Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Свойство локальной ограниченности функции, его связь с пределом

Напомним, что функция называется ограниченной на заданном множестве , если является ограниченным множество её значений

, т.е. числа и , такие что .

Часто используется другая форма записи факта ограниченности функции на множестве :

Например,

 

Определение локальной ограниченности функции
Функция называется локально ограниченной в точке (или при ), если можно указать такую окрестность точки , в которой функция является ограниченной: – лок. огр. в точке при ℝ.

 


Примеры (ограниченность на множестве и локальная ограниченность функций)

1) ­– ограничена на всей ООФ, т.к. ℝ; является также локально ограниченной в любой точке ℝ и при :

 

2) – является неограниченной на ООФ;

в любой точке , а также при является локально ограниченной;

в точке является локально неограниченной:

 

Связь понятий локальной ограниченности/неограниченности функции с её пределом устанавливается следующей ниже теоремой.

 

Теорема о связи локальной ограниченности функции с её пределом
1. Если функция имеет конечный предел в точке , то она является локально ограниченной в этой точке.

 

w1. Пусть , где при

, т.е. при , т.е. в проколотой окрестности точки функция является ограниченной; в самой точке эта функция может быть не определена или может принимать некоторое числовое значение; таким образом, в полной окрестности точки функция имеет ограниченное множество значений, следовательно, является локально ограниченной.v

2. Если функция имеет бесконечный предел в точке , то она является локально неограниченной в этой точке.

 



w2. Пусть при

при , т.е. в окрестности точки множество значений функции является неограниченным. v

 

Схема связи понятий предела и локальной ограниченности функции:
– локально ограниченная в точке ; – локально неограниченная в точке .

 

Обратные следствия, вообще говоря, не являются справедливыми. В подтверждение этого приведем несколько примеров:

1) – является локально ограниченной при , но не ;

2) – функция является ограниченной на всей ООФ и локально ограниченной при , но не существует;

график приведён на рисунке ниже:

3) – функция является неограниченной при , но не является бесконечно большой;

график четной функции можно построить перемножением значений функций и , его вид приведён на рисунке ниже:

 

не , т.к. не выполняется определение предела по Гейне:

для последовательности будет ,

для последовательности будет .

 

На основании доказанной теоремы и рассмотренных примеров можно сделать следующие выводы:

1) Локальная ограниченность функции в точке является необходимым, но не является достаточным условием для существования конечного ;

2) Локальная неограниченность функции в точке является необходимым, но не является достаточным условием для существования бесконечного .

3) Очевидно, что, если локальную ограниченность функции в точке дополнить монотонностью при слева или справа, то можно утверждать, что эта функция имеет конечный предел при (по крайней мере, односторонний).

 

 

Например,

и ;

Основные свойства бесконечно малых функций

1. Если – бесконечно малая и – локально ограниченная функции в точке , то их произведение есть б.м. функция в той же точке .

 

w – лок. огр. в точке число и ;

– б.м. в точке

В окрестности точки , которая является пересечением окрестностей и , рассмотрим произведение :

при

– б.м. в точке .v

 

2. Если две функции и являются б.м. в одной и той же точке , то их сумма также является бесконечно малой.

 

w – б.м. при

– б.м. при для того же

Для имеем, что

– б.м. при .v

 

3. Если две функции и являются б.м. в одной и той же точке , то их произведение также является бесконечно малой.

 

w б.м. в точке является локально ограниченной в точке (как функция, имеющая конечный предел). Поэтому произведение локально ограниченной функции на б.м. является б.м. функцией при (по свойству 1).v

 

4. Если функция б.м. при и в некоторой окрестности точки , то функция является б.б. при .

 

w б.м. при .

Если эту окрестность пересечь с окрестностью точки , в которой , и рассмотреть функцию , то получим, что

б.б. при .v






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2017 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.