Определение векторного (линейного) пространства. Приведите примеры

Ве́кторное (или лине́йное) простра́нство — математическая структура, которая представляет собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр.

1) X+y=y+x (коммутативность сложения)

2) X+(y+Z)=(x+Y)+z (ассоциативность сложения)

3) существует такой элемент 0єV , что x+0=x

4) для любого x єV существует такой элемент - x єV , что x+(-x)=0? называемый вектором,противоположным вектору x.

5) α(βx)= (αβ)x (ассоциативность умножения на скаляр)

6) 1X=x

7) (α+β)x=αx+βx

8) α(x+y)=αx+αy

Примеры:

1) Свободные вектора в пространстве R³

2) Матрицы размерности nxm

3) Множество всех многочленов , степень которых не превышает n

4) Примерами линейного пространства является:

5) - пространство действительных чисел.

6) - множество геометрических векторов на плоскости.

7) - пространство матриц фиксированной размерности.

8) - пространство решений однородных линейных систем и др.

Основные определения

N-мерным вектором называется последовательность n чисел. Эти числа называются координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора.

Складывать можно лишь векторы одинаковой размерности

Векторы равны, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие координаты равны.

Любой n-мерный вектор А можно умножить на любое число λ, при этом все его координаты умножаются на это число:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)

Два вектора одинаковой размерности можно сложить, при этом их соответствующие координаты складываются:

Что называется линейной комбинацией векторов?

Линейной комбинацией векторов a1,a2,…,anназывается выражение вида:

Где a1,a2,…,an - произвольные числа

Какие векторы называются линейно зависимыми (независимыми)?

Ненулевые векторы a1,a2,…,anназываются линейно зависимыми, если нетривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору:

Ненулевые векторы a1,a2,…,anназываются линейно независимыми, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору.

Примеры линейно независимых векторов

Как решается вопрос о линейной зависимости векторов?

Теорема 1. Для того, чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них был представлен в виде линейной комбинации остальных.

Теорема 2. В n-мерном пространстве любая система, содержащая более чем n векторов, является линейно зависимой.

Теорема 3.Если определитель, составленный из координат векторов, отличен от нуля, то система векторов линейно независима. Если указанные теоремы не дают ответа на вопрос о линейной зависимости или независимости векторов, то необходимо решать систему уравнений относительно , либо определять ранг системы векторов.

В каком соотношении находятся координаты двух линейно зависимых векторов?

Приведите пример двух линейно зависимых векторов

: Векторы и коллинеарны когда существует такое число , что имеет место равенство: .

Определение базиса линейного пространства

Совокупность из n линейно независимых элементов в пространстве размерности n называется базисом этого пространства.

Определение размерности линейного пространства.

Определение 3.1. Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых элементов, а любые (n+1) элементов уже являются линейно зависимыми. При этом число n называется размерностью пространства R.

Размерность пространства обозначают символом dim.

Определение 3.2. Линейное пространство R называется бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов.

Теорема 3.4. Пусть линейное пространство R имеет базис, состоящий из n элементов. Тогда размерность R равна n (dim R=n).

Понятие n-мерного пространства

Линейное пространство V называется n-мерным пространством, если в нем существует система из n линейно независимых элементов, а любой n+1 эл-в линейно зависимы.

N=dimV

Формулы, связывающие векторы старого и нового базисов