Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Производная высших порядков. Дифференциал высших порядков.


Дифференциал высших порядков.

Пусть y=f(u) , где u=у(x) (у зависит от х)

Существует производные и

Мы знаем, что *

Диф-ал где х-независимая переменная =

 

u-независимая u-зависимая от х, а х-независимая
y=f(u) dy=f’(u)du y=f(u(x)) dy=f’(u)du
Форма записи диф-лов одинакова
du= du=u’(x) dx=

 

Свойства инвариантности(неизменности) первого диф-ала заключается в тои, что форма слева и справа одинакова (сохранение вида диф-ала)

Инвариантность относительно аргуманта

 

Производные высшего порядка
 
Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f: Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как или

Мы находимся слева (форма записи диф-циала), где х-независима

Если мы находимся слева, то первая производная равна и здась числитель можно оторвать от знаменателся ; .

Справа, отмечаем, что второй диф-циал и диф-циал высших порядков свойством инвариантности не обладают.


26. Основные теоремы дифференциального вычисления (Ролля, Логранжа, Коши).
Теорема Ролля

Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале ;

3. на концах отрезка принимает равные значения .

Тогда на интервале найдется, по крайней мере, одна точка , в которой .



Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля)

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Следствие.

Если , то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа. (О конечных приращениях)

Пусть функция

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале .

Тогда на интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что

Замечание

Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, когда .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Лагранжа)

На кривой между точками и найдется точка , такая, что через эту точку можно провести касательную, параллельную хорде (рис. 1).

Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она может быть переписана в виде:

Теорема Коши

Теорема

Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций)

Если функции и :

1. непрерывны на отрезке ;

2. дифференцируемы на интервале ;

3. производная на интервале ,

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что


Правила Лопиталя (2).

1. Неопределенность ( )
Пусть известно, что f(a)=0, g(a)=0, а не оперделена в точке «а», и справедливо условие теоремы Коши. Существует предел отношения: тогда: Предел отношения функций тоже равняется k . Заметим, что правило Лопиталя дает достаточное условие существования предела функции.

Доказательство:

Рассмотрим

При условиях, которые дает Лопиталь, утверждается возможность находить предел отношения функций следующим образом: -найти производную в числителе и знаменателе, поделить.

 

Замечания:

· Может оказаться, что I требование заменяется

Все остальные требования выполняются

· Может быть, что после применения правила Лопиталя, мы снова получим неопределенность ( ) . Тогда применяем еще раз.

· Если после применения получим какую-то дробь где числитель число, а знаменатель-0, то

 

Тогда мы говорим, что пределом является бесконечность.

2. Неопределенность

Если две функции f(x) и g(x) стремяться к при х->a и обе функции дифференцируемы в окрестностях точки «а»
f(x)-> |

| x->a
g(x)-> |

И существует предел отношения производных, равный k, то этому же числу равняется

 

Замечания:

·

Пример показывает, что если правило Лопиталя не дает ответа, то предел отношения может существовать все равно, но нужно искать другим вариантом.

 

· Правило Лопиталя можно применять много раз

Если n-фиксировано, то мы получим 0






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2017 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.