Пиши Дома Нужные Работы


СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМАЯ БАЛКА

В задаче требуется раскрыть статическую неопределимость один раз статически неопределимой балки, построить для нее эпю­ры поперечных сил, изгибающих моментов и прогибов.

В качестве примера рассмотрим балку, расчетная схема которой изображена на рисунке 6.1.

Общий план раскрытия статической неопределимости методом сил заключается в следующем:

1. Из заданной статически неопределимой системы удаляются «лишние» связи с тем, чтобы система стала статически определимой, но осталась при этом геометрически неизменяемой. Такая система называется основной. Вариантов ее выбора – бесчисленное множество.

2. Основная система загружается заданными нагрузками и неизвестными силами, заменяющими отброшенные связи.

3. На основную систему налагаются условия совместности де­формаций – перемещения в направлении отброшенных связей, вызванные действием известных и неизвестных (искомых) сил, должны равняться нулю.

4. Упомянутые выше перемещения выражаются через заданные и искомые силы.

5. Полученная таким образом система уравнений решается относительно искомых сил.

Число уравнений совместности деформаций равно числу иско­мых сил, т. е. равно степени статической неопределимости системы.

В нашем примере это число равно единице.

 

 

 


Рисунок 6.1

 

 

Проведем раскрытие статической неопределимости, выбрав в качестве «лишней» связи шарнирно-подвижную опору «1». Таким образом, основная система представляет собой обычную консоль­ную балку (рисунок 6.1) «Лишней» неизвестной является реакция R1. Она определяется изусловия совместности деформаций, выра­жающего равенство нулю прогиба балки в сечении «1» (V1 = 0).

Используя принцип независимости действия сил, уравнение совместности деформаций можно сформулировать так: прогибы балки в сечении «1» в основной системе от действия заданной на­грузки и от действия искомой реакции R1 должны быть равны между собой и противоположно направлены.

V1(P) = –V1(R1) или | V1(P) | = | V1(R1)|. (6.1)

Чтобы выразить эти перемещения (прогибы) через заданные нагрузки и неизвестную реакцию R1воспользуемся правилом Верещагина (метод Мо­ра–Максвелла), которое в данном случае может быть записана так:

V = Σ ,

Здесь: ωp – площадь грузовой эпюры, т. е. эпюры изгибающих моментов от нагрузки, вызывающей прогиб V.

MС1 – ордината эпюры изгибающих моментов от единичной силы, соответствующей искомому перемещению, под центром тяжести грузовой эпюры

Определим вначале прогибы от каждой из нагрузок в отдель­ности

а) от действия распределенной нагрузки:

                   
 
   
 
   
     
 
   
 
 

 


Рисунок 6.2

 

ωq = – · ·ℓ = – ; MС1 = – ·ℓ,

EJx ·V1(q) = ωq · MС1 = · = 0,125 qℓ4 (вниз).

 

б) от действия силы P1 = qℓ:

ωP1 = – · · = – ; MС1 = – ·ℓ,

 


Рисунок 6.3

 

EJx ·V1(P1) = ωP1 · MС1 = · = 0,1042 qℓ4 (вниз).

в) от действия силы P2 = 0,2 qℓ:

В данном случае удобней умножить площадь единичной эпюры на соответствующую ее центру тяжести ординату грузовой эпюры (это допустимо, так как грузовая эпюра прямолинейна).

ω1 = – ; MСP = ·ℓ = 0,1933 qℓ2,

EJx ·V1(P2) = ω1 · MСP = – · 0,1933 qℓ2 = –0,0967 qℓ4 (вверх).

 
 

 


Рисунок 6.4

Итак, от действия всех заданных сил сечение «1» переместилось бы внизна величину:

V1(P) = V1(q)+V1(P1)-V1{p2) = (0,125 + 0,1042–0,0967) = 0,1325

 

 


Рисунок 6.5

Точно на такую же величину должна переместить сечение 1 вверхис­комая реакция R1.

 

ωR1 = 0,5R1·ℓ2 ; МС1 = ;

V1(R1) = = (вверх).

Сравнивая полученные прогибы па основании условия совмест­ности деформаций (6.1), имеем:

 

R1·ℓ3 = 0,1325 q ℓ4 , откуда R1 = 0,397 q ℓ

Статическая неопределимость раскрыта.

 

На рисунке. 6.1 показана основная система, загруженная задан­ной нагрузкой и найденной реакцией R1. Эта статически определи­мая система полностью эквивалентназаданной статически неоп­ре­де­лимой. Поскольку она представляет собой обычную консольную балку, для построения эпюр Q и Мицелесообразно составлять суммы проекций и моментов сил, расположенных справа от сече­ний на всех трех участках балки.

К построению эпюры «Q».

Q1пр = – P2 = – 0,2qℓ;

Q1лев = – P2 – R1= – 0,2qℓ – 0,397qℓ = – 0,597qℓ;

QC пр = – P2 – R1 + 0,5qℓ = – 0,597qℓ + 0,5qℓ = – 0,097qℓ;

QCлев = – P2 – R1 + 0,5qℓ + P1 = – 0,097qℓ + qℓ = 0,903qℓ;

Q0 = – P2 – R1 + 0,5qℓ + P1 + 0,5qℓ = 0,903qℓ+ 0,5qℓ = 1,403qℓ;

R0 = Q0 = 1,403qℓ;

К построению эпюры «Ми».

M1 = P2·0,3ℓ = 0,2qℓ·0,3ℓ = 0,06 qℓ2;

MC = P2·0,8ℓ + R1·0,5ℓ –q·0,5ℓ·0,25ℓ = 0,2qℓ·0,8ℓ + 0,397qℓ·0,5ℓ –0,5·qℓ ·0,25ℓ = 0,234 qℓ2;

M0 = P2·1,3ℓ + R1·ℓ –qℓ·0,5ℓ = 0,2qℓ·1,3ℓ + 0,397qℓ·ℓ –qℓ·0,5ℓ = = – 0,343 qℓ2;

Построенные по этим данным эпюры Q и Мн приведены на рисунке 6.6 в и г.

 

Построение эпюры прогибов(рисунок 6.6 д)

Используем универсальное уравнение изогнутой оси балки, за­писанное по методу начальных параметров:

EJX·V = EJX·V0 + EJX·Θ0·z + Σ + Σ + Σ

Здесь V0 и Θ0 – прогиб и угол поворота сечения в начале коор­динат (в нашем примере V0 = Θ0 = 0, так как на­чало координат совпадает с защемляющей опо­рой);

aM, аP и аq – координаты сечений, в которых приложены со­средоточенные моменты, сосредоточенные силы или начинаются распределенные нагрузки, соот­ветственно.

Так как одним из условий применения метода начальных па­раметров является непрерывность распределенной нагрузки, про­длеваем ее до конца балки Dи вводим на участке 1Dсоответствующую компенсирующую нагрузку (рисунок 6.66). Помещая сла­гаемые правой части уравнения в порядке расположения сил на балке, получаем:

EJX·V = + +

+ + .

Для контроля вычислим прогиб при z =ℓ:

EJX·V = + =

= (–0,1715 + 0,2338 – 0,0417 – 0,0208) qℓ4 = 0.

Теперь вычислим прогибы в сечениях с координатами:

zC=0,5ℓ; zK = 0,7ℓ и zD=l,3ℓ;

EJX·VC= + =–0,0175 qℓ4;

 
 

 


Рисунок 6.6

 

 

EJX·VK= + = –0,0143 qℓ4;

EJX·VD= + + + = 0,0171 qℓ4;

 

При построении эпюры прогибов направление выпуклости изогнутой оси нужно согласовать со знаком эпюры изгибающих мо­ментов: на участке отрицательной эпюры изгибающих моментов ось балки имеет выпуклость вверх и, наоборот, на участке поло­жительного момента – вниз. В сечении Е,где MИ = 0, на изогну­той оси – точка перегиба. Координата этого сечения может быть определена следующим образом

МE = – + 1,403qℓ·zE – 0,343 qℓ2 = 0;

z2E – 2,806 ℓ zE + 0,686 ℓ2 = 0;

откуда

zE = 1,403 ℓ ± = (1,403 ± 1,133) ℓ;

так как

0 ≤ zE ≤ 0,5 ℓ

получаем:

zE.= 0,27ℓ.

Обратите внимание на то, как изогнутая ось примыкает к левой опоре балки – угол поворота здесь равен нулю.

 

К ЗАДАЧЕ № 7






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2017 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.