Молекулярная физика и термодинамика

Основные формулы

Количество вещества тела (системы)

ν = N / N_A,

где N – число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т. п.), составляющих тело (систему);

N_A – постоянная Авогадро (N_A= 6,02·10²³ моль^-1).

Молярная масса вещества

μ = m / ν,

где m – масса однородного тела (системы);

ν – количество вещества этого тела.

Количество вещества смеси газов

ν = ν₁ + ν₂ + ... + ν_n = N₁ / N_A + N₂ / N_A + ... + N_n / N_A,

или

ν = m₁ / μ₁ + m₂ / μ₂ + ... + m_n / μ_n,

где ν_i, N_i, m_i, μ_i – количество вещества, число молекул, масса, молярная масса i-го компонента смеси соответственно.

Уравнение Менделеева-Клапейрона (уравнение состояния идеального газа)

pV = νRT = RT,

где m – масса газа;

μ – молярная масса газа;

R – молярная газовая постоянная;

ν – количество вещества;

T – термодинамическая температура.

Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева-Клапейрона для изопроцессов:

а) закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс T = const, m = const)

pV = const,

или для двух состояний газа

p₁V₁ = p₂V₂;

б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс: p = const, m = const):

= const,

или для двух состояний газа

;

в) закон Шарля (изохорный процесс: V = const, m = const):

= const,

или для двух состояний

;

г) объединенный газовый закон (m = const):

= const, или ,

где p₁,V₁, T₁ и p₂, V₂, T₂ – давление, объем и температура газа в начальном и конечном состояниях, соответственно.

Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов:

p = p₁ + p₂ +...+ p_n,

где p_i – парциальные давления компонентов смеси;

n – число компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

Молярная масса смеси газов

μ= ,

где m_i – масса i-го компонента смеси;

ν_i – количество вещества i-го компонента смеси, ν_i = m_i / μ_i;

n – число компонентов смеси.

Массовая доля i-го компонента смеси газа (в долях или процентах)

ω_i = m_i / m,

где m – масса смеси.

Концентрация молекул

n = = ,

где N – число молекул, содержащихся в данной системе;

ρ – плотность вещества;

V – объем системы.

Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества.

Основное уравнение кинетической теории газов

p = 2/3n ,

где – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

= 3/2 kT,

где k – постоянная Больцмана.

Средняя полная кинетическая энергия молекулы

= kT,

где i – число степеней свободы молекулы.

Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры:

p = nkT.

Скорости молекул:

– средняя квадратичная;

– средняя арифметическая;

– наиболее вероятная,

где m₁ – масса одной молекулы.

Относительная скорость молекулы

u = V/V_в,

где V – скорость данной молекулы.

Среднее число столкновений молекулы газа за 1 с

,

где d – эффективный диаметр молекулы газа;

n –концентрация молекул газа;

– средняя арифметическая скорость молекул газа.

Средняя длина свободного пробега молекул (расстояние, проходимое молекулой газа между двумя последовательными столкновениями)

.

Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме C_v и постоянном давлении C_p

C_v = ; C_p = .

Связь между удельной c и молярной C теплоемкостями:

C = C / μ, С = сμ.

Уравнение Майера

C_p – C_v = R.

Внутренняя энергия идеального газа

U = .

Первое начало термодинамики

Q = U + A,

где Q – теплота, сообщенная системе (газу);

U – изменение внутренней энергии системы;

A – работа, совершенная системой против внешних сил.

Работа расширения газа:

A = – в общем случае;

A = p (V₂ – V₁) – при изобарном процессе;

A = RT ln – при изотермическом процессе;

A = - U = - C_V T, или A = – при адиабатном процессе,

где γ – показатель адиабаты, γ = C_P/C_V.

Уравнение Пуассона, связывающее параметры идеального газа при адиабатном процессе,

pV ^γ = const; ;

; .

Коэффициент полезного действия (КПД) цикла

η= ,

где Q₁ – теплота, полученная рабочим телом от нагревателя;

Q₂ – теплота, переданная рабочим телом холодильнику.

КПД цикла Карно

η = = ,

где T₁ и T₂ – температуры нагревателя и холодильника.

Разность энтропий двух состояний B и A определяется формулой

S= .

Примеры решения задач

Пример 1.Определить: 1) число N молекул воды, занимающей при температуре t = 4^oC объем V = 1мм³ = 10^-9м³; 2) массу m₁ молекулы воды.

Дано:	Решение:
t = 4oC V = 1 мм3	Число N молекул, содержащихся в теле массы m1 равно произведению постоянной Авогадро NA= 6,02·1023моль-1 на количество вещества υ:
N - ? m1 - ?

Так как , где М = 18·10^-3кг/моль – молярная масса, то .

Так как , где ρ = 10³кг/м³ – плотность воды, то

Вычисляем:

.

2) Массу одной молекулы воды найдем делением ее молярной массы на постоянную Авогадро:

.

Пример 2. Определить: 1) среднюю кинетическую энергию движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 286К; 2) среднюю кинетическую энергию <ε_вр> и среднюю кинетическую энергию <ε_п> поступательного движения одной молекулы; 3) кинетическую энергию движения всех молекул W; 4) кинетическую энергию W_вр вращательного движения всех молекул; 5) кинетическую энергию поступательного движения всех молекул. Масса кислорода m = 4 г = 4·10^-3кг.

Дано:	Решение:
Т = 286К m = 4 г = 4·10-3кг	1). Известно, что на каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия , где -
<e>‑?	постоянная Больцмана. Так как молекула кислорода

является двухатомной, а следовательно, обладает

степенями свободы, средняя кинетическая энергия одной молекулы:

2) Средняя кинетическая энергия вращательного движения и поступательного движения одной молекулы соответственно:

Соответственно:

;

.

3) Средняя кинетическая энергия всех движения всех молекул выразится соотношением , если учесть, что число всех молекул

,

где М = 32·10^-3кг/моль – молярная масса, то:

.

4)

5)

.

Пример 3. Средняя длина свободного пробега молекулы углекислого газа при нормальных условиях(Т = 273К; Р=10⁵Па) равна =40·10^-9м. Определить: 1) среднюю арифметическую скорость молекул; 2) среднюю квадратичную скорость; 3) наиболее вероятную скорость, 4) число <Z> соударений, которые испытывает молекула в 1с.

Дано:	Решение:
Т = 273К Р=105Па =40·10-9м.	1) средняя арифметическая скорость молекул определятся по формуле , где - молярная масса.
V - ? Vкв- ? Vв- ? Z-?	Вычисляем:

2) средняя квадратичная скорость:

3) наиболее вероятная скорость:

4) среднее число соударений в 1с определяется отношением средней арифметической скорости к средней длине свободного пробега:

Пример 4.В баллоне объемом V = 10 л = 10·10^{-3 м3} находится гелий под давлением Р₁ = 1МПа = 10⁶ Па при температуре Т₁ = 300 К. После того, как из баллона был израсходован гелий массой ∆m = 10 г = 10·10^-3кг, температура в баллоне понизилась до Т₂ = 290К. Определить: 1) давление Р₂ гелия, оставшегося в баллоне; 2) массу гелия в баллоне в начальном и конечном состояниях; 3) плотность гелия до и после расходования.

Дано:	Решение:
Т1 = 300К Т2 = 290К V = 10 л Р1 = 1МПа ∆m = 10 г	1) Воспользуемся уравнением Клапейрона –Менделеева, применив его дважды: к начальному и конечному состояниям газа. ;
Р2‑? m1, m2‑? r1, r2‑?

где R = 8,31 Дж/моль·К – газовая постоянная, М = 4·10^-3 кг/моль – молярная масса.

Выразим массы m₁ и m₂ в начальном и конечном состояниях:

; .

Вычитая будем иметь:

Отсюда найдем искомое давление:

Вычисляем:

.

2) Масса гелия в начальном и конечном состояниях соответственно:

Иначе:

.

3) Плотность гелия в баллоне в начальном и конечном состояниях:

Пример 5. Найти среднюю кинетическую энергию движения одной молекулы кислорода при Т = 350 К , а также кинетическую энергию движения всех молекул кислорода массой m = 4 г = 4·10^-3кг.

Дано:	Решение:
Т = 350 К m = 4 г	На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия , где k = 1,38·10-23Дж/к – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура.
‑?

Так как молекула кислорода двухатомная, то число степеней свободы