Основные свойства преобразования Лапласа

Очевидно, что соответствие между оригиналом и изображением взаимно однозначны, т. е. каждой функции f(t) соответствует одна вполне определенная функция F(p) и наоборот.

Свойство линейности. При умножении оригинала на постоянную величину на ту же постоянную величину умножается и изображение

а f(t) а F(p).

Действительно,

Если оригинал представлен суммой функций, то изображение этой суммы равно сумме изображений этих функций (свойство линейности преобразования Лапласа: изображение линейной комбинации функций есть линейная комбинация изображений)

.

Теорема дифференцирования.Допустим, что некоторая функция f(t) имеет изображение F(p), требуется найти изображение производной этой функции.

Пусть f΄(t) = φ(t).Найти Ф(р) φ(t).

.

Интегрируя по частям, получим

.

Вычисление производной при нулевых начальных условиях [f(0) = 0] соответствует умножению изображения функции на множитель p:

.

Теорема интегрирования. Известно изображение некоторой функции f(t). Требуется определить изображение функции, являющейся интегралом функции f(t).

Пусть , тогда ,

если

.

Многократному интегрированию соответствует общее выражение

.

Теорема запаздывания. Теорема позволяет определить изображение функции f(t – t₁), отличающейся от функции f(t) тем, что она сдвинута вправо вдоль оси времени на t₁ (рис. 34)

Рис. 34

,

так как в интервале (0 – t₁) функция f(t – t₁) = 0.

Введем новую переменную τ = t – t₁, тогда t = τ + t₁, dt = dτ.

Таким образом, запаздывание функции на время t₁ соответствует умножению её изображения на .

Теорема смещения. Теорема смещения позволяет определить, как изменяется изображение при умножении оригинала на показательную функцию e^±αt, где α – постоянное число.

Пусть новая функция имеет вид ψ(t) = f(t)e^±αt.

Изображение

.

Таким образом, умножение временной функции на экспоненциальный множитель приводит к «смещению» в области изображений независимой переменной p на .

Теорему смещения очень удобно применять при определении изображения экспоненциально убывающих функций. Например, необходимо найти изображение функции ψ(t) = sinωte^–αt.

Выше было показано, что , тогда

.

Разделив вещественную и мнимую части, получим

.

Следовательно,

.

Теорема умножения изображений (теорема свертки – интеграл Бореля) заключается в следующем: если

f₁(t) F₁(p), f₂(t) F₂(p)

то

Таким образом, произведению изображений двух функций соответствует свертка их оригиналов. Теорема свертки широко используется при составлении таблиц операторных соотношений. Если изображение искомой функции может быть представлено в виде произведения двух (или более) сомножителей, то по оригиналам каждого из сомножителей можно вычислить оригинал исходной функции. Например, определим оригинал функции, изображение которой имеет вид

.

Изображение Ф(р) можно представить как произведение двух изображений:

.

Следовательно,

.

Теорема подобия позволяет определить изображение функции времени при изменении масштаба её аргумента. Пусть известно изображение функции f(t) F(p). Определим изображение функции φ(t) = f(at), где а – некоторая положительная постоянная.

.

Обозначим at = x, тогда и

.

Окончательно имеем

.

Умножение аргумента оригинала на положительное постоянное число а приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число а.

Предельные соотношения устанавливают существование равенства между значениями функции времени и её изображения в начале координат и в бесконечно удаленной точке.

.

Ниже будет показано, что комплексную переменную р можно рассматривать как обобщенную (комплексную) частоту, мнимая часть которой представляет собой угловую частоту некоторого гармонического колебания, а вещественная характеризует изменение огибающей этого колебания. Приняв вещественную часть р равной нулю, получим из предельных соотношений связь между функцией времени и частотной характеристикой в начале координат и при бесконечных значениях t и jω.

Проиллюстрируем эту связь на примере прохождения импульсного сигнала через усилитель с ограниченной полосой пропускания (рис. 35).

Рис. 35

Таким образом, характер изменения функции времени в области малых времен определяется частотной характеристикой в области высоких частот и наоборот: изменения в области больших времен определяется частотной характеристикой в области низких частот.