Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Учебно-методические материалы по разделам курса физики

3.1 Физические основы классической механики

3.1.1 Основные формулы. Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси x

x = f(t),

где x = f(t) – некоторая функция времени.

Проекция средней скорости на ось x

=

 

Средняя путевая скорость

 

 

где Δs – путь, пройденный точкой за интервал времени Δt.

Путь Δs в отличие от разности координат Δx = x2 – x1 не может убывать и принимать отрицательные значения, т. е. Δs 0. Тогда проекция мгновенной скорости на ось x равна:

Проекция среднего ускорения на ось x

 

 

Проекция мгновенного ускорения на ось x

 

 

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности

φ = f(t), r =R =const.

 

Модуль угловой скорости

 

Модуль углового ускорения

.

 

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

V = ω R; aτ = ε R; an = ω2 R,

 

где V модуль линейной скорости;

aτ и an модули тангенциального и нормального ускорений;

ω модуль угловой скорости;

ε– модуль углового ускорения;

R – радиус окружности.

Модуль полного ускорения

, или .

 

Угол между полным и нормальным ускорениями

 

α = arccos(an / a).

 

Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью ,

 

.

 

Второй закон Ньютона:

 

,

 

где – результирующая сила, действующая на материальную точку.

Силы, рассматриваемые в механике:

сила упругости

,

где k – коэффициент упругости (в случае пружины-жесткость);

D абсолютная деформация;

сила гравитационного взаимодействия

F = γ

 

где γ гравитационная постоянная;



m1 и m2 массы взаимодействующих тел;

r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);

сила тяжести

 

,

 

где g – ускорение свободного падения.

В случае гравитационного притяжения тела массой к Земле

 

 

где М и R – масса и радиус Земли соответственно;

сила трения (скольжения)

 

F = μN,

 

где μ коэффициент трения;

N – сила нормального давления.

Закон сохранения импульса:

 

или для двух тел (i = 2)

 

,

 

где и скорости тел в момент времени, принятый за начальный;

и скорости тех же тел в конечный момент времени.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,

 

T = mV2 / 2,

 

или

 

T = p2 / 2m.

 

Потенциальная энергия:

упругодеформированной пружины

П = k x2 / 2,

 

где k – жесткость пружины;

x – абсолютная деформация;

гравитационного взаимодействия

,

где γ гравитационная постоянная;

m1 и m2 массы взаимодействующих тел;

r – расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

 

П = mgh,

 

где g – ускорение свободного падения;

h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h << R, здесь R – радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии:

 

E = T + П = const.

 

Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки:

 

А = T = T2 – T1.

 

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси z

 

,

где результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело;

угловое ускорение;

Jz момент инерции относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:

стержня длиной L относительно оси, перпендикулярной стержню,

 

;

обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

 

 

Jz = m R2,

 

где R – радиус обруча (цилиндра);

диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,

.

Проекция на ось z момента импульса тел, вращающихся относительно неподвижной оси z,

 

Lz = Jω,

 

где ω угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z,

 

Jz = const,

 

где Jz момент инерции системы тел относительно оси z;

угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

 

T = ,

 

или

T = Lz2 / (2 Jz).

 

Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня

 

,

 

где l0 – длина стержня в системе, относительно которой стержень покоится (собственная длина);

l – длина стержня, относительно которой он движется;

β – скорость частицы, выраженная в долях скорости света .

Промежуток времени ∆t в системе, движущейся по отношению к наблюдателю, связан с промежутком времени ∆t0 в неподвижной для наблюдателя системе отношением

 

.

Релятивистская масса

 

,

 

где m0 – масса покоя.

Релятивистский импульс

 

.

 

Полная энергия релятивистской частицы

 

,

 

где Т – кинетическая энергия частицы;

её энергия покоя, .

Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы:

 

.

 

Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы:

 

.

 

3.1.2. Примеры решения задач.

Пример 1Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид: x = A + Bt + Ct 3, где A = 2 м, B = 1 м/с, C = - 0,5 м/с3. Найти координату x, скорость Vx и ускорение ах точки в момент времени t = 2 с.

 

Дано: Решение:
x = A+Bt+Ct3 A = 2 м B = 1 м/с C = -0,5 м/с3 t = 2 с Координату х найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t: х = (2 + 1·2 – 0,5·23) = 0.
x − ? Vx − ? ах − ? Мгновенная скорость относительно оси х есть

первая производная от координаты по времени:

Vx = = В + 3Сt3.

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени: .

В момент времени t = 2 с

 

Vx = 1 – 3·0,5·2 2 = - 5 м/с;

ах = 6(-0,5)·2 = - 6 м/с2.

 

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где В = 20 рад/с; С = 2 рад/с2. Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r = 0,1м от оси вращения, для момента времени t = 4с.

Дано: Решение:
В = 20 рад/с С = 2 рад/с2 r = 0,1м t = 4с Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения āτ, направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения ān, направленного к центру кривизны траектории.
а‑?

.

 

Так как , то модуль полного ускорения

 

(1)

 

Модули и выражаются формулами

;

,

где - модуль угловой скорости; - модуль углового ускорения.

Тогда (1) можно записать в виде

 

= . (2)

 

Угловую скорость ω найдем, взяв первую производную углаповорота по времени:

.

 

В момент времени t = 4с

.

 

Угловое ускорение ε найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

 

.

 

Подставив в (2) значения ω,ε и r , получим

 

м/с2 = 1,65м/с2

Пример 3.Тело массой m = 1кг движется вдоль оси х так, что его координата изменяется во времени по закону , где С = 1м/c2. Определить ускорение тела и действующую на тело силу к концу 5-ой секунды.

Дано: Решение:
, С = 1м/c2 t = 5 c Ускорение найдем, взяв вторую производную от координаты по времени:  
а - ? F - ?  

- зависимость скорости от времени.

 

Для нахождения силы, воспользуемся 2-м законом Ньютона:

Пример 4 Маховик в виде сплошного диска радиусом R = 0,2 м и массой m = 50 кг раскручен до частоты вращения n1 = 480 мин-1 и предоставлен сам себе. Под действием сил трения маховик остановился через t = 50 с. Найти момент М сил трения.

 

Дано: Решение:
R = 0,2 м m = 50 кг n1 = 480 мин-1 = 8 с-1 t = 50 с Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде dLZ = MZdt,
M – ? где dLZ − изменение проекции на ось Z момента импульса маховика, вращающегося относительно оси

Z, совпадающей с геометрической осью маховика, за интервал времени dt;

MZ − момент внешних сил (в данном случае момент сил трения), действующих на маховик относительно оси Z.

Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени (МZ = const), поэтому интегрирование уравнения приводит к выражению

LZ = MZ t.

 

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение проекции момента импульса

 

LZ = JZ ω,

 

где JZ − момент инерции маховика относительно оси Z;

ω − изменение угловой скорости маховика.

Приравняв правые части двух предыдущих равенств, получим MZ t = JZ ω, откуда

 

 

Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по формуле

JZ = 1/2mR2.

Изменение угловой скорости ω = (ω2 − ω1) выразим через конечную n2 и начальную n1 частоты вращения, пользуясь соотношением ω = 2πn:

ω = ω2 − ω1 = 2πn2 − 2πn1 = 2π(n2n1).

Подставив в формулу для MZ выражения JZ и ω, получим

MZ = πmR2(n2n1) / t.

 

Проверим, дает ли расчетная формула единицу измерения момента силы. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы:

= = 1 кг·м·с-2·1 м = 1 Н·м.

Подставляем численные значения и производим вычисления:

MZ = = -1 Н·м.

Знак минус показывает, что момент сил трения оказывает на маховик тормозящее действие.

Пример 5. Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 0,2 м вращается относительно оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения имеет вид: , где В = 4рад/c2, C = +1рад/c3. Найти закон изменения момента сил, действующих на шар. Определить момент сил М в момент времени t = 2с.

Дано: Решение:
m = 10 кг R = 0,2 м В = 4рад/c2 C = +1рад/c3 t = 2с. Первая производная от угла поворота по времени дает закон изменения угловой скорости от времени: . Взяв производную от угловой скорости по времени, получим закон изменения углового ускорения от времени :
М ‑ ?

Для нахождения момента сил, действующих на шар, воспользуемся основным законом динамики вращательного движения:

, где - момент инерции шара относительно оси вращения, проходящей через центр масс шара. Таким образом:

 

- закон изменения момента сил.

 

В момент времени t = 2 с:

 

Пример 6.Две шайбы массами m1 = 2,5 кг и m2 = 1,5 кг движутся навстречу друг другу со скоростями V1 = 6 м/c и V2 = 2 м/c. Определить:

1) скорости шайб после удара; 2) кинетические энергии шайб до и после удара; 3) долю кинетической энергии шайб, превратившейся во внутреннюю энергию. Удар считать прямым, неупругим.

Дано: Решение:
m1 = 2,5 кг m2 = 1,5 кг V1 = 6 м/c V2 = 2 м/c 1) Неупругие шайбы не восстанавливают после удара свою первоначальную форму. Следовательно. не возникают силы. Отталкивающие шайбы друг от друга, и шайбы после удара будут двигаться совместно с одной и той же скоростью U.
U‑? Т1‑? Т2‑?

Определим эту скорость по закону сохранения импульса. Так как шайбы движутся по одной прямой, то этот закон можно записать в скалярной форме:

,

откуда

.

Направление скорости первой шайбы примем за положительное, тогда при вычислении скорость второй шайбы, которая движется навстречу первой, следует взять со знаком минус V2 = -2 м/с. Получим:

 

.

 

2) Кинетические энергии шайб до и после удара определим по формулам

;

 

Произведя вычисления по этим формулам, получим:

 

Т1 = 48 Дж; Т2 = 18 Дж.

 

3) Сравнение кинетических энергий шайб до и после удара показывают, что в результате неупругого удара произошло уменьшение их кинетической энергии за счет чего увеличилась их внутренняя энергия. Долю кинетической энергии шайб, пошедшей на увеличение их внутренней энергии, определим из соотношения:

 

.

 

Пример 7. Шайба массой m1, движущаяся горизонтально с некоторой скоростью V1, столкнулась с неподвижной массой m2. Шайбы абсолютно упругие, удар прямой. Какую долю w своей кинетической энергии первая шайба передала второй?

Дано: Решение:
m1, m2, V1 Доля энергии, переданная первой шайбе второй выразится соотношением:
w‑?

 

,

 

где: Т1 – кинетическая энергия первой шайбы до удара;

U2 и Т21 – скорость и кинетическая энергия второй шайбы после удара.

Для нахождения U2 воспользуемся тем, что при ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: импульса и механической энергии.

По закону сохранения импульса, учитывая, что вторая шайба до удара покоилась, имеем:

 

;

По закону сохранения энергии

 

.

 

Решая совместно два последних уравнения, найдем:

 

,

Тогда:

 

.

 

Пример 8. Маховик в виде диска массой m = 50 кг и радиусом r = 20 см был раскручен до частоты вращения n = 480мин-1 и затем предоставлен самому себе. Вследствие трения маховик остановился. Найти момент М сил трения, считая его постоянным для двух случаев: 1) маховик остановился через t = 50 c; 2) маховик до полной остановки сделал N = 200 оборотов.

Дано: Решение:
m = 50 кг r = 20 см n = 480мин-1 По основному закону динамики вращательного движения:
М‑?

где: - изменение момента импульса;

- момент инерции маховика (диска);

и - начальная и конечная угловые скорости.

Так как ώ2 = 0 и Δt = t, то .

Выразив угловую скорость через частоту вращения n1, (ω1 = 2πn1),

получим:

 

.

 

2. В условии задачи дано число оборотов, сделанных маховиком до остановки, т.е. его угловое перемещение. Поэтому применим формулу, выражающую связь работы с изменением кинетической энергии:

, или учитывая, что .

Работа при вращательном движении .

Тогда , учитывая, что , , ,

имеем:

 

 

Знак минус показывает, что момент сил трения оказывает тормозящее действие.

 

Пример 9.Платформа в виде диска радиусом R = 1,5 м и массой m1 = 80 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n1 = 10 1мин = 1/6 с-1. В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Дано: Решение:
R = 1,5 м m1 = 180 кг n1 = 1/6 c-1 m2 = 60 кг   Запишем закон сохранения момента импульса: где: - момент инерции платформы; - момент инерции человека, стоящего в центре платформы (рассчитываем как для материальной точки);
V - ?

- момент инерции человека, стоящего на краю платформы.

- угловая скорость до перехода человека;

- угловая скорость платформы с человеком, стоящим на краю платформы.

Учитывая, что , будем иметь:

 

;

откуда:

 

Пример 10. Определить релятивистский импульс Р и кинетическую энергию Т электрона движущегося со скоростью V = 0,9 c (где с = 3·108м/с – скорость света в вакууме) Во сколько раз релятивистская масса больше массы электрона?

Дано: Решение:
V = 0,9 c Релятивистский импульс: , где
Р - ? Т - ? Вычисляем:

.

В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией и энергией покоя Е0.

Так как , то учитывая зависимость массы от скорости, получим:

 

.

 

Вычисляем Т:

 

.

Во внесистемных единицах измерения энергия покоя электрона

Тогда:

 

.

Релятивистская масса больше массы покоя:

 

.

 

 






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2017 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.