos = 0, tg = = =1,325,

= 53° ; φE = 106° .

б)

QK = YA∙ sinφK - XA∙ cosφK = = = 0.

откуда

tgφK = = =1,325; φK = 53°.

Из построения (рисунок 10.2) видно, что действительно φE = 2 φK.

Для построения эпюр М, N и Q на участке АС дадим пе­ременной φ следующие значения: 0°; 30°; 53°; 60°; 90°; 120°; 135°.

Результаты вычислений приведены в таблице 10.1 (стр. 30).

 

Участок ВС (0≤φ≤45°) Положительные направления

внутренних сил

 

 


Рисунок 10.4

 

На рисунке 10.4а показаны проекции расположенной по одну сторону от произвольного поперечного сечения силы (RB) на это сечение, на нормаль к нему и момент относительно его центра тяжести. На рисунке 10.46 показаны положительные направле­ния внутренних сил.

Сопоставляя эти два рисунка, получаем следующие выра­жения для внутренних усилий:

Q = -RB∙ sinφ; (10.4)

N = - RB∙cosφ. (10.5)

M = RB∙R∙(1-cosφ) = R∙( RB + N) (10.6)

Ми(кгс∙см) -5450 -6810 -6690 -3350
YA+N -272,5 -340,5 -334,5 -167,5 181,5 398,5
N(кгс) -516,5 -789 -857 -851 -684 -335 -118
Q(кгс) -684 -335 516,5
XA cosφ -342 -483
YA sinφ 516,5
XAsinφ
YA cosφ 516,5 -258 -365
cosφ 0,866 0,602 0,5 -0,5 -0,707
sinφ 0,5 0,799 0,866 0,866 0,707
φ°

Для построения эпюр дадим φ следующие значения: 0°; 16°; 30° и 45°. Результаты вычислений приведены в таблице 10.2.

 

Таблица 10.2

φ° sinφ cosφ Q (кгс) N(кгс) RB +N Mи(кгс∙см)
-1364
0,259 0,966 -354 -1318
0,500 0,866 -682 -1180
0,707 0,707 -964 -964 398,5

 

Ординаты эпюр Q, N и М,приведенных на рисунке 10.5, отло­жены от оси бруса по нормали к ней. Проверим, правильно ли сопряга­ются эпюры в точке С.

На эпюре Мскачков не должно быть (в том числе и в сечении С), так как в схеме загружения нет сосредоточенных моментов. Действительно:

MCAC = MCBC.

На эпюре Q в сечении Сдолжен быть скачок на величи­ну проекции силы Р на плоскость этого сечения:

Р∙cos25° = 2000∙0,906 = 1812 кгс.

Действительно:

QCAC - QCBC = 848-(-964) = 1812 кгс.

На эпюре Nв сечении С должен быть скачок на величи­ну проекции силы Рна нормаль к сечению:

Р∙sin25° = 2000∙0,423 = 846 кгс.

Действительно:

NCAC - NCBC = -118-(-964) = 846 кгс.

Предполагая, что материал бруса одинаково сопротивляет­ся растяжению и сжатию,6удем cчитать опасным то сечение, в крайних точках которого действуют наибольшие по абсо­лют­ной величине нормальные напряжения.

Определение напряжений

Как видно из эпюр М и N, в нашем примере (в зависимо­сти от формы сечения) опасным может быть одно из трех сечений: сечение К, сечение С участка АС, либо сечение Суча­стка ВС.

Нормальные напряжения при чистом изгибе кривого бру­са (без учета N) определяются по формуле:

 

 


σM = - =- (10.7 )

Здесь обозначено:

r ─ радиус кривизны нейтрального слоя;

yо = R-г ─ расстояние от нейтрального слоя до центра тяжести сечения;

у─ расстояние от нейтрального слоя до точки, в кото­рой опре­деляется напряжение (положительный от­счет ведется в сторону наружных волокон);

ρ = г + у— расстояние до этих же точек от центра кривизны.

Итак, использование формулы (10.7) требует предварительного определения положения нейтральной оси. Точное значение радиуса кривизны нейтрального слоя можно опреде­лить по формулам (10.8), которые для рассматриваемых се­чений приводятся ниже. Они получены из равенства:

г = (10.8.)

Поскольку r мало отличается от R,вычисления по форму­лам (10.8.) необходимо производить очень тщательно, т. к. иначе нельзя получить с достаточной точностью величину рас­стояния между нейтральной осью и центром тяжести:

y0 = R - r,(10.9)

Однако, если брус имеет не очень большую кривизну (примерно, если R>3h),то уоможно получить без предваритель­ного определения r, используя приближенную формулу:

yo (10.10)

Здесь Iх — это момент инерции сечения бруса относитель­но его главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгиба.

Если же брус имеет малую кривизну (примерно R>5h), то нейтральная ось практически сливается с центральной, т. е. yo ≈ 0, и напряжения можно вычислять по обычной фор­муле для прямого бруса:

σM = ─ (10.11)

Эпюра напряжений σМ по формуле (10.7) имеет вид ги­перболы сасимптотами ρ = 0 (при σМ → ∞) и σМ = (при y → ∞). Нормальные напряжения, соответствующие продольной силе, распределяются равномерно по сечению и определяются, как и в прямом брусе, по формуле:

σN = . (10.12)

Суммарные напряжения (соответствующие.М и N) определя­ются по формуле:

σ = σM + σN (10.13)

 

 

 

 


Рисунок 10. 6

Для получения эпюры суммарных напряжений можно вна­чале построить гиперболу σM, а затем ось отсчета напряже­ний сместить в нужную для алгебраического суммирования сторону, как это сделано в приводимых ниже примерах.

10.3.1. Круглое сечение (рисунок 10.7)

Диаметр круга ─ d=10 см.

Положение нейтральной оси

Так как отношение R:d= 20:10 = 2 << 3, то есть рассматри­ваемый брус имеет очень большую кривизну, то для опреде­ления положения нейтральной оси следует пользоваться точ­ной формулой:

r = , (10.8)

r = =19,682 см,

yo = R – r = 20 – 19,682 = 0,318 см.

 

Для сравнения определим уo по приближенной формуле (10.10).

 

Площадь сечения: F = = =78,6 см2.

Центральный момент инерции: Ix = = = 491 см4;

уo = = 0,312 см.






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2017 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.