Основные задачи на плоскость

Глава 1. Вопрос 19. Основные задачи на плоскость и прямую в пространстве.

Основные задачи на прямую в пространстве

Прямая линия в пространстве. Основные формулы:

1. Канонические уравнения прямой линии в пространстве, или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, имеют вид

(1)

где x₀, y₀, z₀ - координаты точки, через которую проходит прямая, а m, n и p - направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Ozнаправляющего вектора прямой.

Если , и - углы между прямой и координатными осями Ox, Oy и Oz, то

(2)

, и называются направляющими косинусами прямой. Направляющие коэффициенты m, n и p можно рассматривать как проекции на координатные оси вектора, параллельного прямой, причем m, n и p не могут быть одновременно равны нулю. Уравнения (1) могут быть записаны также в виде

(3)

2. В параметрическом виде уравнения прямой линии в пространстве записываются так:

x = x₀ + mt; y = y₀ + nt; z = z₀ + pt, (4)

где t - параметр.

3. Общие уравнения прямой:

(5)

Каждое из уравнений (5) - уравнение плоскости, и таким образом прямая в пространстве может рассматриваться как пересечение двух плоскостей, причем плоскости эти предполагаются непараллельными, т. е. соотношение

не имеет места.

4. Условие параллельности двух прямых в пространстве:

(6)

имеет вид

(7)

5. Условие перпендикулярности двух прямых (6) имеет вид

mm₁ + nn₁ + pp₁ = 0. (8)

6. Угол между двумя прямыми (6) определяется по формуле

(9)

7. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂), запишутся в виде

(10)

Основные задачи на плоскость

1. Общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0. (1)

Если в этом уравнении D = 0, то плоскость проходит через начало координат, и ее уравнение будет таким

Ax + By + Cz = 0. (2)

При C = 0 уравнение (1) примет вид

Ax + By + D = 0, (3)

и плоскость параллельна оси Oz.

При B = 0 уравнение (1) запишется в виде

Ax + Cz + D = 0. (4)

В этом случае плоскость параллельна оси Oy, а при A = 0 уравнение (1) приобретает вид

By + Cz + D = 0, (5)

и плоскость параллельна оси Ox.

Следует запомнить, что если плоскость параллельна какой-нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью. Если в уравнениях (3), (4) и (5) окажется, что D = 0, то эти уравнения имеют вид

Ax + By = 0, (6)
Ax + Cz = 0, (7)
By + Cz = 0. (8)

Уравнение (6) - уравнение плоскости, проходящей через координатную ось Oz; (7) - уравнение плоскости, проходящей через ось Oy, а (8) - уравнение плоскости, проходящей через ось Ox. Если в уравнении (1) A = 0 и B = 0, то оно приобретет вид

Cz + D = 0, (9)

и плоскость параллельна координатной плоскости xOy. При B = 0 и C = 0 уравнение (1) запишется в виде

Ax + D = 0, (10)

а определяемая им плоскость параллельна координатной плоскости yOz. При A = 0 и C = 0 получаем из (1)

By + D = 0, (11)

и плоскость (11) параллельна координатной плоскости xOz.

Если окажется, что в уравнениях (9), (10) и (11) D = 0, то эти уравнения примут вид

z = 0, (12)
x = 0, (13)
y = 0 (14)

и будут уравнениями самих координатных плоскостей, соответственно xOy, yOz и xOz.

2. Уравнение плоскости в нормальном виде

(15)

где , и - углы между координатными осями Ox, Oy и Oz и перпендикуляром, опущенным из начала координат на плоскость, а p - длина этого перпендикуляра.

3. Для приведения общего уравнения плоскости (1) к нормальному виду (15) обе его части следует умножить на нормирующий множитель

(16)

выбрав перед корнем знак, противоположный знаку свободного члена в уравнении (1).

4. Уравнение плоскости в отрезках на осях

(17)

где a, b и c - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

5. Уравнение связки плоскостей, проходящей через точку M(x₁, y₁, z₁), имеет вид

A(x - x₁) + B(y - y₁) + C(z - z₁) = 0. (18)

Давая коэффициентам A, B и C в уравнении (18) различные значения, мы получим различные плоскости, проходящие через тчоку M(x₁, y₁, z₁).

6. Угол между двумя плоскостями

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 (19)

определяется по формуле

(20)

7. Условие перпендикулярности двух плоскостей (19) имеет вид

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0. (21)

8. Условие параллельности двух плоскостей (19) имеет вид

(22)

9. Расстояние от точки N(x₁, y₁, z₁) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 определяется по формуле

(23)

10. Система двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными:

(24)

Приведем относящиеся сюда формулы:

(25)

где t - произвольное число, а, по крайней мере, один из определителей, входящих в (25), не равен нулю.

11. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) имеет вид

(26)