Обратная связь
|
Линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия
Пример решения типового расчета
№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:
1) найти ее решение с помощью формул Крамера;
2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.
№ 2. Разложить вектор по базису трех векторов , и , если , , , .
№ 3. Дано разложение векторов и по векторам и . Требуется найти:
1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и ;
2) косинус угла между векторами и ;
3) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
, , , , .
№ 4. По координатам вершин пирамиды найти:
1) угол между ребрами и ;
2) площадь треугольника - основания пирамиды;
3) объем пирамиды ;
4) длину высоты пирамиды , опущенную из вершины ;
5) уравнение плоскости ;
6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;
7) угол между ребром и плоскостью основания .
; ; ; .
№ 5. Найти точку пересечения прямой , заданной общим уравнением, с данной плоскостью .
№ 6. Найти точку , симметричную точке относительно плоскости .
, .
№ 7. Даны вершины треугольника . Найти:
1) уравнение высоты, опущенной из вершины ;
2) точку пересечения высоты и стороны ;
3) точку пересечения медиан треугольника .
; ; .
№ 8. Составить каноническое уравнение кривой, каждая точка которой равноудалена от точки и прямой .
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА 26
№ 1.
1) Запишем систему уравнений в матричном виде:
Найдем сначала главный определитель системы:
.
Так как главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Для нахождения решения по правилу Крамера найдем вспомогательные определители:
;
;
.
Таким образом, получаем:
; ; .
Ответ: ; ; .
2) Решим систему матричным методом. Введем некоторые обозначения:
, , .
Так как определитель матрицы отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу . Решение системы найдем по формуле: .
Таким образом, для нахождения решения нужно сначала найти матрицу, обратную матрице . Она находится следующим образом:
, где ─ соответствующие алгебраические дополнения матрицы .
; ;
; ;
; ;
; ;
;
;
.
, , значит, , , .
Ответ: ; ; .
3) Решим систему методом Гаусса. Первое уравнение системы оставляем без изменения, для получения второго уравнения умножим первое на 2 и сложим со вторым, а для получения третьего - умножим первое на 6 и сложим с третьим:
Первых два уравнения оставим без изменения, а для получения третьего умножим второе на 7 и сложим с третьим:
Ответ: ; ; .
№ 2.
Найдем разложение вектора по базису трех векторов , и , то есть , где - неизвестные величины, для нахождения этих величин составим систему уравнений:
, из условия .
Решим систему методом Гаусса. Первое и третье уравнения системы оставляем без изменения, для получения второго уравнения умножим первое на 2 и сложим со вторым:
Первых два уравнения оставим без изменения, а для получения третьего умножим второе на -2 и сложим с третьим:
Таким образом, .
Ответ: .
№ 3.
, , , , .
1) Одна из диагоналей параллелограмма равна , другая ─ .
,
,
Ответ: ; .
2) Найдем косинус угла между векторами и :
Ответ: .
3) Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
Ответ: .
№ 4.
1) Найдем координаты векторов и ;
,
Угол между векторами находится по формуле .
.
, , .
Ответ: .
2) площадь треугольника вычисляется по формуле:
, ,
,
.
Ответ: .
3) Найдем объем пирамиды :
.
Ответ: .
4) Найдем длину высоты пирамиды , опущенную из вершины :
.
Ответ: .
5) Составим уравнение плоскости :
, ,
,
,
,
.
Ответ: .
6) Составим уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Так как точка принадлежит высоте и высота параллельна вектору нормали грани , то уравнение запишется в виде:
, .
Ответ: .
7) Найдем угол между ребром и плоскостью основания .
, , .
Ответ: .
№ 5. Координаты точки пересечения прямой , заданной общим уравнением, с данной плоскостью являются решением следующей системы уравнений:
Решим эту систему методом Крамера:
,
,
,
,
, , .
Таким образом, точка пересечения прямой с данной плоскостью имеет координаты .
Ответ:
№ 6. Найдем точку , симметричную точке относительно плоскости , если
, . Составим сначала параметрические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно данной плоскости. За направляющий вектор можно взять вектор с координатами :
, , .
Далее найдем точку пересечения полученной прямой с данной плоскостью:
,
,
,
, , .
Нашли точку , которая является серединой отрезка , поэтому
, , ,
, , ,
, , .
Ответ: .
№ 7.
1) Составим уравнение высоты , проходящей через точку перпендикулярно вектору :
;
,
.
Ответ: .
2) Составим уравнение стороны :
,
,
,
.
Найдем точку пересечения высоты и стороны , для чего решим следующую систему уравнений:
Ответ: .
3) Найдем середину стороны :
, .
, .
Составим уравнение прямой проходящей через точку и точку :
,
,
,
.
Найдем середину стороны :
, .
, .
Составим уравнение прямой проходящей через точку и точку :
,
,
,
.
Найдем точку пересечения найденных медиан:
Ответ: .
№ 8. Пусть точка - точка равноудаленная от точки и прямой . Найдем расстояние от точки до точки и до прямой и приравняем их:
,
,
,
- уравнение параболы.
Ответ: .
Линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия
Составители: Горшкова Светлана Николаевна
Данович Лариса Михайловна
Наумова Наталья Александровна
Хромых Анна Алексеевна
Редактор Л.В.Троицкая
Компьютерная верстка Хромых А. А.
________________________________________________________________
Подписано в печать Формат 60´841/16.
Бумага оберточная №1. Офсетная печать.
Печ.л. л. 3,5 Тираж экз. Усл.печ.л. 3,2 Изд.№
Уч.-изд.л. 2,4 Заказ №
Цена руб.
Лицензия на издательскую деятельность: ИД № 02586 от 18.08.2000 года.
Издательство КубГТУ: 350072, Краснодар, ул.Московская, 2, кор.А
Лицензия на полиграфическую деятельность: ПД № 10-47020 от 11.09.2002г.
Типография КубГТУ:350058, Краснодар, ул.Старокубанская, 88/4.
|
|