Элементарные преобразования над матрицей.

Нахождение обратной матрицы.

Ранг матрицы.

Собственные векторы и значения матриц.

Практические задания.

1. Даны матрицы А_2х3, В_3х1, С_3х3. Существуют ли а) АВ, б) ВА, в) АС, г) СА, д) АBC, е) ACB, ж) СВ, з) СВА?

2. Найдите m и n, если известно, что а) А_3х4хВ_4х5 = С_mхn; б) А_2х3хВ_mхn = С_2х6; в) А_2хmхВ_nх3 = С_2х3.

3. Даны матрицы: , .

Найдите а) A+B; б) В­А; в) 2А­3В; г) А+В+А^Т+В^Т; д) АхВ; е) ВхА; ж) A^-1;з) B^-1.

4. Даны матрицы: , , .

Найдите а) АВ; б) ВА; в) АС; г) СВ; д) 2С­ВА; е) С^-1; ж) СС^-1; з) 3С-2Е; и) СЕ; к) АЕ.

5. Даны матрицы:

, , .

Найдите 4А­В; АС; В^-1.

6. Покажите, что A+D­D^T = 0,

если , .

7. Найдите Aⁿ для матрицы .

8. Найдите Р(А), если

а) P(x)=x²­x­3, ,

б)P(x)=x²-2x+1, ,

в) P(x)=x³-7x²+13x-5, .

9. Решите матричные уравнения:

а) XA = B, где , ,

б) AX = B, где , ,

в) AXB = C, где , , ,

г) AX = B и YA = B, где , ,

д) 2A-3X = B, где , ,

е) 3A+2X = E, где ,

ж) AX+B = C, где , , ,

з) XA-2B = C, где

, , .

10. Найдите ранги следующих матриц:

а) ,	б) ,	в) ,
г) ,	д) ,	е) ,
ж) ,	з) ,	и) .

11. . При каких a r_A = 2?

12. . При каких a а) r_A = 1, б) r_A = 2, в) r_A = 3?

13. Найдите собственные значения и собственные векторы квадратных матриц:

а) ;	б) ;	в) ;
г) ;	д) ;	е) ;
ж) .

и покажите, что собственные векторы матрицы (ж) ортогональны.

Ответы. 1. а), в), е), ж) – да; б), г), д), з) – нет. 2. а) 3;5, б) 3;6, в) m=n — любые натуральные числа. 3. а) , б) , в) , г) , д) , е) , ж) , з) . 4. а) , б) , в) , г) , д) , е) , ж) E, з) , и) C, к) A. 5. , , . 7. . 8. а) , б) , в) . 9. а) , б) , в) , г) X = A^-1B, Y = BA^-1, A^-1 = , д) , е) , ж) , з) . 10. а) 0, б) 1, в) 2, г) 1, д) 2, е) 1, ж) 3, з) 2, и) 4. 11. 2. 12. а) ­4, б)  ­4, в) ни при каких. 13. а) ­2; 7; (­4;5), (1;1), б) ­2; 8; (­3;1), (7;1), в) ­1; 3; 4; (1;1;0), (­9;7;4), (­3;2;0), г) ­1;2;5; (3;3;­2), (0;0;1), (6;­3;4), д) 2;1;4 (0;­1;1), (1;0;­2), (0;1;5), е) 1;2;3; (1;1;2), (1;0;1), (1;2;2), ж) 3;6;9.

Критерии и шкалы оценивания:

- оценка «отлично» выставляется, если даны обоснованные, логично выстроенные ответы, отражающие знание обучающегося как основной, так и дополнительной литературы по данной дисциплине; владение обучающегося научной терминологией. Обучающийся демонстрирует умение использовать теоретические знания при трактовке и объяснении практических ситуаций, представлять свою профессиональную позицию;

- оценка «хорошо» выставляется, если ответы недостаточно полно обоснованы, отражают знание обучающегося основной литературы по дисциплине, владение обучающегося научной терминологией. Объяснение и трактовка практических ситуаций поверхностны, профессиональная позиция недостаточно ясная;

- оценка «удовлетворительно» выставляется, если ответы поверхностные, обучающийся демонстрирует необходимый минимум знаний по дисциплине. Фрагментарное использование теоретических знаний при трактовке и объяснении практических ситуаций, несформированность собственной профессиональной позиции;

- оценка «неудовлетворительно» выставляется, если ответы демонстрируют незнание или минимальное знание обучающимся основной литературы по дисциплине. Неумение использовать теоретические знания при трактовке и объяснении практических ситуаций, несформированность собственной профессиональной позиции.

Тема 5. Системы линейных алгебраических уравнений.

Цель проверки подтвердить:

способность выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (ПК-5);способность использовать для решения аналитических и исследовательских задач современные технические средства и информационные технологии ( ПК-10);

Проверяемые компетенции: ПК- 5, ПК-10

Устный опрос.

Темы к устному опросу:

Матричная форма записи системы линейных уравнений.

Основные понятия и определения.

Условие совместности.

Решение системы с помощью формул Крамера.

Общее решение системы линейных уравнений.

Решение системы с помощью обратной матрицы.

Решение произвольных систем линейных неоднородных уравнений.

8. Общее решение методом Гаусса.

Таблицы Гаусса.

Практические задания.

1. Решите системы по формулам Крамера, матричным способом, методом Гаусса: а) б) в) г) д) е) ж) з) и) 2. Исследуйте системы и в случае совместности решите их методом Гаусса или Жордана-Гаусса: а) б) в) г) д) е) ж) з) и) к) 3. Решите однородные системы уравнений: а) б) в) г) д)   Ответы. 1. а) (2;3), б) (-1;2), в) (1;-1), г) (2;-1;1), д) (4;5;-3), е) (0;3;‑3), ж) (2;1;0), з) (1;0;-1), и) (-1;0;2). 2. а) (с;­ ; ­ с), б) (с ; с ; ; ), в) (1; -1), г) Ø, д) (1; 0; 2), е) (5с-5;7с-7;с;0), ж) Ø, з) Ø, и) (0; ­1; 2), к) ( ). 3. а) (с; ­2с; с), б) (0; 0; 0), в)( ), г)( ), д) ( ).

Критерии и шкалы оценивания:

- оценка «отлично» выставляется, если даны обоснованные, логично выстроенные ответы, отражающие знание обучающегося как основной, так и дополнительной литературы по данной дисциплине; владение обучающегося научной терминологией. Обучающийся демонстрирует умение использовать теоретические знания при трактовке и объяснении практических ситуаций, представлять свою профессиональную позицию;

- оценка «хорошо» выставляется, если ответы недостаточно полно обоснованы, отражают знание обучающегося основной литературы по дисциплине, владение обучающегося научной терминологией. Объяснение и трактовка практических ситуаций поверхностны, профессиональная позиция недостаточно ясная;

- оценка «удовлетворительно» выставляется, если ответы поверхностные, обучающийся демонстрирует необходимый минимум знаний по дисциплине. Фрагментарное использование теоретических знаний при трактовке и объяснении практических ситуаций, несформированность собственной профессиональной позиции;

- оценка «неудовлетворительно» выставляется, если ответы демонстрируют незнание или минимальное знание обучающимся основной литературы по дисциплине. Неумение использовать теоретические знания при трактовке и объяснении практических ситуаций, несформированность собственной профессиональной позиции.