Обратная связь

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Приращение функции и ее полный дифференциал связаны равенством , где – бесконечно малая более высокого порядка малости по сравнению с при достаточно малых приращениях аргументов можно величиной пренебречь и считать . Это приводит к приближенному равенству , или подробно

Этой формулой можно пользоваться для приближенного подсчета значения по известным значениям функции и ее частным производным в данной точке P(x, y).

Пример 6.1. Высота конуса H=10 см, радиус основания R=5 см. Как изменится объем конуса при увеличении высоты на 2 мм и уменьшении радиуса основания на 2 мм.

Решение. Объем конуса . Изменение объема приближенно заменим его дифференциалом .

Подставив значения (в см) R=5, H=10, dR=–0.2, dH=0.2, получим

Пример 6.2.Вычислить приближенно число а=(1.04)^2.03.

Решение. Рассмотрим функцию f(x, y)=x^y. Данное число a есть приращенное значение этой функции в точке P₀(1, 20 при . Дифференциал данной функции .

Его значения в точке P₀(1, 2) при данных приращениях

поэтому имеем .

7. Отыскание параметров эмпирических формул
методом наименьших квадратов

Под эмпирической формулой понимают формулу, составленную по данным, определенным в результате эксперимента. Получив в результате наблюдений значений величины и соответствующих значений величины , ставят задачу отыскания такой аналитической зависимости между этими величинами, которая возможно мало отличалась бы от реальной зависимости между и . Формулу, приближенно выражающую эту зависимость, называют эмпирической.

Эмпирическими формулами часто пользуются в физических, химических и других естественных науках. Метод наименьших квадратов – один из лучших способов составления таких формул. Изложим идею этого метода для случая линейной зависимости двух величин.

Пусть необходимо установить зависимость между двумя величинами и . Произведем измерений и результаты их занесем в таблицу:

x				…
y				…

Будем рассматривать и как прямоугольные декартовы координаты точек на плоскости: , , …, . Допустим, что эти точки расположены почти на некоторой прямой (рис. 1).

Естественно в этом случае предположить, что между и существует линейная зависимость, т.е. есть линейная функция от , выражающаяся формулой

, (1)

где и – некоторые постоянные коэффициенты (параметры), подлежащие определению. Равенство (1) можно записать в виде:

, (2)

Поскольку точки только приблизительно расположены на прямой, определяемой уравнением (1) или (2), то и эти формулы являются приближенными.

Следовательно, подставляя в формулу (2) вместо и значения и , , взятые из таблицы, получаем:

(3)

где – некоторые числа, называемые погрешностями.

Требуется определить коэффициенты и так, чтобы погрешности были по возможности малыми по модулю. Согласно методу наименьших квадратов, подберем коэффициенты и так, чтобы сумма квадратов погрешностей была возможно меньшей, т.е. потребуем, чтобы сумма

(4)

была наименьшей. Если эта сумма окажется достаточно малой, то тогда и сами погрешности будут малыми по модулю.

Подставляя равенства (3) в формулу (4), получаем:

Переменная величина является функцией двух переменных и . Подберем параметры и так, чтобы функция принимала возможно меньшее значение. Для этого необходимо, чтобы выполнялись условия: , . Находя частные производные по и , приравниваем их нулю, получаем так называемую нормальную систему:

(5)

откуда определяем параметры и эмпирической формулы (1).

Пример 7.1. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x			1,5
y	–0,3	1,3			3,5

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

Решение. Найдем необходимые для расчетов суммы , , , . Промежуточные вычисления оформим в виде вспомогательной таблицы.

№ п/п
		–0,3
		1,3		1,3
	1,5		2,25

		3,5		10,5
	7,5	9,5	16,25	20,8

Нормальная система (5) имеет вид:

Решая эту систему, находим: , . Следовательно, зависимость между величинами и выражается приближенной формулой . Чтобы установить, какая их двух линий или лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные, проведем следующие вычисления:

№ п/п
	–0,3	–0,065		0,055225	0,09
	1,3	1,245		0,003025	0,09
		1,9	2,25	0,01	0,0625
		2,555		0,198025
	3,5	3,865		0,133225	30,25
	9,5	9,5	16,25	0,3995	31,4925

Так как , то прямая лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделаем чертеж (рис.5).

Рис. 5

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Вариант 1.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+y²–9xy+27; 0£ x£ 3, 0£ y£ 3.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x
y					41,5

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Одна сторона прямоугольника a=6 см, другая b=8 cм. Как изменится диагональ прямоугольника, если сторону a удлинить на 4 мм, а сторону b укоротить на 1 мм?

Вариант 2.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+2y²+1; x³0, y³0, x+y£3.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x		5,4	5,8	6,3	6,8
y	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить sin44⁰·cos29⁰.

Вариант 3.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=3–2x²–xy–y²; x£1, y³0, y£x.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x		4,5		5,5
y

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить (0.97)^2.02.

Вариант 4.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+3y²+x–y; x³1, y³–1, x+y£1.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x
y		2,1	2,2	2,3	2,4

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить .

Вариант 5.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж.z=x²+2xy+2y²; –1£ x£ 1, 0£ y£ 2.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	5,2	5,4	5,6	5,8
y	2,2	2,1	2,1	2,0	1,9

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить 0,97arctg .

Вариант 6.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=5x²–3xy+y²+4; x³–1, y³–1, x+y£1.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x
y			8,5	10,2	12,2

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить .

Вариант 7.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=10+2xy–x²; 0£y£4–x².

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x
y	1,7		2,2	2,4	2,6

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6.Вычислить sin59⁰·cos32⁰.

Вариант 8.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+2xy–y²+4x; x£0, y£0, x+y+2³0.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x
y	2,5	2,2		1,8	1,7

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить 1.04·ln(1.02).

Вариант 9.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+xy–2; 4x²–4£y£0.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x
y

5. Найти точки условного экстремума, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить .

Вариант 10.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+xy; –1£x£1, 0£y£3.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x
y	2,4	2,6	2,8		3,1	3,3

5. Найти точки условного экстремума, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6.Вычислить .

Вариант 11.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+y²–4xy–4; 0£ x£ 4, 0£ y£ 4.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x
y					41,5

5. Найти точки условного экстремума, используя метод множителей Лагранжа

при .

6. Вычислить .

Вариант 12.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+2y²+4xy+1; –1£ x£ 1, 0£ y£ 2.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x		5,5	5,9	6,4	6,9
y	2,3	2,4	2,5	2,6	2,7

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить .

Вариант 13.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x³+y³–3xy; 0£ x£ 4, 0£ y£ 4.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	4,5		5,5		6,5
y

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Закрытый ящик, имеющий наружные размеры 10 см, 8 см и 6 см, сделан из фанеры толщиной в 2 мм. Определить приближенно объем затраченного на ящик материала.

Вариант 14.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²–2y²+4xy–6x+5 в треугольнике, ограниченном осями Ох, Оу и прямой x+y=3.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x
y		2,1	2,2	2,3	2,4

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. При измерении на местности треугольника АВС получены следующие данные: сторона а=100м 2м, сторона b=200 м 3 м, угол С=60⁰ 1⁰. С какой степенью точности может быть вычислена сторона с?

Вариант 15.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²–y²+4xy–6x–2y в треугольнике, ограниченном осями Ох, Оу и прямой x+y=3.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	5,1	5,3	5,5	5,7
y	2,2	2,1	2,1	2,0	1,9

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа

f(x, y) = xy при 2x + 3y – 5 = 0.

6. Период Т колебания маятника вычисляется по формуле , где l – длина маятника, g – ускорение силы тяжести. Найти погрешность в определении Т, получаемую в результате небольших ошибок и при измерениях l и g.

Вариант 16.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=2x³+4x²+y²–xy в области, ограниченной параболой y=x², осью Оу (х³0) и прямой y=4.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x
y	4,1		8,5	10,2	12,3

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

ТОП 5 статей:

Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...