Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Основные теоремы о бесконечно больших последовательностях

 

Теорема о сумме двух бесконечно больших последовательностей
Если две последовательности и являются бесконечно большими при и все их члены и при этом имеют одинаковый знак, то их сумма также является бесконечно большой последовательностью при .

w По определению бесконечно большой последовательности имеем:

Тогда при , где верно неравенство .

Теперь используем известное свойство модуля: , причем только тогда, когда и имеют одинаковые знаки. По условию теоремы числа и имеют одинаковые знаки, поэтому .

Следовательно, при верно неравенство , где - произвольное малое число. Это означает, что , то есть последовательность является бесконечно большой при . v

 

 

Теорема о сумме бесконечно большой и ограниченной последовательностей
Если последовательность является бесконечно большой при и последовательность является ограниченной, то их сумма является бесконечно большой последовательностью при .

 

 

w Запишем определения ограниченной последовательности и бесконечно большой последовательности:

1) – ограниченная число при ;

очевидно, что из неравенства следует неравенство ;

2) – б. б. ,

где – сколь угодно малое число;

если обозначить , то определение б.б. можно записать несколько иначе: ,

где M – сколь угодно большое число.

Теперь рассмотрим , используя при этом свойство модуля :

 

.

 

Таким образом, показано, что для любого числа , сколь большим бы его ни брать, существует номер такой, что при выполняется неравенство . По определению бесконечного предела это означает, что , то есть последовательность б. б. при .v



 

 

Теорема о произведении бесконечно больших последовательностей
Если две последовательности и являются бесконечно большими при , то их произведение также есть бесконечно большая последовательность при .

 

w Для доказательства запишем определения пределов обеих бесконечно больших последовательностей:

 

;

таким образом, показано, что

– б.б. при . v

 

 

Теорема о связи бесконечно большой с бесконечно малой последовательностью
Если бесконечно большая последовательность при и , то последовательность является бесконечно малой при .

 

w Записываем определение предела бесконечно большой последовательности:

 

– б.б. при .

 

Переходим к неравенству обратных величин: при , учитывая, что .

Используя свойство модуля, получаем, что:

при для любого числа , сколь малым бы оно ни было,

является б.м. при . v

 

Теорема о произведении бесконечно большой последовательности на ограниченную последовательность
Если последовательность бесконечно большая при , последовательность ограниченная, но не является бесконечно малой, и все её члены отличны от нуля (хотя бы начиная с некоторого номера ), то произведение этих последовательностей есть бесконечно большая последовательность при .

 

w Поработаем с ограниченной последовательностью : учитывая, что она не является бесконечно малой и что все её члены отличны от нуля (хотя бы начиная с некоторого номера ), при можно зафиксировать ограниченность членов этой последовательности по модулю: , где a и b – положительные числа;

перейдем к неравенству обратных величин и получим, что ,
то есть последовательность также является ограниченной.

Теперь поработаем с бесконечно большой последовательностью : так как числа становятся сколь угодно большими (по модулю) при достаточно больших номерах , то можно предположить, что среди чисел нет равных нулю, поэтому последовательность из их обратных величин может быть образована и является бесконечно малой (по теореме о связи бесконечно большой с бесконечно малой последовательностью). Очевидно, что также является бесконечно малой и последовательность из модулей .

Рассмотрим модуль произведения величин и :

в знаменателе имеем произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность ; по теоремам о бесконечно малых величины образуют бесконечно малую последовательность, тогда обратные им величины образуют бесконечно большую последовательность; следовательно, последовательность является б. б. при . v

 






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2024 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.