Методы получения математических моделей

Эти методы можно разделить на две группы:

Группа 1 Методы получения математических моделей элементов и макромоделей систем на

различных иерархических уровнях.

Характерной особенностью этих методов является неформальное (эвристическое) представление приемов и процедур. Как правило, неформальный характер носит процедура выбора математических соотношений моделей, а последующие определения числовых значений параметров уже может быть формализовано

В группе 1различают :

· теоретические

· экспериментальные методы

Теоретические методы основаны на исполнении физических закономерностей, присущих отображаемым в моделях процессам. Получение модели сопровождается принятием ряда допущений, отражающих особенности узкого класса моделируемых объектов. Основу сформировавших моделей обычно составляют системы уравнений, решением которых является зависимости между фазовыми переменными. Эти модели обычно относятся к алгоритмическим и справедливы для сравнительно широкого диапазона переменных.

Экспериментальныеметоды основаны на исполнении экспериментально полученных зависимостей между параметрами и фазовыми переменными. Эксперименты могут проводиться как на самих объектах, так и на физических моделях (стендах, макетах) а могут также проводиться на полных моделях. В последнем случае цель – получение макромоделей. В процессе преобразования экспериментальных данных макромодели возможна их аппроксимация, усреднение, статистическая обработка. Чаще всего результатом применения экспериментальных методов являются факторные модели, имеющие частный характер.

Группа 2 Методы получения полных математических моделей элементов.

Процедуры получения моделей по этим методам м.б. полностью формализованы. Примером этих методов могут служить методы перемещения в механике, методы моделирования теплоэнергетических установок, функционального моделирования систем управления.

Основу этих методов составляют 2 подхода:

Первый основан на допущении однонаправленности распространения внешних воздействий от входов к выходам элементов, т.е. на предположении о том, что изменение состояния элемента – нагрузки не передается элементу – источнику (нет обратной связи).

Этот подход используется для получения моделей логических схем вычислительных устройств, для систем массового обслуживания. Характерен для формирования моделей на метауровне.

Второй не связан с допущениями, характерными для первого подхода. Здесь снимается допущение (ограничение) на однонаправленность моделей. Этот подход чаще используется при моделировании на макроуровне, но методы этого подхода более сложны в реализации.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Знание свойств и поведения материаллов,используемых в любых системах,необходимо для инженера-конструктора.При проектировании и исследовании рабочих процессов возникает необходимость определения параметров рабачих тел.Рабочими телами низкотемпературных систем могут быть твердые,жидкие и газообразные вещества.Равновесное состояние веществ характеризуется значениями параметров состояния.Соотношения, выражающие фундаментальные связи каких-либо двух параметров с температурой,называются уравнениями состояния.

Чтобы рассчитывать и проектировать энергетические системы,анализировать процессы в них происходящие необходимо знать уравнение состояния в них рабочих тел,либо в аналитической,либо в графической форме.Представление в графической форме в виде диаграмм не позволяет получить высокоточные результаты,если таковые требуются при вычислениях.

Процессы(термодинамические) характеризуются термодинамическими и колорическими величинами.

К термодинамическим относятся:абсолютное давление-P,удельный обьем-V,плотность-p,величина обратная удельному обьему p=1/V,абсолютная температура-T;

К калорическим величинам относятся:Cp-теплоемкость при постоянном давлении-изобарная теплоемкость,Cv-теплоемкость при постоянном обьеме-изохорная теплоемкость,S-энтропия,h-энтальпия,r-теплота парообразования.

Для чистых(однокомпонентных) веществ в газообразном и жидком состоянии связь параметров давления и удельного обьема с температурой записывают в общем виде так:

F(P,V,T)=0

- такое уравнение называют термодинамическими уравнениями состояния.

Примерами термодинамических уравнений состояния могут служить:

- уравнение состояния в идеальном газовом состоянии для вещества массой 1кг (уравнение Клайперона): PV=RT; для m килограммов: PV=mRT,

- уравнение состояния реального газа,предложенного Ван-Дер-Ваальсом(P+a/V*V)(V-b)=RT,

- и другие уравнения...

Уравнение состояния,формулами с двумя независимыми переменными,позволяет построить поверхность называемую термодинамической поверхностью или поверхностью состояний.

Любое равновестное состояние системы изображается точкой, лежащей на этой поверхности.

Геометрически уравнение состояния F(P,V,T)=0 интерпретируются как поверхность состояния. Если известна поверхность состояния, то с помощью основных термодинамических соотношений могут быть определены любые функции состояния (энтропия,энтальпия,внутренняя энергия и любые калорические свойства: например, теплоемкость).

На термодинамической поверхности есть несколько характерных областей, где вещество распадается на две фазы.Например: кипение-конденсация; область плавления-затветдевания; вымораживание-сублемация.

Значения давления и температуры при которых любые две фазы находятся в равновесии называются давлением насыщения и температурой насыщения,а сами фазы-насыщенными (пасыщенный пар,насыщенная жидкость).По мере приближения к критической точке значения плотности пара и жидкости сближаются. В критичиской точке жидкость и пар неотличимы и имеют одинаковые плотности.

Уравнения состояний веществ

Сейчас для наиболее технически важных жидкостей и газов применяются уравнения состояния, которые являются стандартами при выполнении НИИ, ИТРазработотках, при проектировании разнообразного оборудования. Неточные данные не только могут снизить технико-экономические показатели установки, но и привести к неработоспособности спроектированного оборудования. Так погрешность расчета энтальпии и энтропии, определенных из условий работоспособности установки, не должна превышать

В начале 80-х была создана ГСССД- государственная служба стандартных справочных данных в задачу которой входила организация работ по созданию высокоточных уравнений состояния базирующихся на самых последних экспериментальных данных. В СССР под эгидой ГСССД были выпущены монографии и таблицы ССД по термодинамическим свойствам ряда основных веществ.

В последнее время поддерживаются разработки так называемых фундаментальных уравнений состояния, основано на представлении

Обычно такие уравнения являются едиными для жидкости и газа, включают в себя до 160 эмпирических коэффициентов, содержит также экспоненциальные члены, а так же члены, типичные для представления уравнения состояния с помощью масштабной теории, такого рода уравнения подразделяют на технические и научные. Научные характеризуются большей точностью, однако требуют при разработке соответствующее ПО больших ресурсов памяти и временных затрат. Наиболее точное уравнение состояние рекомендуется международным организациям в качестве стандартных.

Уравнение состояния полиномиального типа.

Единое уравнение полиномиального вида в виде двойного разложения в ряд обычно представлено в следующей форме:

Z=1 b_iy (Wⁱ/t^y),

где

Z=PV/RT-коэффициент сжимаемости

W=r/rкр- приведенная плотность

t= T/Tкр- приведенная температура

В таком уравнении состояния общее количество эмпирических коэффициентов bi by составляло 40-60 коэффициентов полученных при обработке экспериментальных данных, методом поли квадратов.

Таблица стандартных справочных данных и соответствующих монографий приходится сведения в уравнениях состояния полиномиального типа двойного разложения вышеприведенные зависимости используются в полиномиальных состояния, которые нашли широкое применение в 80-е для описания теплофизических свойств и многие из этих уравнений послужили основой для создания таблиц стандартных справочных данных.

В 90-е годы получили распространение фундаментальные уравнения состояния, основной особенностью которого является то, что обычно такое уравнение представляется в виде зависимости функции Гельм-Гольца от приведенных значений плотности. Это позволяет получить основные термодинамические величины из уравнения, что является более корректной операцией по сравнению с интегрированием, к которому необходимо прибегать при использовании ранее используемых уравнений полиномиального типа, представленного в виде зависимости (что позволяет лучше описать состояния вблизи критической точки).

S = (W, ) = F(W, ) / RT = fo(W, ) + fr(W, ),

где fo(W, ) – идеальная газовая составляющая уравнения фундаментального типа – избыточный компонент уравнения, который является необходимой корректировкой для определения свойств реального газа.

Такого рода уравнения обычно сопровождаются вспомогательными уравнениями.

В настоящее время уравнение состояния фундаментального типа является наиболее точными и предложены к применению в качестве стандартных для их разработки создан специальный математический аппарат для определения коэффициента и внешнего вида самого уравнения.