Предел функции: различные определения

6.1. Определение предела функции на языке последовательностей (по Гейне) 50

6.2. Точка сгущения множества 52

6.3. Определение предела функции по заданному множеству. 55

6.4. Определение предела функции на языке окрестностей (по Коши) 56

6.5. Записи определения предела функции на языке «ε-δ». 60

6.6. Дополнительные детали определения предела функции. 63

6.7. Примеры доказательства пределов функции 65

6.8. Упражнения для самостоятельной работы 69

§ 1

§ 2

§ 3

§ 4

§ 5

§ 6

Определение предела функции на языке последовательностей (по Гейне)

Рассмотрим функцию y=f(x): X→ Y, где X , Y .

Пусть зафиксированы точки x=a и y=A расширенного множества .

Определение предела функции на языке последовательностей, или по Гейне

Точка А называется пределом значений функции y=f(x) в точке x=a, если для любой последовательности значений аргумента , имеющей своим пределом точку а, последовательность соответствующих значений функции имеет своим пределом точку A.   , где ℕ.

Другое обозначение предела функции: при .

y yn А y=f(x) xn a

x=a ℝ, y=A ℝ,

Рис.21

	, ℝ,
	ℝ, ,
	, ,

Если ℝ, то есть A является числом, то говорят, что функция y=f(x) в точке x=a имеет конечный предел, равный А.

Если и является одним из символов , то говорят, что функция y=f(x) в точке x=a имеет бесконечный предел; в этом случае функция f(x) называется бесконечно большой в точке x=a (или в окрестности точки x=a).

Сформулированное определение предела функции y=f(x), содержательно только тогда, когда для точки x=a существуют последовательности точек , такие что . Чтобы гарантировать это существование, вводится понятие точки сгущения множества X, на котором задана функция f(x).

Точка сгущения множества

При этом сама точка сгущения может как входить в множество Х, так и не входить.

Например, пусть Х=[a;b] или Х=(a;b). В обоих случаях точка х=а является точкой сгущения для множества Х, так как в любой ее окрестности содержатся точки из Х, отличные от точки а. Иллюстрации этого факта приведены на рисунках 25-25.

Аналогично точкой сгущения для множества Х в обоих случаях является любая точка с, такая что a<c<b. Таким образом, для обоих случаев множества Х в этом примере его точками сгущения являются любые точки

В предположении, что х=а есть точка сгущения для множества Х, можно всегда из этого множества извлечь последовательность , сходящуюся к точке а. Алгоритм реализации этого утверждения дается в доказательстве следующей теоремы.

w Для доказательства достаточно рассмотреть такие ε-окрестности точки а, в которых , n=1,2,3, … . В каждой из этих окрестностей будут находиться точки из множества Х, отличные от а (в соответствии с определением точки сгущения). Далее на рисунках показан процесс выбора элементов x₁, x₂, x₃, … , x_n, … для случаев, когда ℝ или a=+∞.

Если ℝ, то выбирая , но , получим последовательность точек , сходящуюся к точке а:

.

Если , то числа будут образовывать бесконечно большую последовательность:

.

Таким образом, если а ­– это точка сгущения множества Х, то всегда из условия следует, что . v

Далее в определении предела функции всегда предполагается, что х=а является точкой сгущения множества задания функции f(x).