Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Вопрос 3 скалярное произведение двух векторов и его основные свойства

Ответы по математике глава 3

Вопрос 2 линецные операции над векторами

Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Сложение векторов.

Пусть а и - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор О А — а. После этого из точки А отложим вектор

Рис. 59

Вектор ОВ, соединяющий начало первого слагаемого вектора скопцом второго, называется суммой этих векторов и обозначается (рис. 59).

Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом. Отложим от точки О вектор ОА — а и вектор . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОABC. Вектор ОВ, являющийся диагональю параллелограмма, проведенной из вершины О, будет, очевидно, суммой векторов а (см. рис. 59).

Из рис. 59 непосредственно следует, что сумма двух векторов обладает переместительным свойством:

Действительно, каждый из векторов равен одному и тому же вектору ОВ.

Понятие суммы векторов, введенное для двух слагаемых векторов, можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых.

Пусть, например, даны три вектора а, b и с. Построим сначала сумму векторов затем к этой сумме прибавимвектор с, получим вектор . На рис. 60 .

Из рис. 60 видно, что тот же вектор ОС мы получим, если к вектору а прибавим вектор . Таким образом

Поэтому сумму трех векторов записывают просто . Как видно из рис. 60, ее можно получить следующим образом. Из произвольной точки О откладывается вектор, равный первому слагаемому вектору.

Рис. 60

К концу первого вектора присоединяется начало второго, к концу второго — начало третьего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, будет суммой данных векторов. Подобным же образом строится сумма любого конечного числа векторов.



Как было указано выше, сумма векторов обладает переместительным и сочетательным свойствами:

Если при сложении нескольких векторов конец последнего слагаемого вектора совпадает с началом первого, то сумма векторов равна нуль-вектору.

Разность векторов.

Разностью двух векторов a и b называется третий вектор сумма которого с вычитаемым вектором b дает вектор а.

Таким образом, если , то . Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис. 61). Откладываем векторы и из общей точки О. Вектор ВЛ, соединяющий концы уменьшаемого вектора а и вычитаемого вектора b и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, будет разностью . Действительно, по правилу сложения векторов ОВ или .

Если на векторах а и b, отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор ОС, совпадающий с одной диагональю параллелограмма, равен сумме вектор , совпадающий с другой диагональю, равен разности (рис. 62).

Пример. Как должны быть расположены векторы а и b, чтобы модуль их суммы был равен модулю их разности ?

Решение. Очевидно, для этого длина диагонали ОС параллелограмма должна равняться длине диагонали ВА (рис. 62). Это может быть только в том случае, если параллелограмм ОАСВ является прямоугольником. Следовательно, если

Умножение вектора на число.

Пусть даны вектор а и число .

Произведением вектора а на число называется новый вектор с, коллинеарный вектору а, имеющий длину и то же направление, что и вектор а, если и противоположное направление, если

Рис. 61

Рис. 62

Так, например, у а есть вектор, направленный в ту же сторону, что и вектор а, и имеющий длину, вдвое меньшую, чем вектор а.

Противоположный вектор — а можно рассматривать как результат умножения вектора а на

Рис. 63

Из определения умножения вектора на число следует, что если то векторы b и а коллинеарны. Очевидно и обратно, из коллинеарности векторов b и а следует, что

Произведение вектора а на число можно записывать как в виде -а, так и в виде .

Легко убедиться, что умножение вектора на число обладает распределительным свойством

и сочетательным свойством

Справедливость, например, первого свойства (42) для следует из того, что при изменении сторон параллелограмма в раз его диагонали также изменяются в раз (рис. 63).

Вопрос 3 скалярное произведение двух векторов и его основные свойства






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2018 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.