Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Момент инерции. Аналогия между поступательным и вращательным движениями

Лабораторная работа №21

Изучение движения маятника Максвелла

Цель работы: изучение основных законов и характеристик вращательного движения и сложного поступательно-вращательного движения маятника Максвелла.

Приборы и принадлежности: прибор «Маятник Максвелла», набор из трех металлических накладных колец, штангенциркуль.

 

Теоретическая часть

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость, угловое ускорение

При вращении твердого тела вокруг закрепленной оси траектории всех частиц являются окружностями с центрами на этой оси. Все частицы тела совершают плоское движение; при этом скорости и ускорения отдельных точек тела различны: чем дальше точка находится от оси, тем быстрее она движется и тем больше должно быть ее ускорение. В этом случае разумно ввести такие кинематические характеристики вращения тела, как угловая скорость и угловое ускорение.

Рассмотрим произвольную точку А в объеме тела, а начало отсчета поместим в произвольной точке на оси вращения, тогда радиус-вектор r точки А относительно начала отсчета будет иметь постоянную длину. Разложим его на две компоненты — поперек и вдоль оси вращения r = r + r, где r — постоянная часть, r. — переменная. С течением времени при вращении модуль r не меняется, а меняется лишь его направление. Это направление можно однозначно описать углом φ относительно произвольного направления х, выбранного за нулевое направление. Угол φ > 0, если он отсчитывается против часовой стрелки при наблюдении, когда ось вращения z направлена к нам, и φ < 0 в противном случае.

 

v - линейная скорость вращения точки А

Угловой скоростью вращения вокруг оси z назовем скорость изменения утла ориентации перпендикулярной оси вращения компоненты радиус-вектора точки:



Угловым ускорением вращения вокруг оси z назовем скорость изменения угловой скорости вращения вокруг этой оси:

Важны не только сами величины и , но и направление оси вращения в пространстве, поэтому условились вводить понятие векторов угловой скорости и углового ускорения:

Вектор направлен вдоль оси вращения так, что его направле­ние образует с направлением вращения правый винт. Вектор (угловое перемещение изображаемое вектором) направлен так же, как и вектор . Вектор направлен так же, как и вектор а, если при вращении точки вращающегося тела ускоряются, и он направлен в противоположную сторону, если при вращении точки вращающегося тела замедляются.

Точку приложения вектора выбирают в начале отсчета, то есть произвольно на оси. Чтобы твердое тело не деформировалось при вращении, оно должно иметь для любой точки одну и ту же угловую скорость и угловое ускорение. Отметим, что введенная нами величина – это проекция на ось вращения z. Аналогично для векторов и .

Связь между угловой и линейной скоростями вращения точек твердого тела можно записать так:

ν= хr

Вектор является кинематической характеристикой вращения твердого тела, подобно тому как вектор ν является кинематической характеристикой поступательного движения того же тела.

Размерности введенных угловой скорости и углового ускорения следующие:

[ ]=рад/с, [ ]=рад/с2.


 

Момент инерции. Аналогия между поступательным и вращательным движениями

Выделим в твердом теле, вращающемся вокруг неподвижной оси, N маленьких «кусочков» массой mi и рассмотрим вращение одного из них с номером i. Пусть он находится на расстоянии ri от начала отсчета, расположенного на оси вращения, и пусть его угловая скорость вращения . Момент импульса выделенного «кусочка»:

Li = ri x mivi = ri x mi[ x ri].

Раскрывая двойное векторное произведение, получим:

Li = mi{ (ri, ri) – ri ( , ri).

Составляющая момента импульса выделенного «кусочка» вдоль оси вращения запишется как

Li = mi { ri2– ri2} = mi ri2.

Тогда составляющая момента импульса всего тела вдоль оси вращения:

L = I .

Составляющая момента импульса твердого тела вдоль неподвижной оси вращения пропорциональна угловой скорости. Коэффициент пропорциональности I называется моментом инерции твердого тела:

I = ,

где ri – это расстояние от оси вращения до рассматриваемой точки твердого тела.

Момент инерции I – величина, зависящая от распределения массы тела относительно оси вращения.

Отметим, что вектор момента импульса твердого тела расклады­вается на две составляющие – вдоль и поперек оси вращения:

L = L + L.

Составляющая L не зависит напрямую от и меняется в процессе вращения. Только для тел, вращающихся вокруг оси симметрии, можно сказать, что L =0, и тогда полный момент импульса направлен вдоль оси вращения.

Запишем уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:

.

Поэтому для тела, вращающегося вокруг оси симметрии:

.

Если I=const, то

или .

Таким образом, произведение момента инерции твердого тела на угловое ускорение равно моменту внешних сил относительно неподвижной оси вращения.

Последняя формула является основным законом динамики вращательного движения твердого тепа относительно неподвижной оси. Из него следует, что в отсутствии момента внешних сил угловая скорость вращения твердого тела остается постоянной. Или иначе, если М = 0 (в случае замкнутой системы), то L=const, что представляет собой закон сохранения момента импульса: момент замкнутой системы сохраняется.

Говоря о моменте инерции тела, всегда указывают, относительно какой именно оси он определен (в нашем случае это ось z, направленная вертикально вверх). Момент инерции того же тела относительно какой-либо другой оси примет иное течение. Сохраняется только общее правило его вычисления; берется сумма по элементам массы, составляющим тело, умноженным на квадраты расстояний этих элементов массы до оси вращения. В случае непрерывного распределения масс с плотностью в твердом теле сумма заменится на интеграл по всему объему тала:

.

Если тело однородно, то его плотность во всех точках постоянна, и тогда можно вынести из-под знака интеграла:

.

Можно легко проследить аналогию между поступательным и вращательным движением твердого тела:

Поступательное движение Вращательное движение
Масса Момент инерции I
Скорость Угловая скорость
Ускорение Угловое ускорение
Сила Момент силы
Импульс Момент импульса
Основное уравнение динамики Основное уравнение динамики
Кинетическая энергия Кинетическая энергия вращения

 






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2017 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.