Краткие теоретические сведения

Рассмотрим задачу оценивания функциональной зависимости по выборке некоррелированных и равноточных измерений этих переменных , в случае, когда уравнение этой зависимости представляет собой функцию, линейную относительно параметров:

.

В матричной форме это уравнение имеет вид

,

где – вектор параметров модели; – вектор линейно-независимых базисных функций. Также введем следующие матрицы:

, ,

где – матрица, составленная из базисных функций, рассчитанных в выборочных значениях независимой переменной; H – вектор выборочных значений зависимой переменной.

Подставляя в матричное уравнение поочередно все элементы выборки, получим несовместную систему уравнений:

Выполним преобразование, умножив левую и правую части уравнения
на

.

Это уравнение носит называние нормального уравнения.

Вектор параметров модели является решением нормального уравнения:

Вектор также можно получить, решая задачу минимизации критериальной функции – среднего квадрата отклонения выборочных значений от значений модели, рассчитанных в выборочных точках .

Указания к выполнению

Рассмотрим задачу определения линейных коэффициентов модели методом МНК для функциональной зависимости , заданной случайной выборкой:

,

где , …, ; Здесь компоненты вектора случайной помехи некоррелированы и распределены по нормальному закону со следующими параметрами:

Структура модели имеет вид

Для построения модели МНК средствами MATLAB следует набрать и выполнить приведенный ниже скрипт (при этом необходимо обращать внимание на комментарии):

% Закрыть все существующие окна с графиками

close all;

% Задание выборочных значений на основе истинной

% квадратичной зависимости

% с аддитивной нормальной помехой с СКО = 0.7,

% приложенной к выходу

U = [0:0.5:4]';

X = U.^2 + randn(size(U))*0.7;

% Расчет оптимального вектора коэффициентов методом МНК

% с использованием встроенной функции

A1 = polyfit(U,X,2)

% Задание матрицы значений базисных функций в выборочных % точках

F = [U.^2, U.^1, U.^0];

% Расчет оптимального вектора коэффициентов методом МНК

% непосредственным решением матричного уравнения

A2 = inv(F'*F)*F'*X

% Задание вектора значений входной величины модели

U1 = (0:0.1:4);

% Расчет выходной величины модели МНК

X1 = polyval(A1,U1);

% Создание нового графика

% и включение режима рисования нескольких графиков на одном % поле

figure;

hold on;

% Вычисление среднеквадратического отклонения модели
% относительно выборки

MSE = var(X-polyval(A1,U));

% Отображение модели МНК, выборочных значений и величины % СКО

plot(U1,X1,'LineWidth',1);

plot(U,X,'o','MarkerSize',5,'MarkerFaceColor','r','MarkerEdgeColor','r');

text(0.5,5,strcat('MSE = ',num2str(MSE)));

В результате выполнения программы будут получены оптимальные векторы параметров и , которые затем отобразятся в окне Command Window. Выборочные значения и модель МНК в диапазоне изменения входной величины от 0 до 4 выводятся на графике в окне Figure 1 (рис. 1).

Рис. 1. Графическое представление выборки и модели МНК

Порядок выполнения работы

1. Создать новый скрипт MATLAB.

2. Сгенерировать случайную выборку значений входной и выходной величин, задав истинную характеристику объекта, а также случайную аддитивную помеху, приложенную к выходу и распределенную по известному закону.

3. Выбрать систему базисных функций и порядок уравнения модели.

4. Оценить параметры модели с использованием линейного метода наименьших квадратов.

5. Отобразить выборочные значения и выход модели на одном и том же графике, пользуясь возможностями графического вывода в системе MATLAB.

6. Рассчитать среднеквадратическую ошибку построенной модели.

7. Сделать выводы и оформить отчет о выполнении работы.

Задания для самоподготовки

1. Выведите и решите систему уравнений, составленных в соответствии с необходимым условием существования минимума для критерия МНК.

2. Изучив учебную и научную литературу, приведенную в библиографическом списке, дайте определение системы ортогональных функций. Объясните, какие преимущества дает применение системы ортогональных базисных функций в методе МНК.

3. Используя справочную систему MATLAB/Satistics Toolbox, найдите функцию, реализующую закон распределения Стьюдента. В программе осуществите распределение случайной добавки по закону Стьюдента.

4. Исследуйте поведение дисперсии ошибки модели в зависимости от объема исходной выборки. Объясните найденные закономерности.

Лабораторная работа 4