Проверка гипотезы о виде распределения

Проверка гипотезы о законе распределения значения признака в генеральной совокупности осуществляется с помощью критериев согласия.

Проверяемая (нулевая) гипотеза утверждает, что значения признака в выборке, взятой из генеральной совокупности, распределены по предполагаемому закону.

Для проверки гипотезы о виде распределения необходимо вычислить теоретически ожидаемые (выравнивающие) частоты, которые должны были бы получиться, если бы распределение действительно соответствовало предполагаемому.

Теоретические частоты вычисляются по формулам:

1) в случае дискретной случайной величины , где – объем выборки; – вероятность случайной величины принять значения равное .

2) в случае непрерывной случайной величины , где – объем выборки, – середина интервала; – функция плотности теоретического распределения, вычисленная в точке ; h – длина интервала.

Проверку гипотезы о виде теоретического распределения можно провести с помощью критерия согласия Пирсона , основанного на статистике:

где – опытные частоты, – выравнивающие частоты.

Гипотеза отвергается, если вычисленное значение окажется больше критического , найденного по таблицам распределения для уровня значимости и числа степеней свободы , где – число интервалов, – число оцениваемых параметров предполагаемого теоретического распределения (приложение 2).

Например, если проверяется согласие экспериментальных данных нормальному закону распределения, для которого r=2, то число степеней свободы .

Следует учитывать, что при использовании критерия согласия Пирсона общее число наблюдений должно быть достаточно большим ( 50), и число наблюдений в интервалах должно быть не менее пяти . Интервалы, у которых <5 нужно объединить, а их частоты сложить.

Проверим для нашего примера гипотезу о нормальном законе распределения изучаемой величины для уровня значимости . Найдем выравнивающие частоты.

Таблица 4.

6,97		11	-2,09	-2,34	0,0258	1,2412		12
7,40		-1,66	-1,86	0,0707	3,4014
7,83		-1,23	-1,38	0,1569	7,5485
8,26		-0,80	-0,89	0,2685	12,9176
8,69		-0,37	-0,41	0,3668	17,6469
9,12		0,06	0,07	0,3980	19,1479
9,55		0,49	0,55	0,3429	16,4970
9,98		0,92	1,03	0,2347	11,2915
10,41		11	1,35	1,51	0,1276	6,1389		9
10,84		1,78	1,99	0,0551	2,6509

Находим с учетом объединения интервалов (объединяем первый, второй и третий интервалы, а также девятый и десятый)

=

=3,15.

Определим . Число степеней свободы =7–3=4, тогда при уровне значимости имеем =9,5.

Имеем < . Следовательно, в рассматриваемом примере нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении изучаемой случайной величины.

Вид функции плотности вероятности данной случайной величины, распределённой по нормальному закону в нашем случае:

.

Интегральная функция распределения такова

.

Построим кривую Гаусса данного распределения. Найдем максимум кривой Гаусса

.

Рисунок 6. –.Полигон частот и кривая Гаусса

Приложение 1

Таблица значений функции

Приложение 2

Критические точки распределения χ²

ЛИтература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. – 12-е изд., перераб. – М.: Высш. образование, 2005. – 479 с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М.: Высш. образование, 2007. – 404 с.

3. Баранова И.М., Часова Н.А. Основы теории вероятностей и математической статистики: учеб. пособие. Ч. 1 Теория вероятностей. / И.М.Баранова [и др.]. – Брянск, 2011. – 140 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение. 4

1. Основные понятия математической статистики. 6

2. Построение вариационного ряда. 7

3. Графическое изображение вариационных рядов. 8

4. Эмпирическая функция распределения. 10

5. Основные выборочные характеристики. 12

6. Точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности 18

7. Статистическая проверка гипотез. 22

8. Предварительный выбор закона распределения. 25

9. Проверка гипотезы о виде распределения. 28

Приложение 1. 32

Приложение 2. 33

ЛИтература.. 34

Баранова И.М., Часова Н.А.

МАТЕМАТИКА

Статистическая обработка
экспериментальных данных

Методические указания к выполнению
расчетно-графической работы для студентов
всех специальностей и всех направлений
подготовки бакалавров очной и заочной форм обучения

Формат Объем Тираж Заказ

Брянск, Станке Димитрова 3, Редакционно-издательский отдел

Отпечатано: Печатный цех БГИТУ