Метод узловых потенциалов в матричной форме

Метод контурных токов в матричной форме

В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главныхконтуровВ, записываемой для главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи, которые и будут равны искомым контурным токам.

Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е. числу ветвей связи c=n-m+1. Выражение (6) запишем следующим образом:

.

(7)

В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы j–го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j–й ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения

,

(8)

где - столбцовая матрица контурных токов; - транспонированная контурная матрица.

С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:

(9)

Полученное уравнение представляет собойконтурные уравнения вматричной форме. Если обозначить

,

(10)

.

(11)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:

,

(12)

где - матрица контурных сопротивлений; - матрица контурных ЭДС.

В развернутой форме (12) можно записать, как:

,

(13)

то есть получили известный из метода контурных токов результат.

Рассмотрим пример составления контурных уравнений.

Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла (m=4) и шесть обобщенных ветвей (n=6). Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,

c=n-m+1=6-4+1=3.

Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.

Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:

В

.Диагональная матрица сопротивлений ветвей

Z

Матрица контурных сопротивлений

Zk=BZBT

.

Матрицы ЭДС и токов источников

Тогда матрица контурных ЭДС

.

Матрица контурных токов

.

Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов.

Метод узловых потенциалов в матричной форме

На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:

,

(14)

где - диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

МатрицыZ и Y взаимно обратны.

Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицуАи учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому

,

(15)

получим:

. .

(16)

Выражение (16) перепишем, как:

.

(17)

Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю, определим напряжения на зажимах ветвей:

.

(18)

Тогда получаем матричное уравнение вида:

.

(19)

Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить

(20)

,

(21)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:

(22)

где - матрица узловых проводимостей; - матрица узловых токов.

В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:

(23)

то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.

Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.

Данная схема имеет 3 узла (m=3) и 5 ветвей (n=5). Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. 5.

Узловая матрица (примем )

А

Диагональная матрица проводимостей ветвей:

Y

,

где .

Матрица узловых проводимостей

.

Матрицы токов и ЭДС источников

. .Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:

.Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.

Литература

1. Основытеории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А.Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. В чем заключаются преимуществаиспользования матричныхметодоврасчета цепей?
2. Запишите выражения матрицы контурных сопротивлений и матрицы контурных ЭДС.
3. Запишите выражения матрицы узловых проводимостей и матрицы узловых токов.
4. Составить узловые уравнения для цепи на рис. 2.

Ответ:

.

1. Составить контурные уравнения для цепи рис. 4, приняв, что дерево образовано ветвями 3 и 4 (см. рис. 5).

Ответ: