Производная высших порядков. Дифференциал высших порядков.

Дифференциал высших порядков.

Пусть y=f(u) , где u=у(x) (у зависит от х)

Существует производные и

Мы знаем, что *

Диф-ал где х-независимая переменная =

u-независимая	u-зависимая от х, а х-независимая
y=f(u) dy=f’(u)du	y=f(u(x)) dy=f’(u)du
Форма записи диф-лов одинакова
du=	du=u’(x) dx=

Свойства инвариантности(неизменности) первого диф-ала заключается в тои, что форма слева и справа одинакова (сохранение вида диф-ала)

Инвариантность относительно аргуманта

Производные высшего порядка

Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f: Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как или

Следствие.

Если , то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа. (О конечных приращениях)

Пусть функция

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале .

Тогда на интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что

Замечание

Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, когда .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Лагранжа)

На кривой между точками и найдется точка , такая, что через эту точку можно провести касательную, параллельную хорде (рис. 1).

Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она может быть переписана в виде:

Теорема Коши

Теорема

Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций)

Если функции и :

1. непрерывны на отрезке ;

2. дифференцируемы на интервале ;

3. производная на интервале ,

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что

Правила Лопиталя (2).

1. Неопределенность ( )
Пусть известно, что f(a)=0, g(a)=0, а не оперделена в точке «а», и справедливо условие теоремы Коши. Существует предел отношения: тогда: Предел отношения функций тоже равняется k . Заметим, что правило Лопиталя дает достаточное условие существования предела функции.

Доказательство:

Рассмотрим

При условиях, которые дает Лопиталь, утверждается возможность находить предел отношения функций следующим образом: -найти производную в числителе и знаменателе, поделить.

Замечания:

· Может оказаться, что I требование заменяется

Все остальные требования выполняются

· Может быть, что после применения правила Лопиталя, мы снова получим неопределенность ( ) . Тогда применяем еще раз.

· Если после применения получим какую-то дробь где числитель число, а знаменатель-0, то

Тогда мы говорим, что пределом является бесконечность.

2. Неопределенность

Если две функции f(x) и g(x) стремяться к при х->a и обе функции дифференцируемы в окрестностях точки «а»
f(x)-> |

| x->a
g(x)-> |

И существует предел отношения производных, равный k, то этому же числу равняется

Замечания:

·

Пример показывает, что если правило Лопиталя не дает ответа, то предел отношения может существовать все равно, но нужно искать другим вариантом.

· Правило Лопиталя можно применять много раз

Если n-фиксировано, то мы получим 0