Частотный анализ сигнала с использованием преобразования фурье

Цель работы: научиться генерировать периодические и случайные сигналы с использованием среды Simulink; овладеть приемами частотного анализа периодических сигналов с применением блоков Simulink, реализующих алгоритм дискретного преобразования Фурье.

Краткие теоретические сведения

Пусть имеется реализация которая представляет собой измерения величины, периодически изменяющейся с течением времени. Измерения осуществляются через равный временной интервал. Исходный сигнал можно аппроксимировать функциональным рядом Фурье, каждый член которого соответствует определенной гармонике. Гармоникой сигнала будем называть его гармоническую составляющую, имеющую свою частоту. Для каждой гармоники зададим индекс, который обозначим переменной m (рис. 8).

Рис. 8. Соответствие гармоник сигнала частотным индексам

Для каждого индекса частоты или порядкового номера гармоники комплексные коэффициенты Фурье выражаются формулой

Действительная и мнимая части коэффициента могут быть найдены следующим образом:

Эти коэффициенты полностью описывают характеристики соответствующих гармоник, а именно: их амплитуду и фазу. Амплитуда гармоники совпадает с модулем соответствующего комплексного коэффициента:

а фаза равняется его углу:

Отметим, что приведенное соотношение для определения фазы имеет ограниченную область значений что следует из определения арктангенса. Для расширения области значений до вводится исправленная функция арктангенса для четырех квадрантов, зависящая от двух аргументов:

Эта формула учитывает выполнение неравенства чтобы избежать деления на ноль.

Указания к выполнению

Модель, реализующая амплитудный частотный анализ периодического сигнала, создается в среде Simulink по приведенному ниже образцу (рис. 9).

Время жизни модели – от 0 до 1 с, дискретный интервал времени составляет 0,00025 с.

Рис. 9. Частотный анализ сигнала в среде Simulink

Блоки, расположенные в окне модели слева, предназначены для генерации тестового периодического сигнала. В окне свойств каждого из этих блоков необходимо указать параметры гармонического либо случайного сигнала (рис. 10).

Рис. 10. Задание параметров гармонического сигнала

на примере блока 5th harm.40V

Рис. 11. Результат анализа амплитуд соответствующих гармоник

периодического сигнала

Базовая частота в модели, относительно которой определяются порядковые номера гармоник, выбрана равной рад/с. Результаты расчета амплитуд гармоник отображаются в окне модели в виде таблицы и на графике (рис. 11).

Порядок выполнения работы

1. Сформировать реализацию дискретного по времени случайного процесса путем суммирования нескольких синусоидальных сигналов с различными параметрами (амплитудой, фазой, частотой, сдвигом) и случайной ошибки, распределенной по нормальному закону.

2. В среде Simulink реализовать алгоритм расчета коэффициентов дискретного преобразования Фурье.

3. Провести амплитудный анализ исходного случайного процесса. Зависимость амплитуды гармоники от ее порядкового номера отобразить на графике.

4. Сделать выводы и оформить отчет о выполнении работы.

Задания для самоподготовки

1. Пользуясь справочной системой Simulink или учебной и научной литературой, приведенной в библиографическом списке, объясните особенности алгоритма быстрого преобразования Фурье.

2. Реализуйте алгоритм частотного анализа с использованием стандартного блока Spectrum Scope, входящего в библиотеку Signal Processing Blockset.

3. Сформулируйте теорему Найквиста. Поясните, как осуществить предварительную обработку исходного сигнала в соответствии с требованиями этой теоремы.

4. Преобразуйте модель (см. рис. 9) так, чтобы она позволяла в результате своей работы отображать амплитуды только первых 20 гармоник (50 гармоник).

Лабораторная работа 7