Комбинаторика, теория вероятностей. Формулы сокращенного умножения.
Прогрессии
1. Арифметическая прогрессия.
- каждый член прогрессии равен предыдущему + одно и то же число ( d ).
d – разность арифметической прогрессии.
Формула n-го члена арифметической прогрессии:
Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии:
Свойство n-го члена арифметической прогрессии:
2. Геометрическая прогрессия.
- каждый член прогрессии равен предыдущему, умноженному на одно и то же число ( q ).
q – знаменатель геометрической прогрессии.
Формула n-го члена геометрической прогрессии:
Формула суммы n первых членов прогрессии:
Свойство n-го члена геометрической прогрессии:
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: если , то ее полная сумма равна .
Степени и корни.
1. .
2.
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10.
Решение иррациональных неравенств:
Логарифмы.
1. Определение: , где с – показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b: , .
2. Основное логарифмическое тождество: .
3. .
4.
5.
6.
7. Формула перехода к новому основанию:
8.
Тригонометрия.
Основные тригонометрические тождества:
Формулы сложения и вычитания аргументов:
Формулы двойного, тройного аргумента:
Формулы понижения степени:
Формулы преобразования суммы и разности функций в произведение:
Преобразование произведения в сумму:
Формулы приведения:
1) Если или ,то функция меняется, если или , то функция не меняется.
2) Перед результатом ставим тот знак, который имеет первоначальная функция в заданной четверти.
Тригонометрические уравнения.
1)
Частные случаи:
2)
Частные случаи:
3)
4)
Свойства обратных тригонометрических функций:
Тригонометрические неравенства.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Свойства функций.
- Четность:
- график функции симметричен относительно оси OY.
Нечетность:
- график функции симметричен относительно начала координат.
- Периодичность:
Наименьший положительный период функции находится по формуле , где - период функции .
- Область определения функции D(y):
1) Знаменатель не равен 0.
2) Подкоренное выражение ≥ 0.
3) Подлогарифмическое выражение >0.
Преобразование графиков функций.
1) y=f(x) ± b – перенос графика вверх ( если + ) или вниз ( если - ).
2) y=f(x±b) – перенос графика вправо ( если - ) или влево (если + ).
3) y= -f(x) – симметрия относительно оси OX.
4) y=f(-x) – симметрия относительно оси OY.
5) y=kf(x) – если k>1, то растяжение от оси OX, если k<1, то сжатие к оси OX.
6) y=f(kx) – если k>1, то сжатие к оси OY, если k<1, то растяжение от оси OY.
7) - все, что ниже оси OX симметрично отражаем вверх.
8) - все, что левее оси OY стираем, а всю правую часть симметрично отражаем влево.
Основные графики и функции.
1. y=kx+b – линейная функция, график – прямая. D(y)=R, E(y)=R. k>0 – функция возрастающая, k<0 – функция убывающая.
2. y=kx – прямая пропорциональность, график – прямая. D(y)=R, E(y)=R. k>0 – функция возрастающая, k<0 – функция убывающая.
3. - обратная пропорциональность, график – гипербола. D(y)= (-∞;0) (0;+ ∞),E(y) = (-∞;0) (0;+ ∞), при k>0 функция убывает на D(y), при k<0 функция возрастает на D(y).
4. - квадратичная функция, график – парабола. D(y)=R, E(y)=
5. - квадратичная функция, график – парабола. D(y)=R. Вершина параболы (m;n): , n –подставить значение m в функцию вместо x. При a>0 ветви направлены вверх, при a<0 ветви направлены вниз.
6. - график – кубическая парабола. D(y)=R, E(y)=R, функция возрастает на R.
7. график – перевернутая парабола. D(y)= , E(y)= .
8. , D(y)=R, E(y)=
9. - показательная функция, график – экспонента. D(y)=R, E(y)=(0;+∞). При a>1 функция возрастает на R , при 0<a<1 функция убывает на R.
10. - логарифмическая функция. D(y)=(0;+∞), E(y)=R. При a>1 функция возрастает на D(y), при 0<a<1 функция убывает на D(y).
11. y=sin x график – синусоида. D(y)=R, E(y)=
12. y=cos x, график – косинусоида. D(y)=R, E(y)=
13. y=tg x , график - тангенсоида. D(y): , E(y)=R, функция возрастает на D(y).
14. y=ctg x, график – котангенсоида. D(y): , E(y)=R, функция убывает на D(y).
15. y=arcsin x , D(y)= , E(y)= . arcsin (-x)=-arcsin x – функция нечетная.
16. y=arcos x. D(y)= , E(y)= , arcos(-x)= -arccos x.
17. y=arctg x. D(y)=R, E(y)= , arctg(-x)=-arctg x, функция нечетная.
18. y=arcctg x.D(y)=R, E(y)= , arcctg(-x)= -arcctg x
Производная и интеграл.
Производная.
Правила нахождения производной:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) Производная сложной функции
Таблица производных:
sin x
| cos x
| tg x
| ctg x
| arcsin x
| arcos x
| cos x
| -sin x
|
|
|
|
|
Физический смысл производной:
Геометрический смысл производной:
1) Угловой коэффициент касательной (угол наклона касательной к положительному направлению оси OX)
2) Уравнение касательной к графику функции в точке:
Применение производной:
1) Найти D(y).
2) Критические точки (стационарные): .
3) Функция возрастает, если >0; функция убывает, если <0.
Интеграл.
Общий вид первообразной: F(x)+C.
Три правила нахождения первообразной:
1) Для функции f(x)+g(x) первообразная имеет вид: F(x)+G(x).
2) Для функции kf(x) первообразная имеет вид: kF(x).
3) Для функции f(kx+b) первообразная имеет вид: .
Таблица первообразных:
sin x
| cos x
|
|
|
|
| -cos x
| sin x
| tg x
| -ctg x
| arctg x
| arcsin x
|
Формула Ньютона – Лейбница:
Физический смысл интеграла:
Геометрический смысл интеграла:
Площадь фигуры, ограниченной линиями (площадь криволинейной трапеции)
1)
2)
3)
Объем тел вращения:
Комбинаторика, теория вероятностей.
Факториал:
Перестановки:
Размещения:
Сочетания:
Схема решения задач по комбинаторике:
Правило сложения:
Если объект А можно выбрать а способами, а объект В – b способами, то выбор или А, или В можно сделать a+b способами.
Правило умножения:
Если объект А можно выбрать а способами, а объект В – b способами, то выбор и А, и В можно сделать a∙b способами.
Бином Ньютона:
k-тый член разложения бинома Ньютона:
Формула классической вероятности: , где n – число всех возможных способов, m – число всех благоприятных способов.
Формула Бернулли: , где n – количество испытаний, в которых данное событие должно наступить k раз, p – вероятность наступления данного события при одном испытании, q=1-p.
Геометрия
Треугольник.
1)
Теорема синусов: , где R – радиус описанной окружности.
Теорема косинусов: и т.д. Для тупого угла:
2) Средняя линия треугольника:
3) Подобие треугольников:
Признаки подобия:
1. по двум углам.
2. по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
3. по трем пропорциональным сторонам.
Если треугольники подобны, то их стороны пропорциональны: ( соблюдаем условие – равные углы в записи треугольников стоят на одинаковых местах).
4) Разносторонний треугольник ( в том числе и равнобедренный):
Площадь :
формула Герона:
Радиусы вписанной и описанной окружности:
5) Равносторонний треугольник:
6) Прямоугольный треугольник:
Теорема Пифагора:
Центр описанной окружности – середина гипотенузы.
Четырехугольник
1. Параллелограмм.
Связь между сторонами и диагоналями:
2. Прямоугольник.
3. Квадрат.
4. Ромб.
5. Трапеция.
MN- средняя линия.
Правильный шестиугольник.
Выпуклый n-угольник.
Сумма внутренних углов: .
Сумма внешних углов равна 360˚.
|