Учебно-методические материалы по разделам курса физики

3.1 Физические основы классической механики

3.1.1 Основные формулы. Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси x

x = f(t),

где x = f(t) – некоторая функция времени.

Проекция средней скорости на ось x

=

Средняя путевая скорость

где Δs – путь, пройденный точкой за интервал времени Δt.

Путь Δs в отличие от разности координат Δx = x₂ – x₁ не может убывать и принимать отрицательные значения, т. е. Δs 0. Тогда проекция мгновенной скорости на ось x равна:

Проекция среднего ускорения на ось x

Проекция мгновенного ускорения на ось x

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности

φ = f(t), r =R =const.

Модуль угловой скорости

Модуль углового ускорения

.

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

V = ω R; a_τ = ε R; a_n = ω² R,

где V – модуль линейной скорости;

a_τ и a_n – модули тангенциального и нормального ускорений;

ω – модуль угловой скорости;

ε– модуль углового ускорения;

R – радиус окружности.

Модуль полного ускорения

, или .

Угол между полным и нормальным ускорениями

α = arccos(a_n / a).

Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью ,

.

Второй закон Ньютона:

,

где – результирующая сила, действующая на материальную точку.

Силы, рассматриваемые в механике:

– сила упругости

,

где k – коэффициент упругости (в случае пружины-жесткость);

D – абсолютная деформация;

– сила гравитационного взаимодействия

F = γ

где γ – гравитационная постоянная;

m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел;

r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);

– сила тяжести

,

где g – ускорение свободного падения.

В случае гравитационного притяжения тела массой к Земле

где М и R – масса и радиус Земли соответственно;

– сила трения (скольжения)

F = μN,

где μ – коэффициент трения;

N – сила нормального давления.

Закон сохранения импульса:

или для двух тел (i = 2)

,

где и – скорости тел в момент времени, принятый за начальный;

и – скорости тех же тел в конечный момент времени.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,

T = mV² / 2,

или

T = p² / 2m.

Потенциальная энергия:

– упругодеформированной пружины

П = k x² / 2,

где k – жесткость пружины;

x – абсолютная деформация;

– гравитационного взаимодействия

,

где γ – гравитационная постоянная;

m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел;

r – расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

– тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

П = mgh,

где g – ускорение свободного падения;

h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h << R, здесь R – радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии:

E = T + П = const.

Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки:

А = T = T₂ – T₁.

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси z

,

где – результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело;

– угловое ускорение;

J_z – момент инерции относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:

– стержня длиной L относительно оси, перпендикулярной стержню,

;

– обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

J_z = m R²,

где R – радиус обруча (цилиндра);

– диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,

.

Проекция на ось z момента импульса тел, вращающихся относительно неподвижной оси z,

L_z = Jω,

где ω – угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z,

J_z = const,

где J_z – момент инерции системы тел относительно оси z;

– угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

T = ,

или

T = L_z² / (2 J_z).

Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня

,

где l₀ – длина стержня в системе, относительно которой стержень покоится (собственная длина);

l – длина стержня, относительно которой он движется;

β – скорость частицы, выраженная в долях скорости света .

Промежуток времени ∆t в системе, движущейся по отношению к наблюдателю, связан с промежутком времени ∆t₀ в неподвижной для наблюдателя системе отношением

.

Релятивистская масса

,

где m₀ – масса покоя.

Релятивистский импульс

.

Полная энергия релятивистской частицы

,

где Т – кинетическая энергия частицы;

– её энергия покоя, .

Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы:

.

Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы:

.

3.1.2. Примеры решения задач.

Пример 1Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид: x = A + Bt + Ct ³, где A = 2 м, B = 1 м/с, C = - 0,5 м/с³. Найти координату x, скорость V_x и ускорение а_х точки в момент времени t = 2 с.

первая производная от координаты по времени:

V_x = = В + 3Сt³.

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени: .

В момент времени t = 2 с

V_x = 1 – 3·0,5·2 ² = - 5 м/с;

а_х = 6(-0,5)·2 = - 6 м/с².

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где В = 20 рад/с; С = 2 рад/с². Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r = 0,1м от оси вращения, для момента времени t = 4с.

Дано:	Решение:
В = 20 рад/с С = 2 рад/с2 r = 0,1м t = 4с	Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения āτ, направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения ān, направленного к центру кривизны траектории.
а‑?

.

Так как , то модуль полного ускорения

(1)

Модули и выражаются формулами

;

,

где - модуль угловой скорости; - модуль углового ускорения.

Тогда (1) можно записать в виде

= . (2)

Угловую скорость ω найдем, взяв первую производную углаповорота по времени:

.

В момент времени t = 4с

.

Угловое ускорение ε найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

.

Подставив в (2) значения ω,ε и r , получим

м/с² = 1,65м/с²

Пример 3.Тело массой m = 1кг движется вдоль оси х так, что его координата изменяется во времени по закону , где С = 1м/c². Определить ускорение тела и действующую на тело силу к концу 5-ой секунды.

Дано:	Решение:
, С = 1м/c2 t = 5 c	Ускорение найдем, взяв вторую производную от координаты по времени:
а - ? F - ?

- зависимость скорости от времени.

Для нахождения силы, воспользуемся 2-м законом Ньютона:

Пример 4 Маховик в виде сплошного диска радиусом R = 0,2 м и массой m = 50 кг раскручен до частоты вращения n₁ = 480 мин^-1 и предоставлен сам себе. Под действием сил трения маховик остановился через t = 50 с. Найти момент М сил трения.

Z, совпадающей с геометрической осью маховика, за интервал времени dt;

M_Z − момент внешних сил (в данном случае момент сил трения), действующих на маховик относительно оси Z.

Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени (М_Z = const), поэтому интегрирование уравнения приводит к выражению

L_Z = M_Z t.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение проекции момента импульса

L_Z = J_Z ω,

где J_Z − момент инерции маховика относительно оси Z;

ω − изменение угловой скорости маховика.

Приравняв правые части двух предыдущих равенств, получим M_Z t = J_Z ω, откуда

Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по формуле

J_Z = 1/2mR².

Изменение угловой скорости ω = (ω₂ − ω₁) выразим через конечную n₂ и начальную n₁ частоты вращения, пользуясь соотношением ω = 2πn:

ω = ω₂ − ω₁ = 2πn₂ − 2πn₁ = 2π(n₂ − n₁).

Подставив в формулу для M_Z выражения J_Z и ω, получим

M_Z = πmR²(n₂− n₁) / t.

Проверим, дает ли расчетная формула единицу измерения момента силы. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы:

= = 1 кг·м·с^-2·1 м = 1 Н·м.

Подставляем численные значения и производим вычисления:

M_Z = = -1 Н·м.

Знак минус показывает, что момент сил трения оказывает на маховик тормозящее действие.

Пример 5. Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 0,2 м вращается относительно оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения имеет вид: , где В = 4рад/c², C = +1рад/c³. Найти закон изменения момента сил, действующих на шар. Определить момент сил М в момент времени t = 2с.

Дано:	Решение:
m = 10 кг R = 0,2 м В = 4рад/c2 C = +1рад/c3 t = 2с.	Первая производная от угла поворота по времени дает закон изменения угловой скорости от времени: . Взяв производную от угловой скорости по времени, получим закон изменения углового ускорения от времени :
М ‑ ?

Для нахождения момента сил, действующих на шар, воспользуемся основным законом динамики вращательного движения:

, где - момент инерции шара относительно оси вращения, проходящей через центр масс шара. Таким образом:

- закон изменения момента сил.

В момент времени t = 2 с:

Пример 6.Две шайбы массами m₁ = 2,5 кг и m₂ = 1,5 кг движутся навстречу друг другу со скоростями V₁ = 6 м/c и V₂ = 2 м/c. Определить:

1) скорости шайб после удара; 2) кинетические энергии шайб до и после удара; 3) долю кинетической энергии шайб, превратившейся во внутреннюю энергию. Удар считать прямым, неупругим.

Определим эту скорость по закону сохранения импульса. Так как шайбы движутся по одной прямой, то этот закон можно записать в скалярной форме:

,

откуда

.

Направление скорости первой шайбы примем за положительное, тогда при вычислении скорость второй шайбы, которая движется навстречу первой, следует взять со знаком минус V₂ = -2 м/с. Получим:

.

2) Кинетические энергии шайб до и после удара определим по формулам

;

Произведя вычисления по этим формулам, получим:

Т₁ = 48 Дж; Т₂ = 18 Дж.

3) Сравнение кинетических энергий шайб до и после удара показывают, что в результате неупругого удара произошло уменьшение их кинетической энергии за счет чего увеличилась их внутренняя энергия. Долю кинетической энергии шайб, пошедшей на увеличение их внутренней энергии, определим из соотношения:

.

Пример 7. Шайба массой m₁, движущаяся горизонтально с некоторой скоростью V₁, столкнулась с неподвижной массой m₂. Шайбы абсолютно упругие, удар прямой. Какую долю w своей кинетической энергии первая шайба передала второй?

,

где: Т₁ – кинетическая энергия первой шайбы до удара;

U₂ и Т₂¹ – скорость и кинетическая энергия второй шайбы после удара.

Для нахождения U₂ воспользуемся тем, что при ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: импульса и механической энергии.

По закону сохранения импульса, учитывая, что вторая шайба до удара покоилась, имеем:

;

По закону сохранения энергии

.

Решая совместно два последних уравнения, найдем:

,

Тогда:

.

Пример 8. Маховик в виде диска массой m = 50 кг и радиусом r = 20 см был раскручен до частоты вращения n = 480мин^-1 и затем предоставлен самому себе. Вследствие трения маховик остановился. Найти момент М сил трения, считая его постоянным для двух случаев: 1) маховик остановился через t = 50 c; 2) маховик до полной остановки сделал N = 200 оборотов.

Дано:	Решение:
m = 50 кг r = 20 см n = 480мин-1	По основному закону динамики вращательного движения:
М‑?

где: - изменение момента импульса;

- момент инерции маховика (диска);

и - начальная и конечная угловые скорости.

Так как ώ₂ = 0 и Δt = t, то .

Выразив угловую скорость через частоту вращения n₁, (ω₁ = 2πn₁),

получим:

.

2. В условии задачи дано число оборотов, сделанных маховиком до остановки, т.е. его угловое перемещение. Поэтому применим формулу, выражающую связь работы с изменением кинетической энергии:

, или учитывая, что .

Работа при вращательном движении .

Тогда , учитывая, что , , ,

имеем:

Знак минус показывает, что момент сил трения оказывает тормозящее действие.

Пример 9.Платформа в виде диска радиусом R = 1,5 м и массой m₁ = 80 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n₁ = 10 ¹мин = 1/6 с^-1. В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Дано:	Решение:
R = 1,5 м m1 = 180 кг n1 = 1/6 c-1 m2 = 60 кг	Запишем закон сохранения момента импульса: где: - момент инерции платформы; - момент инерции человека, стоящего в центре платформы (рассчитываем как для материальной точки);
V - ?

- момент инерции человека, стоящего на краю платформы.

- угловая скорость до перехода человека;

- угловая скорость платформы с человеком, стоящим на краю платформы.

Учитывая, что , будем иметь:

;

откуда:

Пример 10. Определить релятивистский импульс Р и кинетическую энергию Т электрона движущегося со скоростью V = 0,9 c (где с = 3·10⁸м/с – скорость света в вакууме) Во сколько раз релятивистская масса больше массы электрона?

Дано:	Решение:
V = 0,9 c	Релятивистский импульс: , где
Р - ? Т - ?	Вычисляем:

.

В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией и энергией покоя Е₀.

Так как , то учитывая зависимость массы от скорости, получим:

.

Вычисляем Т:

.

Во внесистемных единицах измерения энергия покоя электрона

Тогда:

.

Релятивистская масса больше массы покоя:

.