Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ.

СМЕШАННОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Координаты точек в пространстве. Решение простейших задач в координатах.

Системой координат в пространстве называется объединение точки О и базиса {е1, е2 е3} трехмерного векторного пространства Vз. Система координат обозначается так: (О,е1 2 , е3).

Если дана система координат (О,е1, е2 , е3),то координатами точки М в этой системе координат называются координаты её радиус вектора в базисе{е1 2, е3},т.е. если = хе1+ уе2 +z е3 , то числа х, у и z – координаты точки М , М(х, у, z ).

Если дана система координат (О,е1, е2е3 ) и А(х1, у1, z1 ), В(х22, z2 ), то вектор имеет координаты 2 – х1, у2 – у1,, z2 – z1 ).

Если дана прямоугольная декартова система координат

(О,i, j, k) и А(х11, z1 ), В(х22, z2 )

то │АВ│=

Если дана система координат, точки А(х1, у1, z1 ), В(х22, z2 , С(х, у, z ), и простое отношение точек (АВ,С) = λ , то

x = , y= , z =

Эти формулы называются формулами деления отрезка в данном отношении.

 

ЗАМЕЧАНИЕ. Во всех задачах этого пункта, где нет специальной оговорки, предполагается, что система координат прямоугольная декартова.

 

6.1. АВСD – тетраэдр. Назовите все координатные оси и координатные плоскости аффинной системы координат а) (А, , , ); б) (D, ).

6.2. АВСDА1В1С1D1 – параллелепипед. = е1, = е2, = е3.Построить точки М( , , ), Р(1, - , -1), К(1, 0, - ).

6.3. АВСDА1В1С1D1 – куб со стороной 2. В системе координат (О, i, j, k)

i↑ ↑ , j↑ ↑ , k↑ ↑ . Найти координаты точек Д1, С1, если О - точки пересечения диагоналей грани ВСС1В1.

6.4. Через точку А проведены прямые, параллельные осям ОХ, ОУ, ОZ аффинной системы координат, которые пересекают координатные плоскости ОУ Z, ОХ Z, ОХУ в точках А1, А2, А3. Найти координаты этих точек, если: а)А(2,-3,4); б) А(-3, , 4).



6.5. В аффинной системе координат даны точки А(3,8,-2), В(2,1,4), С(-2,-3,6), Д(-1,4,0), Е(0,11,-6). Указать среди следующих векторов равные: ,

 

ПРИМЕР 6.1

 

Дана прямоугольная декартова система координат и четырехугольник АВСD, А(-1,0,2), В(0,2,-1), С(4,6,3), D (3,4,6). Определить вид этого четырехугольника.

 

РЕШЕНИЕ

1. Найдем координаты векторов , , , .

(1,2,-3), (4,4,4), (-1,-2,3), (-4,-4,-4). Так как = и векторы ине коллинеарны, то четырехугольник АВСD – параллелограмм.

2. Выясним, является ли параллелограмм АВСD ромбом, для этого найдем длины его сторон АВ и ВС.

АВ = = , ВС = = 4 .

Так как длины смежных сторон АВ и ВС параллелограмма АВСD не равны, то этот параллелограмм не является ромбом.

3. Выясним, является ли параллелограмм АВСD прямоугольником, для этого найдем скалярное произведение векторов и .

·= 1· 4 + 2· 4 + (-3) · 4 = 0. Следовательно, векторы и перпендикулярные,значит АВСD – прямоугольник.

 

ОТВЕТ. АВСD – прямоугольник.

 

6.6. Доказать, что четырехугольник АВСD является параллелограммом, если в аффинной системе координат А(1,-3,-2), В(8,0,-4), С(4,8,-3), D(-3,5,-1).

6.7. В аффинной системе координат найти координаты вершины Д и точки пересечения диагоналей параллелограмма АВСD, если: а) А(2,5,4), В(0,1,0), С(4,1,3); б) А(2,1,1), В(3,-1,1), С(0,2,-3).

6.8. В аффинной системе координат даны координаты вершин параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 А(2,-1,1), В(1,3,4), А1(4,2,0), D (6,0,1). Найти координаты остальных вершин.

6.9. Лежат ли точки А, В, С, заданные своими координатами в аффинной системе координат, на одной прямой: а) А(3,2,1), В(5,3,-2), С(1,1,4);

б) А(1,-3,5), В(3,-1,7), С(0,4,3); в) А(-1,0,4), В(2,3,1), С(8,9,-5);

г) А(3,0,-8), В(1,3,4), С(0,-2,1).

6.10. Найти в аффинной системе координат координаты точки, которая делит отрезок АВ в отношении λ: а) А(2,4,-1), В(0,3,4), λ = 2; б) А(0,0,0), В(3,0,4), λ = -3;

в) А(4, , -3), В(1,5,-3), λ = .

6.11. Точка М – середина отрезка АВ. В аффинной системе координат найти: а) координаты точки М, если А(-3,0,4), В(-3,1,2); б) координаты точки В, если М(-1,1,3), А(0,15,0).

 

ПРИМЕР 6.2

 

В аффинной системе координат даны две вершины треугольника

А(-4,-1,2) и В(3,5,-16). Найти координаты третьей вершины С, если точка М, которая делит отрезок АС в отношении λ = 2. лежит в плоскости ОХZ, а середина отрезка ВС лежит на оси ОУ.

 

РЕШЕНИЕ

Обозначим координаты точки С(х,у,z).

Точка М, которая делит отрезок АС в отношении λ = 2, имеет координаты М( , , ) и точка М лежит в плоскости ОХZ, поэтому вторая координаты этой точке равна нулю, т.е. = 0 и значит у = .

Середина Р отрезка ВС имеет координаты Р( , , ) и точка Р принадлежит оси ОУ, поэтому первая и последняя ее координаты равны нулю, т.е. х = -3, z = 16.

Таким образом точка С имеет координаты С(-3, , 16).

ОТВЕТ. С(-3, , 16).

 

6.12. В аффинной системе координат даны две вершины треугольника

А(-4,-1,2) и В(3,5,-16). Найти координаты третьей вершины С, если середина АС лежит на оси ОУ, а середина ВС лежит в плоскости ОХZ.

 

ПРИМЕР 6.3

 

В аффинной системе координат даны точки А(2,-3,6), В(1,1,1), С(5.-5,1). Выяснить, пересекаются ли прямая АВ и прямая, проходящая через точку С и начало координат.

 

РЕШЕНИЕ

Пусть точка Х – точка, лежащая на прямой АВ и делящая отрезок АВ в отношении α, тогда Х( , , ).

Пусть У – точка, лежащая на прямой ОС и делящая отрезок ОС в отношении β, тогда У( , , ).

Если прямые АВ и ОС пересекаются, то у них существует общая точка М, тогда М совпадает с некоторой точкой Х, лежащей на прямой АВ, и М совпадает с некоторой точкой У, лежащей на прямой ОС, следовательно,

= , = , = . (*)

Найдем α и β из системы, состоящей из первых двух из полученных уравнений (*), получим α = , β = . Т.к. эти значения α и β не удовлетворяют третьему уравнению (*), то такой точки М не существует и , следовательно прямые АВ и ОС не пересекаются.

ОТВЕТ. Прямые АВ и ОС не пересекаются.

 

6.13. Дана аффинная система координат. Пересекает ли прямая, проходящая через точки А(8,-6,7) и В(-20,15,10) оси координат?

6.14. Дана аффинная система координат и точки А(-3,5,15), В(0,0,7), С(2,-1,4)

D (4,-3,0). Выяснить пересекаются ли прямые АВ и СD?

6.15. В аффинной системе координат даны координаты вершин треугольника АВС: А(2,1,1), В(3,0,4) и С(0,0,16). Найти координаты середины отрезка АМ, где М – точка, которая делит отрезок ВС в отношении: а) λ = 1; б) λ = 4.

6.16. Дана точка М(2,-1,1). Найти координаты точек, симметричных точке М относительно: а) начала координат; б)координатных плоскостей ОХУ, ОХZ, ОУZ; в) координатных осей ОХ, ОУ, ОZ.

6.17. Найти углы треугольника АВС, если его вершины заданы координатами: А(1,2,-4), В(4,0,-10), С(-2,6,8).

6.18. Найти расстояние: а) между точками А1(1,2,3) и А2(1,-2,0);

В1(2,-3,1)) и В2(1,-3,8)), С1(-1,-1,0) и С2(2,3, ); б) от начало координат до точек М(1,-3, ), N(0,2,3), P(3, , -3), Q(1,-5,6).

6.19. Найти радиус сферы с центром Мо(1,1,6), проходящей через точку

А(-2,0,2).

6.20. Доказать, что треугольник с вершинами А(3,5,-4), В(-1,1,2),

С(-5,-5,-2) является равнобедренным.

6.21. Доказать, что четырехугольник с вершинами в точках А(7,2,4),

В(4,-4,2), С(6,-7,8), D (9,-1,10) является квадратом.

6.22. Найти длины медиан треугольника, вершины которого находятся в точках А(-3,1,0), В(0,0,0), С(2,4,6).

6.23. На оси ОZ найти точку, равноудаленную от двух точек

А(-4,1,7) и В(3,5,-2).

6.24. В плоскости ОУZ найти точку, равноудаленную от точек А(3,1,2), В(4,-2,-2), С(0,5,1).

6.25. Найти координаты центра и радиус сферы, которая проходит через точки (0,0,0), (0,2,0), (1,0,0), (0,0,3).

6.26. Доказать, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А(7,8,9), В(9,3,7), С(5,4,3), D (3,9,5), является ромбом.

6.27. Доказать, что треугольник является равносторонним, если:

а) А(9,3,-5), В(2,10,-5), С(2,3,2); б) А(р, к, h), В(к, h, р), С(h, р, к).

ПРИМЕР 6.4

Найти длину высоты АН треугольника АВС, если А(1,4,4), В(4,-1,3), С(-8,7,-5).

 

РЕШЕНИЕ

Найдем длину высоты АН. Пусть точка Н(х,у,z), тогда так как точка Н принадлежит прямой ВС, то векторы и коллинеарны, следовательно = λ,

(х –4, у + 1, z – 3), (-12,8,-8), отсюда следует, что

х – 4 = - 12λ, у + 1 = 8λ, z - 3 = - 8λ или

х = 4 - 12λ, у = -1 + 8λ, z = 3 - 8λ,

тогда Н(4 - 12λ, -1 + 8λ, 3 - 8λ). Так как прямые АН и ВС перпендикулярны, то скалярное произведение = 0,

(3 - 12λ, -5 + 8λ, -1 - 8λ), (-12,8,-8), поэтому из того, что = 0 следует:

-12(3 - 12λ) + 8( -5 + 8λ) - 8(-1 - 8λ) = 0, отсюда λ = , поэтому Н(1,1,1)

Зная координаты точек А(1,4,4) и Н(1,1,1) находим, что АН = .

ОТВЕТ. АН = .

 

6.28. Прямая АВ пересекает координатные плоскости ОХУ и ОУZ в точках М и Р. Найти длину отрезка МР, если: а) А(2,1,1), В(-2,0,3);

б) А(-3,1,1), В(0,-1,2).

6. 29. Найти длины медианы АМ, и высоты АН треугольника АВС, если А(1,2,-1), В(2,3,4), С(-1,-6,-5).

6.30. Найти длину биссектрисы АD треугольника АВС, если А(4,1,-2), В(2,0,0), С(-2,3,-5).

 

Ориентация пространства.

В векторном подпространстве Vз дан базис и три вектора

а( а1, а2, а3), b(b1, b2, b3), с1, с2, с3). Векторы а,b, с компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат. равен нулю, т.е.

а,b, с компланарны = 0.

В векторном подпространстве Vз даны два базиса

I = {е1, е2 , е3} и II = {е1', е2', е3'}. Известны координаты базисных векторов второго базиса в первом базисе. Определителем перехода от базиса I ={е1, е2, е3} к базису II ={е1', е2′, е3'} называется определитель ∆, составленный из координат векторов е1', е2', е3' в базисе{е1, е2, е3}.

Определитель перехода от базиса I к базису II будем обозначать так: I / II.

Пусть даны любые три базиса I, II, III пространств Vз. Определители перехода обладают следующими свойствами:

1°) I / II 0,

2°) I / I = 1,

3°) I / II = 1 : (II / I),

4°) (I / II) ( II / III) = I / III .

Обозначим Ω множество всех базисов Vз. Элементы Ω обозначим так: А= {а1, а2 , а3}, В = {b1, b2 , b3} и т.д.

Если в множестве Ω Ω рассмотреть бинарное отношение ρ Ω Ω такое, что базисы А и В находятся в отношении ρ, если определитель перехода от базиса А к базису В больше нуля т.е. А/В > 0, тогда из свойств определителей перехода следует, что бинарное отношение ρ является отношение эквивалентности, следовательно, множество всех базисов трехмерного векторного пространства Vз разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности. Таких классов эквивалентности существует два и только два. Каждый из этих двух классов эквивалентности называется ориентацией векторного пространстваVз.

Векторное подпространство Vз называется ориентированным, если зафиксирована одна из его ориентацией и названа положительной, а все базисы из неё правыми, тогда вторая ориентация называется отрицательной, а все базисы из неё левыми.

Пространство называется ориентированным, если соответствующее векторное пространство ориентировано. Тогда, если базис {е1 , е2 , е3}правый (левый) , то и система координат (О, е1, е2 , е3) правая (левая).

Чтобы определить будет ли данный базис правым или левым обычно рассматривают правило правой и левой руки. Пусть базис , , – правый. По вектору направляем большой палец правой руки, по вектору направляем указательный палец и, если средней палец направлен по вектору , то данный правый базис соответствует правой руке. Тогда, чтобы проверить будет ли базис , , правым, по вектору направляем большой палец правой руки, по вектору направляем указательный палец и, если средней палец направлен по вектору ,то базис{ , , } -правый, если же средней палец правой руки не направлен по вектору ,то базис { , , }-левый.

Если базис , , – правый, по вектору направляем большой палец левой руки, по вектору направляем указательный палец и, если средней палец направлен по вектору ,то данный правый базис соответствует левой руке. Тогда, чтобы проверить будет ли базис { , , }правымдействуем как в предыдущем случае, но используем левую руку.

 

6.31. Выяснить, компланарны ли векторы х, у, z, если:

а) х(2,-3,1), у(4,5,0), z(10,7,1); б)х(4,-3,2), у(0,1,0), z(-3,5,7);

в) х(1,3,6), у( , 1,2), z(13, ,5); г) х(0,-15,1), у(3,13,-15),

z(1,5,-3).

 

ПРИМЕР 6.5

Даны точки А(1,0,3), В(0,3,-4), С(2,1,2), D (1,-2,5). а) Доказать, что эти точки являются вершинами тетраэдра; б) точки М и Р – середины ребер АD и ВС, выяснить к какой ориентации относится базис { , , }, если базис{ , , } – левый.

 

РЕШЕНИЕ

а) Точки А, В, С, D являются вершинами тетраэдра тогда и только тогда, когда векторы , , не компланарны (Рис. 6.1). Найдем координаты этих векторов:

(-1,3,-7), (1,1,-1), (0,-2,2). Эти векторы не компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, не равен нулю.

= 8,

следовательно, точка А, В, С, D – вершины тетраэдра.

б) Первый способ.

Найдем координаты векторов , , в базисе { , , }

( , 0, - ),(0, , -1),(0,1,-1).

Теперь вычислим определитель, составленный из их координ

= >0.

Следовательно, базисы { , , }и{ , , } принадлежат одной ориентации, значит базис { , , } –левый.

Второй способ.

 

 

А
В
С
D
М
Р

Рис.6.1

Базис{ , , } соответствует правой руке. Базис

{ }тоже соответствует правой руке, Следовательно, эти базисы принадлежат одной ориентации, и т.к базис { , , } – левый, то и базис { } –левый.

ОТВЕТ Базис { , , } –левый.

 

6.32. Проверить, лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости, если

а) А(3,1,1), В(-2,1,-2), С(-3,-1,0), D (2, 0, 1,7); б) А(1,7,8), В(3,5,6),

С(-1,4,4), D (0,7,6); в) А(1,1,0), В(-1,2,-1), С(0,-1,0), D (-3,-3,2); г) А(1,2,2), В(0,3,3), С(2,-5,1), D (-1,-2,4).

6.33. Изобразите куб АВСD А1В1С1D1. Проверьте будет ли базис { , , } соответствовать правой или левой руке.

6.34. Базис { , , } имеет правую ориентацию. Определить ориентацию базисов: а) { , , }; б) { , }; в) { , , }; г) { , }.

6.35. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Базис { , , } имеет левую ориентацию. Определить ориентацию базисов:

а) { }; б) { }; в) { };

г) { }; д) { }, где Р – середина ребра АД.

6. 36. В системе координат (О,е1, е2, е3 ) даны точки

А1(-7,3,-2), А2(0,2,1), А3(4,-1,0), А4(-1,0,-3). Доказать, что векторы , , образуют базис, и найти ориентацию этого базиса, если базис {е1, е2, е3} – правый.

 






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2024 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.