Примеры доказательства пределов функции

Используя определение предела на языке «ε-δ», рассмотрим доказательства следующих пределов:

1) ; 2) ; 3) .

Решение

1)Запишем определение конечного предела функции в конечной точке на языке «ε-δ»:

Зафиксируем произвольно малое число ε > 0 и найдём все значения x , для которых выполняется неравенство :

.

Далее нужно убедиться, что в полученном множестве значений x выделяется окрестность точки x=2; для этого можно провести арифметический тест, зафиксировав какое-нибудь малое значение ε>0 , или просто проанализировать получившиеся промежутки для х.Например, при ε=0,1получим, что

очевидно, что второй промежуток (1,97 ; 2,02)образует окрестность точки x=2 и, чтобы её зафиксировать как симметричную δ-окрестность, достаточно взять число δ, не превышающее величины меньшего из расстояний от точки x=2 до концов промежутка, то есть δ=min( -2 ; 2- ).

Таким образом, в рассматриваемом примере промежуток образует окрестность точки x=2; симметрировать и измерить эту окрестность можно числом

≤ min{δ₁; δ₂}, где

х 2 δ1 δ2

Формулируем итог проведенных рассуждений:

Обратите еще внимание, что факт никак не зависит от значения функции f(x) в точке x=2, но характеризует только лишь поведение f(x)в малой окрестности этой точки. Например, если функцию y=x² переопределить так, что , то останется верным предел .

2) .

Зафиксируем произвольно малое число ε>0 и найдём все значения х , при которых выполняется неравенство

Получившиеся промежутки образуют окрестность точки х=∞. Выделить из неё часть, симметричную относительно 0 и измеряемую числом δ, можно следующим образом:

Таким образом, доказано, что для ∀ ε>0, сколь малым бы его ни задавать, находится

число , такое что неравенство выполняется при . Это и означает по определению предела функции, что , ч.т.д.

3)

Зафиксируем произвольно малое число ε>0 и найдём все значения х, при которых выполняется неравенство

х 1 δ=ε δ=ε Очевидно, что получившиеся промежутки образуют проколотую окрестность точки x=1, причём, окрестность сразу получилась симметричной относительно точки x=1 и её длина равна 2δ, где δ=ε. Таким образом, строго доказано требуемое значение предела:

Замечание к примерам 2) и 3)

На графике функции легко отслеживается её предельное поведение в точке х=1 и при x→∞ :

∞←х y х→∞ х 0 1 означает, что значения функции становятся сколь угодно близкими к нулю, если брать значения аргумента х достаточно большими по модулю;   означает, что значения функции становятся сколь угодно большими по модулю, если брать значения аргумента х достаточно близкими к числу х=1. Заметьте, что в точке х=1 данная функция не определена, при х=∞ никакая функция не имеет значения, но с помощью пределов и мы вполне представляем локальную динамику поведения функции в окрестностях этих точек.     6.8.Упражнения для самостоятельной работы Задача 1 Используя строгое определение предела функции на языке «ε-δ», докажите, что 1) 2) 3) 4)

проиллюстрируйте каждый предел с помощью графика соответствующей функции.

Задача 2

Используя определение предела на языке последовательностей (по Гейне), докажите, что не существует. (Подсказка: для доказательства сформулируйте определение предела функции y=cos x при х→∞ на языке последовательностей и постройте хотя бы две последовательности {x_n}, такие, что , но соответствующие им последовательности значений функции имеют разные пределы.)

Основные свойства пределов функций. Односторонние пределы

7.1. Единственность предела. 71

7.2. Предел постоянной функции. 72

7.3. Переход к переделу в равенстве или неравенстве. 73

7.4. О пределе зажатой функции. 74

7.5. Признак существования конечного предела. 75

7.6. Сохранение функцией знака своего конечного предела. 76

7.7. Односторонние пределы функции и их связь с обычным пределом.. 78

7.8. Упражнения для самостоятельной работы.. 80

Единственность предела

Теорема о единственности предела

Если существует то этот предел является единственным, т.е. функция не может иметь двух различных пределов в одной точке .

w Теорема доказывается методом от противного. Допустим, что в точке функция имеет два различных предела: и . Далее будем использовать определение предела функции на языке последовательностей (по Коши):

Теперь используем известные свойства окрестностей:

— окрестности двух различных точек и всегда можно назначить так, чтобы они не пересекались;

— окрестности одной и той же точки всегда пересекаются, и их пересечение также является окрестностью точки :

Тогда для будем получать, что и , что невозможно, так как:

Получившееся противоречие указывает на то, что неверным является предположение о двух различных пределах функции в одной точке . Следовательно, верным является противоположное утверждение: если предел существует, то он является единственным.

Заметим, что приведённое доказательство теоремы остаётся справедливым для любых случаев и .v

Предел постоянной функции

Теорема о пределе постоянной функции

Предел постоянной функции , равен этой постоянной в любой точке , которая является точкой сгущения множества :

w Так как где , то любая последовательность значений аргумента , сходящаяся к точке , будет давать стационарную последовательность значений функции , пределом которой является постоянная . Следовательно, на основании определения предела функции по Гейне, заключаем, что .

Заметим, что в доказательстве использовалось данное о том, что есть точка сгущения ООФ , так как только при этом условии можно рассматривать последовательность .v