Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия

Пример решения типового расчета

№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:

1) найти ее решение с помощью формул Крамера;

2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.

№ 2. Разложить вектор по базису трех векторов , и , если , , , .

№ 3. Дано разложение векторов и по векторам и . Требуется найти:

1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и ;

2) косинус угла между векторами и ;

3) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

, , , , .

№ 4. По координатам вершин пирамиды найти:

1) угол между ребрами и ;

2) площадь треугольника - основания пирамиды;

3) объем пирамиды ;

4) длину высоты пирамиды , опущенную из вершины ;

5) уравнение плоскости ;

6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

7) угол между ребром и плоскостью основания .

; ; ; .

№ 5. Найти точку пересечения прямой , заданной общим уравнением, с данной плоскостью .

№ 6. Найти точку , симметричную точке относительно плоскости .

, .

№ 7. Даны вершины треугольника . Найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины ;

2) точку пересечения высоты и стороны ;

3) точку пересечения медиан треугольника .

; ; .

№ 8. Составить каноническое уравнение кривой, каждая точка которой равноудалена от точки и прямой .

 

 

РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА 26

 

№ 1.

1) Запишем систему уравнений в матричном виде:

 

 

Найдем сначала главный определитель системы:

 

.

 

Так как главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Для нахождения решения по правилу Крамера найдем вспомогательные определители:



 

;

 

;

 

.

 

Таким образом, получаем:

 

; ; .

 

Ответ: ; ; .

 

2) Решим систему матричным методом. Введем некоторые обозначения:

 

, , .

 

Так как определитель матрицы отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу . Решение системы найдем по формуле: .

Таким образом, для нахождения решения нужно сначала найти матрицу, обратную матрице . Она находится следующим образом:

 

, где ─ соответствующие алгебраические дополнения матрицы .

 

; ;

 

; ;

 

; ;

 

; ;

 

;

 

;

 

.

 

, , значит, , , .

Ответ: ; ; .

 

3) Решим систему методом Гаусса. Первое уравнение системы оставляем без изменения, для получения второго уравнения умножим первое на 2 и сложим со вторым, а для получения третьего - умножим первое на 6 и сложим с третьим:

 

Первых два уравнения оставим без изменения, а для получения третьего умножим второе на 7 и сложим с третьим:

 

 

Ответ: ; ; .

 

№ 2.

Найдем разложение вектора по базису трех векторов , и , то есть , где - неизвестные величины, для нахождения этих величин составим систему уравнений:

 

, из условия .

 

 

Решим систему методом Гаусса. Первое и третье уравнения системы оставляем без изменения, для получения второго уравнения умножим первое на 2 и сложим со вторым:

 

 

Первых два уравнения оставим без изменения, а для получения третьего умножим второе на -2 и сложим с третьим:

 

 

Таким образом, .

 

Ответ: .

 

№ 3.

, , , , .

 

1) Одна из диагоналей параллелограмма равна , другая ─ .

 

,

,

 

Ответ: ; .

 

2) Найдем косинус угла между векторами и :

 

 

Ответ: .

 

3) Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

 

 

Ответ: .

 

№ 4.

 

1) Найдем координаты векторов и ;

 

,

Угол между векторами находится по формуле .

.

 

, , .

Ответ: .

2) площадь треугольника вычисляется по формуле:

, ,

,

.

Ответ: .

 

3) Найдем объем пирамиды :

 

.

 

Ответ: .

 

4) Найдем длину высоты пирамиды , опущенную из вершины :

 

.

Ответ: .

 

5) Составим уравнение плоскости :

 

, ,

 

,

,

,

.

 

Ответ: .

 

6) Составим уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Так как точка принадлежит высоте и высота параллельна вектору нормали грани , то уравнение запишется в виде:

 

, .

 

Ответ: .

 

7) Найдем угол между ребром и плоскостью основания .

 

, , .

Ответ: .

 

№ 5. Координаты точки пересечения прямой , заданной общим уравнением, с данной плоскостью являются решением следующей системы уравнений:

 

 

Решим эту систему методом Крамера:

 

,

 

,

 

,

 

,

 

, , .

 

Таким образом, точка пересечения прямой с данной плоскостью имеет координаты .

 

Ответ:

 

№ 6. Найдем точку , симметричную точке относительно плоскости , если

, . Составим сначала параметрические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно данной плоскости. За направляющий вектор можно взять вектор с координатами :

 

, , .

 

Далее найдем точку пересечения полученной прямой с данной плоскостью:

 

,

,

,

, , .

 

Нашли точку , которая является серединой отрезка , поэтому

 

, , ,

, , ,

, , .

 

Ответ: .

 

№ 7.

1) Составим уравнение высоты , проходящей через точку перпендикулярно вектору :

;

,

.

 

Ответ: .

 

2) Составим уравнение стороны :

 

,

 

,

,

.

 

Найдем точку пересечения высоты и стороны , для чего решим следующую систему уравнений:

 

Ответ: .

 

3) Найдем середину стороны :

 

, .

, .

 

Составим уравнение прямой проходящей через точку и точку :

 

,

,

,

.

 

Найдем середину стороны :

 

, .

, .

 

Составим уравнение прямой проходящей через точку и точку :

 

,

,

,

.

 

Найдем точку пересечения найденных медиан:

 

 

Ответ: .

№ 8. Пусть точка - точка равноудаленная от точки и прямой . Найдем расстояние от точки до точки и до прямой и приравняем их:

 

,

,

,

- уравнение параболы.

 

Ответ: .


 

Линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия

 

 

Составители: Горшкова Светлана Николаевна

Данович Лариса Михайловна

Наумова Наталья Александровна

Хромых Анна Алексеевна

 

 

Редактор Л.В.Троицкая

 

 

Компьютерная верстка Хромых А. А.

 

 

________________________________________________________________

Подписано в печать Формат 60´841/16.

Бумага оберточная №1. Офсетная печать.

Печ.л. л. 3,5 Тираж экз. Усл.печ.л. 3,2 Изд.№

Уч.-изд.л. 2,4 Заказ №

Цена руб.

 

 

Лицензия на издательскую деятельность: ИД № 02586 от 18.08.2000 года.

Издательство КубГТУ: 350072, Краснодар, ул.Московская, 2, кор.А

 

Лицензия на полиграфическую деятельность: ПД № 10-47020 от 11.09.2002г.

Типография КубГТУ:350058, Краснодар, ул.Старокубанская, 88/4.

 

 






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2024 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.