МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

Система координат на плоскости. Решение простейших задач в координатах.

Системой координат на плоскости называется объединение точки О этой плоскости и базиса {е₁, е₂} соответствующего двумерного векторного подпространства. Система координат обозначается так: (О,е₁, е₂).

Если дана система координат (О,е₁, е₂),то координатами точки М в этой системе координат называются координаты её радиус- вектора в базисе {е₁, е₂},т.е. если = хе₁+ уе₂ ,то числа х и у – координаты точки М , М(х, у).

Если дана система координат (О,е₁, е₂) и А(х₁, у₁), В(х₂, у₂) то вектор имеет координаты (х₂ – х₁, у₂ – у₁).

Если дана прямоугольная декартова система координат (О,i, j) и

А(х₁, у₁), В(х₂, у₂), то │АВ│=

2.1.Дана прямоугольная декартова система координат (О,i, j). Построить точки

А(0, -2), В(-1,0), С(4, -2), D( , - ).

2.2. Дана аффинная система координат (О,е₁, е₂). Построить точки А(3,0), В(0,-4), С(2,3), D (-5, ).

2.3. . Дана система координат (О,е₁, е₂), точки А(1,-1), В(2,5), С(3,4) и векторы

а(8,-3), b(2,-2). Найти: а) координаты векторов , , б) координаты точек М и К, если = а, = b.

2.4. . Дана система координат (О,е₁, е₂) и параллелограмм АВСD с точкой пересечения диагоналей О. Известно, что ↑↑е₁, ↑↑е₂,│АВ│= 4│е₁│, │АD│= 2│е₂│, . Найти координаты вершин параллелограмма.

2.5 . Найти координаты вершин квадрата АВСД со стороной АВ = 8 в прямоугольной декартовой системе координат (О,i, j) , если

а) АС ВD = О и ↑↑ i, ↑↑ j,б) АС ВD = О и ↑↑ i, ↑↑ j,в) О – середина АВ, ↑↑ i, ↑↑ j.

2.6 . Дан правильный шестиугольник АВСDEF c единичной стороной. Найти координаты его вершин и центра М в системе координат (А,i, j), если i= , j↑↑ , где М – середина ЕD

2.7. АВСD – равнобочная трапеция, большее основание АD которой равно 10, высота ВН равна 2, А = 30°, О – середина АD. Найти координаты вершин трапеции в системе координат (О,i, j), если ↑↑ i, ↑↑ j.

2.8. Вершины четырехугольника находятся в точках А(1,-3), В(8,0), С(4,8), D(-3,5). Доказать, что АВСD – параллелограмм.

2.9. Вершины четырехугольника находятся в точках А(1,1), В(2,3), С(5,0), D(7,-5). Доказать, что АВСD – трапеция.

2.10. АВСD – параллелограмм, А(-2,1), В(1,3), С(4,0). Найти координаты вершины D.

В задачах № 99- 107 система координат прямоугольная декартова.

2.11. Найти расстояния между точками А и В, если: а)А(4,3), В(7,7),

б) А(3,1), В(-2,4); в) А(12,-1), В(0,4).

2.12. Найти расстояние от начала координат до каждой из точек

а) А(11,4); б) В(-3,-4); в) С(5,-12).

2.13. Найти координаты точек, лежащих на осях координат и равноудаленных от точек А(1,1) и В(3,7).

2.14. Найти координаты точек, лежащих на осях координат и отстоящих от точки А(-5,9) на расстоянии 15.

ПРИМЕР 2.1

В прямоугольной декартовой системе координат даны координаты вершин треугольника А(4,5), В(3,1), С(11,-1). Доказать, что треугольник АВС прямоугольный.

РЕШЕНИЕ

Первый способ.

1) Найдем координаты векторов , , . (-1, -4),(8, -2),(-7,6).

2) Найдем скалярные произведения векторов , ,

. =7 – 24 = -17, =- 8 + 8 = 0,

=-56 – 12 = -68.

3) Так как скалярное произведение векторов и равно нулю, то значит эти векторы перпендикулярны и, следовательно, угол АВС прямой, т.е. треугольник АВС прямоугольный.

Второй способ.

1) Найдем квадраты длин сторон треугольника АВС.

АВ² = (3 – 4)² + (1 – 5)² = 17, АС² = (11 – 4)² + (-1 -5)² = 85,

ВС² = (11 – 3)² + (-1 -1)² = 68.

2) Так как 85 = 17 + 68, то АС² = АВ² + ВС².Следовательно, по обратной теореме Пифагора треугольник АВС прямоугольный. ■

ПРИМЕР 2.2

Дана прямоугольная декартова система координат. А(1,-2), В(3,4) – две вершины квадрата АВСD. Найти координаты вершин С и D.

РЕШЕНИЕ

1)Пусть точка С имеет координаты С(х, у).

Так как АВСД – квадрат, то │АВ│=│ВС│ и АВ ВС.

2) Так как │АВ│=│ВС│, то │АВ│²=│ВС│², отсюда получаем

(3 – 1)² + (4 + 2)² = (х – 3)² + (4 – у)² или

(х – 3)² + (у – 4)² = 40 (1).

3) Так как АВ ВС, то , значит = 0, (2,6), (х - 3,у - 4), отсюда 2(х – 3) + 6 (у – 4) = 0 (2)

4) Решая систему, состоящую из уравнений (1) и (2)

х² + у² - 6х - 8у - 15 = 0

х + 3у – 15 = 0 получаем два решения

х₁ = 9, у₁ = 2 и х₂ = -3, у₂ = 6, т.е. существуют две точки С: С₁(9,2) и

С₂(-3,6).

5) Найдем координаты точки D₁(х,у). Так как АВС₁D₁ – квадрат, то

= . Но (2,6), (9 – х, 2 – у), поэтому координаты этих векторов соответственно равны, т.е. 9 – х = 2, 2 – у = 6. и х = 7, у = -4. значит D₁(7, -4)

6) Аналогично находим координаты точки D₂ – D ₂(-5,0).

ОТВЕТ. Существует два квадрата:АВС₁D₁ и АВС₂D₂, где

С₁(9,2), D₁(7,-4) иС₂ (-3,6), D₂ (-5,0).

2.15. Определить вид треугольника АВС, если

а) А(0,0), В(2,0), С(1, ); б) А(8,0), В(1,-1), С(3,5); в) А(2,3), В(4,-1), С(8,1).

2.16. Даны две смежные вершины А(-2,1) и В(3,3) квадрата АВСD. Найти координаты двух других вершин.

2.17. Даны две вершины А(-3,2) и В(1,4) равностороннего треугольника АВС. Найти координаты вершины С.

2.18. Найти центр окружности, проходящей через точку А(-4,2) и касающейся оси ОХ в точке В(2,0).

2.19. АВСДEF – правильный шестиугольник с центром О и единичной стороной. Найти координаты его вершин в системе координат (О,i, j), если = i, j ↑↑ ,гдеМ – середина ВС.